Явные методы решения

Явные методы решения. В принципе, существуют два метода численного решения рассматриваемой системы уравнений. Один из них — явный метод решения, обсуждаемый в данном пункте, а другой — неявный метод решения, который будет рассматриваться в следующем пункте. [c.140]

Рассмотрим в связи с этим методы решения вариационных задач, позволяющие избежать их вырождения . Отметим, что формулирование функционала (VI-40) определяется при постановке задачи, так что иногда можно предусмотреть нелинейную связь 1 ж х - В большинстве же реальных ситуаций зависимость / и х не выражается явно- Если, например, / определяет выход некоторого продукта, рассчитываемого в результате решения математического описания процесса, то определение в явном виде производной f по х невозможно. В этом случае целесообразно определить коэффициенты уравнения (VI-42) [c.213]

Если структура функционала (2.1) фиксирована и фо])ма оператора Ф выбрана заранее (например, в виде уравнения регрессии, дифференциального оператора, булевой функции и т. д.), то решение указанной проблемы реализуется обычными методами оптимизации. При этом используется либо аналитический, либо алгоритмический путь решения. Аналитический путь приводит к явному формульному решению задачи, однако возможности его весьма ограниченны. Алгоритмические методы не дают компактного формульного решения задач, а лишь указывают алгоритм, реализация которого приводит к решению. Последние обеспечивают не столько решение, сколько способ его нахождения с помощью рекуррентных итеративных процедур, составляющих основу так называемых регулярных алгоритмов оптимизации. Ука- [c.82]

Это выражение для рЦ) иногда оказывается удобным, но не позволяет найти явного вида р (). В качестве общего метода решения уравнений типа (5.2.3) нельзя использовать методы, основанные на собственных векторах и собственных значениях матрицы , потому что не обязана быть симметричной и не все решения могут быть получены как суперпозиция ее собственных мод (см., однако, 5.7). [c.105]

Это уравнение нелинейно и его нельзя решить явно методами 6.6, поэтому мы получим приближенное решение для больших О. Отметим, что степени Й в коэффициентах записаны явно с тем, чтобы константы и к не зависели от Для удобства выберем единицы, в которых /г = 7г и Фл=1- [c.234]

Экспоненциальная зависимость к( = к х -Е/КТ не позволяет из уравнения (4.80) получить значение в явном виде. Используем графический метод решения уравнения. [c.149]

Особенностью интегральных уравнений (8.98) - (8.100), описывающих взаимосвязь фарадеевского тока с потенциалом электрода при любой степени обратимости или полной необратимости электрохимической реакции, является невозможность представления явной зависимости /[ (0] в замкнутой форме. Нахождение этой зависимости (или обратной зависимости [/(0]) возможно лишь в приближенном виде с использованием численных (обычно итерационных) методов решения уравнений. Современные компьютеры позволяют получать решения таких уравнений практически с любой степенью точности, необходимой в конкретных случаях. [c.295]

В ходе разработки математической модели, базирующейся на физических представлениях о механизме процесса, иногда получаются весьма сложные (например, трансцендентные) соотношения, не разрешимые в явном виде относительно искомой величины. Здесь приходится обращаться к численным методам решения (в том числе с использованием ЭВМ) однако при этом в известной мере теряется общий взгляд на протекание процесса, зачастую возникают затруднения в определении характера влияния отдельных факторов на процесс в целом. [c.71]

Аналитическое решение уравнения (7.9) получить очень трудно вследствие зависимости компонент вектора скорости от времени и обеих пространственных координат. Другой трудностью при получении решения уравнения (7.9) для случаев волнового течения пленки являются непрерывные колебания формы поверхности раздела газ — жидкость вследствие распространения волн. Численное решение этой задачи для случая абсорбции газа было получено в работе [222]. В этой работе волновая поверхность раздела газ — жидкость была преобразована в плоскую с помощью введения новой пространственной координаты t, = y/[h x — а4)] взамен поперечной координаты у. Преобразованное уравнение конвективной диффузии решалось с помощью явного метода переменных направлений, использующего расцепление и модифицированного для уравнений, содержащих вторую смешанную частную производную (см. работу [210]) [c.121]

Второй, более обычный метод решения уравнений [14] или [19], например, при помощи так называемых преобразований Лапласа с чисто математической точки зрения не вызывает возражений. Однако он требует знания явного вида функций Ф(Р) при комплексных или по крайней мерс нри отрицательных значениях аргумента. Подобное требование для чисто математической задачи не представляло бы ничего необычного, но с физической точки зрения оно бессмысленно. Поскольку, конечно, никаких измерений адсорбции при отрицательных или даже комплексных давлениях (не имеющих физического смысла) производить нельзя, то подобное требование означает экстраполяцию найденной закономерности Ф(Р) на интервал значения аргумента, простирающийся до минус бесконечности. Если при экстраполяции изотермы на очень большие положительные значения давления мы можем исходить из физически ясного требования, что при [c.256]

Для вычисления интеграла в знаменателе выражения (2-7) следует определить в явном виде функции / (ф) и 02 (ф, 0), т. е. решить систему уравнений (1-1) без источников. Не рассматривая методы решения системы (1-1) для конкретных видов струйных течений (см., например, [1, 26, 34]), обратимся непосредственно к обсуждению особенностей развития газовых пламен различных видов. Заметим, что при определении зависимости длины факела от основных параметров численное значение [c.26]

Это явный вид уравнений, которые определяют коэффициенты разложения функции В. Данные уравнения по форме совпадают с уравнениями (2.90), и, следовательно, к ним применимы те же методы решения. [c.80]

В ней не излагается теоретический материал в явной форме, но он скрыт в подробном разборе решения, которое дается после каждой задачи, в самой логике анализа. Он определяет выбор вопросов и применяемые методы решений. Задачи выбраны без какого-то бы ни было шаблона каждая из них имеет свои методические особенности и почти все они представляют примеры из конкретной химической практики. В книге выдерживается принцип постепенного усложнения и преемственности материала. Выводы и материал предыдущих задач постоянно используются при решении последующих. Данные физических и физико-химических методов и их связь со строением молекул включаются в текст органически и с самого начала. Стереохимические понятия вводятся уже во второй главе, и это позволяет излагать материал на основе ясных пространственных представлений. [c.6]

Решения этих уравнений отыскиваются методами решения алгебраических уравнений и выражают молярные доли резинатов Хд 5 и Св как функции состава внешнего раствора, точнее, как функции переменных У, К и а . Для некоторых значений и гв эти решения могут быть записаны в явном виде. В случае = = 2в = 2 они имеют вид [c.98]

Здесь т = Ч т) — скорость изменения массы отдельной частицы, обусловленного взаимодействием частицы с окружающей ее средой. Величина к т, х)с1т представляет собой число частиц (рассчитанное на единицу объема) со значениями массы из интервала [т, т + т], вводимых (выводимых) в рассматриваемую смесь в единицу времени. Для произвольных функций Ч (т) и к(т, т) найти явный вид решения уравнения (7.4.24) не представляется возможным. Однако второй из изложенных выше методов исследования уравнения коагуляции, основанный на решении уравнений для моментов функции т, т), может оказаться весьма полезным и в данном случае. Так, осуществляя те же преобразования, что и при переходе от уравнения (7.4.3) к системе уравнений (7.4.18), в данном случае из (7.4.24) получаем [c.351]

Тогда система (4.44) распадается на две независимые подсистемы и явный вид решения может быть найден методом фазовой плоскости, как и для однокомпонентных суспензий (см. разд. 4.3). Выпишем решение лишь для начальных участков обеих волн [c.211]

Найдя из степенных уравнений (II—9) и (И—10) значения Ах и Вх и вычислив по уравнениям (11 — 11) и (11—12) значения А и В -, опреде.лим выражения аСд и бСв в уравнении (II—4). Подставив значения аСд и бСв в (II—1), получим искомое уравнение изотермы свойства. Однако дать общее решение рассмотренной задачи в явном виде не представляется возможным. Корни алгебраических уравнений (II—9) и (II—10) при ге и т > 4 нельзя выразить в виде формул посредством коэффициентов при переменной. Степенные уравнения с и г > 4 могут быть решены только приближенными методами. Решение уравнений 3-й и 4-й степеней через коэффициенты при неизвестном дает сложные выражения. Уравнения изотермы свойства в явной форме относительно С можно представить только схематически в виде алгебраического уравнения [c.48]

При поиске надежных и эффективных методов решения жестких задач явные методы исключаются из рассмотрения в основном из-за ограниченности области их устойчивости. Применяя (П7.4) к скалярному тестовому уравнению [c.274]

Несмотря на хорошие свойства точности и устойчивости, практическое использование неявных методов типа Рунге—Кутта является еще весьма и весьма ограниченным. Причины этого заключаются в больших вычислительных затратах на шагах интегрирования. Из (П7.8) видно, что для вычисления ki требуется организовать итерационный процесс. Простой итерационный процесс является малоэффективным при решении жестких задач, так как он приводит фактически к такому ограничению на размер шага, что и явные методы. Поэтому возникает необходимость использования метода Ньютона—Рафсона или какой-либо его модификации. Это, в свою очередь, приводит к необходимости обращения матрицы размерности тхМ, что соответствует скалярным произведениям. Некоторого сокращения вычислительных затрат достигают за счет Ьи — разложения итерационной матрицы, а также за счет использования одной и той же матрицы на нескольких шагах интегрирования. Это оправдано тем, что итерационная матрица не влияет на порядок точности численной схемы и поэтому необходимость в ее направлении возникает только при значительном замедлении сходимости итерационного процесса. [c.276]

Подробнее остановимся па методах оптимизации, связанных с нахождением по крайней мере первых производных, которые кажутся нам наиболее перспективными. Эти методы применимы для дифференцируемых функций и используют явные выражения для градиента, причелг в экстремальной точке градиент должен быть равен нулю. Это условие и дает систему уравнений, решение которой основано на методах onTHNiHsauHH. Заметим, что отличие одного градиентного метода оптимизации от другого может быть большим, чем от соответствующего метода решения с использованием уравнений ЗДМ. [c.24]

Никитенко Н. И., Явный разностный метод решения уравнений теплового и гидродинамического пограничных слоев, ИФЖ, 1968, т. 14, 639—644. [c.122]

Математически система уравнений (6.67)-(6.74) с граничными условиями (6.75) представляет собой краевую задачу в трехслойной области. Возможный путь решения такой задачи состоит в решении уравнений переноса в отдельных областях с последующим "сшиванием" полученных решений [79]. В разделе 6.4 обсуждаются различные способы решения уравнений Нернста - Планка с дополнительными условиями (6.68), (6.69), пригодные для производного числа сортов ионов. М.И. Пономарев [142, 145] нашел решение задачи в приближении, когда пренебрегается диффузионная составляющая потока в мембране, и используется упрощенное решение уравнений переноса в обедненном диффузионном слое. В этом случае удается получить алгебраическое уравнение относительно эффективного числа переноса одного из противоионов. Ю.В. Карлин [89-91] развил численный конечно-разностный метод решения задачи с использованием явной разностной схемы. Метод позволяет рассмотреть случай трех конкурирующих противоионов и нестационарного режима переноса. [c.297]

Отметим, что предложенный метод решения разностной схемы по своим принципам аналогичен явным разностным схемам. По данной причине методы исследования устойчивости предложенного метода полностью совпадают с методами исследования устойчивости явных разностных схем. Более подробно такую информацию можно найти в работах [96, 97. [c.527]

Настоящая глава посвящена рассмотрению методов решения одного важного класса задач, которые могут быть представлены как задачи отыскания экстремума соответствующего критерия oiith-мальности при условии, что иа независимые переменные наложены определенные ограничения, имеющие вид равенств. Типичными примерами подобных задач служат задачи, в которых требуется оптимальным образом распределить заданное количество ресурсов, чтобы принятая оценка эффективности процесса имела при этом. максимальное или минимальное значение. Как показано ниже, к задачам с ограничениями на независимые переменные тииа равенств можно свести и такие задачи, в которых ог )аничения данного типа в явном виде отсутствуют. [c.139]

Таким образом, метод решения системы уравнений (5.18) должен использовать подходящий явный интефатор для пред- [c.270]

Результаты расчетов. Численное решение полученной системы уравнений осуществляется на основе комбинации явного (метод Рунге — Кутта) и нолунеявного (метод Михельсона) методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Размерность системы определяется дифференциальными уравнениями, описывающими как непрерывную (17)—(20), так и дискретную (21) —(23) фазы для каждого класса капель. По мере исчезновения г-го класса размерность уменьшается на число уравнений, описывающих его. [c.77]

К методам второй группы относятся явные (полуявные) схемы метода конечных разностей для решения нестационарных задач теплопроводности и распространения волн. Конечно, это раз-биепие методов иа две группы в значительной мере условно, тем не мепее оно позволяет сориентироваться пользователю в выборе метода решения нужной задачи, исходя из имеющихся в его распоряжении машинных ресурсов. Так, методы первой группы требуют больших затрат машинной памяти, но по количеству операций они экономичнее методы второй группы могут быть реализованы на машинах с небольшой оперативной памятью (с многочисленными прерываниями, причем информация в конце каждого шага или этана имеет, как правило, практическую ценность), однако для достижения высокой точности требуются боль- [c.157]

Четвертый раздел данного пособия посвящен методам решения задач оптимального управления. Задачи, рассматриваемые в данном разделе, характерны тем, что в них явно присутствуют упра]зляющие параметры, "пра- [c.4]

Наличие двух параметров (а и /г), имеющих к тому же ясный кинетический смысл (что важно, если ММР используется для ретроспективного анализа механизма полимеризации [21]), делает это распределение достаточно гибким, тем более, что к может иметь отрицательные или дробные значения. В настоящее время развиты более изысканные методы решения прямых и обратных задач, связанных с ММР, в частности, основанные на кинетическом анализе [25], но обсуждение их завело бы нас слишком далеко. Рассмотрение ММР потребовалось нам потому, что все экспериментальне методы исследования формы и размеров макромолекул явным или неявным образом связаны с ММР, и избавиться от них можно только при работе с практически гомодисперсными образцами, получить которые довольно трудно. [c.53]

Прп поисках надежных и эффективных методов решения жестких задач явные методы исключаются из рассмотрения ввиду их свойств устойчивости. С одной стороны ([13—15] и др.), области устойчивости явных методов ограничены. Поэтому для нпх шаг интегрирования Ь на всем промежутке [О, и] ограничен в силу неравенства Ятах1 где Атах — максимальное собственное чис- [c.54]

Дуракова В. К., Новиков В. А., Новиков Е. А. Построение явных методов первого порядка точности с заданным размером интервала устойчивости Ц Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды,-Красноярск, 1986,—С. 60—67.— (Сб. науч. тр,/ВЦ СО АН СССР). [c.68]

Движение одной из границ области, в которой следует найти Гг х, t), создает серьезные трудности при решении задачи. Так как нас интересует только примерный ход изменения температуры в расплаве, мы используем приближенный метод решения задачи подобного типа. Будем считать (i) = onst, а в окончательное решение, полученное в этом предположении, подставим (t) как явную функцию времени. Для не очень малых t (5.28) принимает вид [c.51]

Заканчивая данный раздел, сделаем некоторые замечания относительно использования явных методов для численного решения жестких систем дифференциальных уравнений. В ряде случаев возникает необходимость применения явных формул для решения жестких задач. Это требуется, например, при большой размерности дифференциальной задачи. Алгоритмы на основе неявных или полуявных формул, как правило, используют обращение матрицы Якоби, что в данном случае есть отдельная трудновыполнимая задача. В такой ситуации предпочтительнее использовать алгоритмы на основе явных формул, если жесткость задачи позволяет за разумное время получить приближение к решению. Современные алгоритмы на основе явных формул в большинстве своем не приспособлены для решения жестких задач по следующей причине. Обычно алгоритм управления величиной шага строится на контроле точности численной схемы. Это естественно, так как основным критерием является точность вычисления решения. Однако при применении алгоритмов интегрирования на основе явных формул для решения жестких задач этот подход приводит к потере эффективности и надежности, ибо вследствие противоречивости требований точности и устойчивости шаг интегрирования раскачивается, что приводит либо к большому количеству возвратов (повторных вычислений решения), либо к АВОСТу. Этого можно избежать, если наряду с точностью контролировать и устойчивость численной схемы. Может быть предложен способ контроля устойчивости явных методов и алгоритм интегрирования с контролем точности и устойчивости на основе явной формулы типа Рунге—Кутта второго порядка точности [c.279]

Для решения СОДУ (4.148) в данном случае используется широко известный явный метод Рунге - Кутты, основанный на формулах Дормана и Принса [261]. При численном решении СОДУ (4.148) поиск значения степени сжатия газа /-го центробежного нагнетателя проводится в соответствии с построенной моделью ЦН, подробно описанной в Главе 2. Функция степени сжатия в этом случае в терминах СОДУ будет выглядеть следующим образом [c.444]

Уравнение (4.151) можно разрешить при помощи известных численных методов решения нелинейных уравнений с одним неизвестным. Подходящим методом является метод простой итерации. К сожалению, условие сходимости итераций в явном виде получить не удалось в связи с особенностями функции . Однако, геометриче- [c.444]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология