Решение основных дифференциальных уравнений при помощи рядов

Метод последовательных приближений тесно связан с другим достаточно простым и надежным подходом в анализе уравнения ФП, использующим квазистационарные функции распределения (КФР). Более того, предложенная в предыдущем разделе итерационная схема построения СЗ и СФ была развита в более поздних работах с использованием основных положений метода КФР. Отметим, что на основе КФР удается построить решения >равнения ФП с потенциалами, возрастающими на бесконечности не быстрее х (спектр СЗ здесь является непрерывным), а также с потенциалами, зависящими от времени. В этом смысле данный подход имеет более широкие границы применимости, чем краевая задача на СЗ и СФ. Его суть состоит в том, что решение уравнения ФП представляется в виде ряда по временным производным от какого-либо одного или нескольких параметров задачи. При этом ее решение сводится к нахождению решения обыкновенного дифференциального уравнения для выбранного параметра задачи, что существенно упрощает анализ. Первый член ряда, соответствующий нулевому приближению, является равновесной функцией распределения. Остальные члены описывают отклонения- от равновесия. Чем больше членов в данном ряду учитывается, тем с более ранних моментов времени применима КФР. В отличие от нестационарной теории возмущений, дающей решения близкие к начальному моменту времени, с помощью КФР находятся решения, описывающие эволюцию системы к состоянию равновесия для достаточно больших моментов времени наблюдения /45, 46/. [c.48]

С развитием математического моделирования процессов и реакторов и исследованием с помощью математических методов динамических процессов нестационарной кинетики математика сделалась органическим вплетением в логические основания и химии, и химической технологии. И если в настоящее время учение о химических процессах называют и химической физикой (школа И, Н. Семенова), и физической кинетикой, то цементирующим элементом в системе, которая включала в себя химические и физические представления о химико-технологическом процессе, является скорее всего именно математика. И что особенно интересно и важно — это то, что в этой системе происходит развитие одновременно и параллельно и химических, и физических, и технических, и математических знаний. Дело в том, что решение кинетических задач оказалось невозможным в рамках классической теории дифференциальных уравнений. Сложный нелинейный характер протекания химических процессов выдвинул ряд новых задач, решение которых обогатило собственно и математику. В последние несколько лет создалась новая дисциплина, пограничная между математикой и химией, а фактически между математикой и теорией химической технологии, которая призвана решать задачи химии в основном в связи с созданием промышленного химического процесса, — математическая химия, призванная служить надежным теоретическим основанием учения о химических процессах. [c.163]

Когда начиналось развитие науки о теплопередаче, ее задачи были рассмотрены аналитически на основе дифференциальных уравнений Навье —Стокса и Фурье — Кирхгофа. Большой заслугой аналитических рассуждений было фундаментальное и точное выяснение физической стороны явления, т. е. основательное ознакомление с механизмом теплоотдачи и установление ее зависимостей. Однако практические результаты математического анализа невелики. Решение аналитических уравнений, к сожалению, возможно только для некоторых очень простых случаев и то при упрощающих предпосылках. Такие предпосылки, идеализирующие условия процесса (например, допущение идеальной ламинар-ности потока, полной несжимаемости жидкости, неизменности физических параметров и другие чисто математические упрощения), часто приводят к результатам, не согласующимся с опытом. Тем не менее в ряде случаев решения, полученные с помощью математического анализа, оказались настолько хорошим приближением, что за отсутствием достаточно обширного контрольного опытного материала пользовались всеобщим признанием. Установленные затем экспериментально поправки к ним оставляли часто неизменным основное содержание функции. Более доступными для математического анализа оказались случаи, связанные с ламинарным движением потока. Турбулентность потока создает дополнительные большие трудности, часто непреодолимые, особенно при запутанных гидродинамических условиях. Если бы не очень ограниченные возможности точного аналитического метода исследования, то мы не были бы вынуждены искать других путей. [c.321]

Одной из трудностей, препятствующей решению основных дифференциальных уравнений, описывающих переходные характеристики колонны, является нелинейность равновесных кривых пар — жидкость. Использование линейных соотношений пар — жидкость и других упрощающих предположений значительно уменьшает трудности при использовании основных уравнений, но только в немногих случаях справедливость этих допущений была подтверждена экспериментально. Рекомендации Вильямса 2 для оптимального регулирования ректификационных колонн были получены с помощью аналоговых вычислительных машин и подтверждены экспериментами других исследователей. Уравнения динамики Розенбрука также были подтверждены экспериментальными исследованиями переходных характеристик, выполненными Армстронгом и Вилькинсоном на колонне диаметром 100 мм с колпачковыми тарелками 1 Этой же теме посвящен ряд других работ . [c.379]

Из фундаментальных соотношений теории случайных марковских процессов выведены стохастические интегродифференциальные (скачкообразные), разрывные (дискретно-непрерывные), диффузионные и матричные (дискретные в пространстве состояний по времени) модели кинетики механодеструкции, описывающие эволюцию дифференциальных функций числового распределения макромолекул полимеров по длинам. Проведен последовательный анализ выведенных уравнений кинетики механодеструкции. Он показал, что при некоторых упрощающих предположениях решениями этих уравнений являются известные в литературе функции распределения Пуассона, Танга, Кремера-Лансинга и др. С помощью математического аппарата теории дискретных марковских процессов построены модели кинетики структурных превращений в ферритах -шпинелях, активированных в планетарных машинах разработана обобщенная модель кинетики механорасщепления зерен на примере природного полисахарида - крахмала. Из основного кинетического уравнения Паули выведены стохастические модели ряда элементарных химических реакций, протекающих в дисперсных системах при механическом нагружении частиц твердой фазы. Проведен анализ выведенных уравнений и выявлены преимущества статистического метода описания кинетики химических реакций перед феноменологическим. [c.19]