Спектр собственных значений

Примером, иллюстрирующим действие оператора, имеющего дискретный спектр собственных значений, может служить оператор [c.37]

Это уравнение удовлетворяет условию ограниченности лишь в том случае, если к=2п- -, где п = 0, 1, 2..., т. е. оператор % имеет дискретный спектр собственных значений. Но оператор —— имеет [c.37]

Спектр собственных значений энергии системы Е (к) имеет (см. 4) сложный характер разрешенных участков (полос, зон), разделенных запрещенными интервалами энергии. [c.88]

В пространственно однородной снстеме собственными функциями этого оператора являются плоские волны фз(д)ехр(гдг), а отвечаю-ш ий им непрерывный спектр собственных значений Я(д) определяется корнями характеристического уравнения [c.280]

Важность матриц смежности графов в теории Хюккеля хорошо известна [12—30] . Несмотря на то что всегда можно получить собственные значения хюккелевского гамильтониана для химической системы с помощью современных ЭВМ, теория графов играет важную роль, особенно если интерес представляет аналитическое поведение спектров собственных значений для химических систем как функции некоторых переменных. По этой причине изучение спектров графов оказывается полезным, несмотря на доступность современных ЭВМ. Например, Кинг [31] показал, что аналитическое поведение динамики колебательных химических реакций может быть прогнозировано в результате исследования вида спектров соответствующих диаграмм, известных как диаграммы влияния. [c.279]

Упражнение. Покажите, что спектр собственных значений для уравнения (U.6.9) действительно является дискретным, если I ж 1 при д — -as, где а > 1. [c.300]

Они соответствуют частотам переходов, которые имеют место в одно- или многоквантовом спектре. Собственные значения супероператора представляющие интерес с точки зрения эволюции когерентных компонент, являются скоростями поперечной релаксации (см. разд. 2.3.2) [c.349]

Диагонализация матрицы 1 даст спектр собственных значений задачи. [c.225]

Собственные значения оператора (6.34) определяют характерные времена релаксации. Поскольку в общем случае знание спектра таких собственных значений не всегда доступно, то для обнаружения качественных зависимостей, а также для построения интерполяционных соотношений иногда используют так называемые модельные интегралы столкновений с простыми спектрами собственных значений. Простейшим модельным интегралом столкновений является [c.44]

Это условие удовлетворяется, если Ь Ь = т, где /л = О, 1, 2, . .. Таким образом, спектр собственных значений оператора является [c.36]

Исследуем свойства собственных функций операторов, имеющих непрерывный спектр собственных, значений. В этом случае собственные функции удовлетворяют уравнению [c.43]

Совокупность собственных функций фр ) образует полную систему функций, т. е. любая функция ф, зависящая от тех же переменных, может быть представлена в виде линейной суперпозиции состояний, в которых физическая величина Р имеет определенное значение. В связи с непрерывным характером спектра собственных значений такая линейная комбинация будет изображаться интегралом [c.43]

Если оператор Н имеет непрерывный спектр собственных значений, то [c.71]

Поясним вышесказанное примерами. Рассмотрим для простоты состояние движения одной частицы. Для описания состояния выберем две системы базисных функций 1) собственные функции, соответствующие оператору, имеющему дискретный спектр собственных значений, 2) собственные функции, соответствующие оператору, имеющему непрерывный спектр собственных значений. Полученные результаты легко обобщить на случай операторов, имеющих как дискретный, так и непрерывный спектр собственных значений. [c.126]

Операторы Р в представлениях, соответствующих операторам, имеющим непрерывный спектр собственных значений (/ -представление, р-представление и др.), могут быть записаны в виде дифференциальных выражений. В этом случае собственные функции и собственные значения этих операторов находятся при решении дифференциальных уравнений. Для операторов. [c.138]

Для исследования спектра собственных значений оператора [c.415]

В системах с гамильтонианом (96,8), имеющим дискретный спектр собственных значений Еп, выражение (96,9) заменяется -суммой / [c.462]

В заключение необходимо указать, что для простоты в этом разделе предполагалось наличие дискретного спектра собственных значений и возможность обобщения всех проведенных выше рассуждений на случай непрерывного спектра (в дальнейшем, изложении также использованы эти предположения). [c.59]

Известно, что при заданном виде уравнения движения, т. е. при заданной силовой матрице А (п) в уравнении (1.17), для определения спектра собственных значений необходимо сформулировать некоторые граничные условия. Однако оказывается, что конкретный вид разумных ( корректных ) граничных условий мало влияет на спектр возможных значений к в кристалле, состоящем из очень большого числа атомов. Исходя из этого интуитивно ясного положения, мы выберем граничное условие так, чтобы оно максимально упрощало решение задачи. Таким условием является требование цикличности, согласно которому [c.40]

Набор собственных значений называется спектром собственных значений. Спектр может быть дискретным, как в рассмотренных выше примерах, и непрерывным, если уравнение (1.3) имеет решения при всех значениях Ь в некотором промежутке (или без ограничений). Число дискретных собственных значений бывает конечным или бесконечно большим. Спектр собственных значений может быть смешанным, т. е. состоять и из дискретных и из непрерывных значений. Каждому собственному значению соответствует вполне определенное решение которое называется собственной функцией (или характеристической функцией). В этом случае говорят, что собственная функция принадлежит собственному значению [c.19]

Найдите спектр собственных значений уравнения (1.4) при граничных условиях (1.5). [c.19]

Рассматривая случай дискретного спектра собственных значений, мы, естественно, нумеровали их и собственные функции одинаково это означало, что собственному значению ставится в соответствие собственная функция. В случае непрерывного спектра собственные значения нельзя нумеровать, так что и собственные функции не нумеруются. Однако соответствие между собственными значениями и собственными функциями остается. Поэтому, когда L пробегает непрерывные значения, соответствующую ему функцию отмечают индексом этого значения /х. или считают, что функция f зависит от L как от параметра, записывая это так / (х, Ь). [c.24]

Эта функция обладает всеми свойствами волновой функции, так что на Рх не требуется накладывать каких-либо ограничений. Спектр собственных значений рх непрерывен —оо с Рх [c.73]

Таким образом, спектр собственных значений оператора № дискретен [c.76]

Нужно заметить, что иногда даже небольшое возмущение может существенно изменить характер спектра собственных значений, например вместо дискретного спектр может стать непрерывным. В этом случае рассмотренное приближение оказывается неприемлемым. [c.134]

Каждое уравнение системы (Х.38) может быть решено независимо от других уравнений. В результате получится спектр собственных значений и собственных функций. Если интересуются наинизшим энергетическим состоянием системы, из спектра выбирают решение, соответствующее наименьшему значению энергии. [c.161]

Таким образом, краевая задача (1.7.13) имеет дискретный спектр собственных значений Gq > Oi > сгг > О3,..., причем наибольшее собственное значение положительно, остальные отрицательны собственная функция, принадлежащая наибольшему собственному значению Fq( ) = не меняет знак на интер- [c.41]

Вышеприведенные формулы должны быть изменены, когда наблюдаемая XV имеет спектр собственных значений, который не является полностью дискретным,, а является полностью или частично непрерывным. Собственное ф, принадлежаш,ее [c.27]

Наиболее важным случаем наблюдаемой, имеющей сплошной спектр, является координата х, которая, как мы предполагаем, обладает сплошным спектром собственных значений. Для частицы в трех измерениях х, у и 2 образуют систему коммутирующих наблюдаемых (полную, если не рассматривать спина электрона, который мы введем позже, как четвертую коммутирующую наблюдаемую 5, имеющую только два собственных значения). Для п частиц мы имеем систему XI, У1, 21,. .., х , у,л 2 . Для краткости мы будем обозначать эту полную систему наблюдаемых через х [c.28]

Если IV — наблюдаемая, которая имеет непрерывный спектр собственных значений, то ее собственные состояния должны быть нормированы согласно (2.34), а не (2.8), и суммы в разложениях в ряд по ф (да ) должны быть заменены интегралами. В этом случае мы получаем для условия нормировки [c.30]

Свойство сим метризуемости оператора к е, е ) обеспечивает вещественность его собственных значений. Надо отметить также, что этот оператор должен иметь отрицательный спектр собственны значений, ибо в противном случае в решение входил бы член типа се МХ > 0), что приводило бы к неограниченному росту концентрации. [c.193]

Рассмотрим спектр собственных значений одноэлектронного оператора. В нерелятивистской теории энергетический спектр ограничен снизу и собственные значения (иГ) удобно располагать в неубьшающем порядке. [c.104]

О < Np < 41р + 2. Так как все одноэлектронные собственные значения / < О, то и весь спектр собственных значений многозлектронной задачи так е отрицателен. [c.123]

Рассмотрим сначала общеизвестный случай бензола. В этой полигональной системе внешняя и две однотипные тангенциальные внутренние орбитали являются 5р -гибридными орбиталями, тогда как радиальная внутренняя орбиталь — орбиталью р-типа таким образом, используется полный набор 5р -валентных орбиталей атома вершины. Двенадцать тангенциальных внутренних орбиталей взаимодействуют попарно с образованием 6 связывающих и 6 ан-тисвязываюших орбиталей, соответствующих ст-связывающим и а -антисвязывающим орбиталям шести углерод-углеродных (т-связей при обычном рассмотрении в рамках метода МО [24]. Шесть радиальных внутренних р-орбиталей взаимодействуют с образованием известного спектра собственных значений [25] плоского шестиугольника С , состоящего из трех тг-связывающих и трех тг -анти-связывающих орбиталей. Следовательно, полный скелет бензола имеет 9 связывающих орбиталей (бег + Зтг), заполненных 18 скелетными электронами такое число скелетных электронов образуется, когда каждая из 6 нормальных вершин СН вносит по 3 скелетных электрона. [c.125]

Кроме того, те же вычисления, проводимые для частных случаев, когда уравнение Орра — Зоммерфельда становится самосопряженным (например, в случае одномерного потока, когда О = onst) приводит к равномерной сходимости. Дело в том, что при О = onst спектр собственных значен-ий может быть вычислен точно и затем сравнен с результатами приближенных вычислений. Во всех таких случаях Платтен получил превосходное согласие с точными результатами. [c.185]

Чтобы различать собственные функции оператора Р, соответствующие разным собственным значениям, мы будем писать справа от функции в виде индекса собсгвенное значение, например фр . Если спектр собственных значений оператора дискретный, то собственные значения мол<но перенумеровать Ри Рг,. . , Р-п,. .. В этом случае в качестве индекса у собственной функции часто пишут не собственное значение, а его номер, т. е. = фп- Целые числа п, определяющие собственные Значения и собственные функции, называют квантовыми числами. [c.34]

Непрерывные, однозначные и конечные решения этого уравнения возможны для всех действительных значений рх, заключенных в,, интервале—оо < <С Рх < оо, Следовательно, оператор имеет непрерывный спектр собственных значении. Каждому собсгвенпому значению — р соответствует одна собственная функция (отсутствует вырождение) [c.36]

Пусть операт( р Р имеет невырожденный дискретный спектр собственных значений Рп- Тогда собственные функции этого оператора удовлетворяют уравнению [c.39]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология