Аппроксимация временной производной

Аппроксимация временной производной [c.367]

Используя следующие простые аппроксимации для производных по времени и координате в уравнении (66) [c.223]

Чаще других в работах по молекулярной динамике используется схема численного интегрирования уравнений (1), основанная на аппроксимации второй производной координат по времени симметричной разностью второго порядка. Соответствующие разностные уравнения имеют вид [c.66]

Для аппроксимации производных по времени используется линейная аппроксимация первого порядка, а для аппроксимации пространственных производных — параболическая аппроксимация второго порядка. Получаем разностное уравнение (см. рис. 8.4 и п. 8.2.1) [c.141]

Если пытаться поступить подобным образом в случае дифференциальных уравнений в частных производных, то могут возникнуть по крайней мере две альтернативы либо одна из зависимых переменных разбивается на бесконечный ряд дискретных значений переменной состояния, либо состояние системы рассматривается как последовательность профилей, а в качестве траектории принимается поверхность, образованная движением линий профиля во времени в функциональном пространстве стационарных состояний. Первая из этих возможностей связана с конечно-разностной аппроксимацией, которая применяется в численном анализе дифференциальных уравнений в частных производных. Однако вторая возможность более приемлема, поскольку она приводит к удобной геометрической интерпретации. [c.116]

Решение приведенных выше уравнений является более сложной задачей, чем ранее. Однако во многих случаях можно использовать различные упрощающие приближения. Так, например, при малых разностях температур в области, где исследуется перенос, можно пренебречь изменениями свойств жидкости, учитывая при этом только различия в плотности, которые, собственно говоря, и являются причиной свободноконвективных движений. Далее в случае установившихся течений производные по времени оказываются равными нулю. Наконец, к еще большим упрощениям приводит использование приближений типа пограничного слоя. Все эти аппроксимации подробно обсуждались нами в гл. 2—5 для различных течений ньютоновских жидкостей. Аналогичные упрощающие соображения применяются также и при описании процессов переноса в неньютоновских жидкостях. [c.421]

Если в начальный момент времени имеются частицы всех размеров и аппроксимация начального распределения дискретной функцией неприемлема, то для описания процесса коагуляции следует воспользоваться интегральным уравнением коагуляции. Пусть / ( , — функция распределения частиц по массам т в момент времени 1. Тогда производная функции распределения частиц по времени, будет равна [c.95]

Кроме графической обработки экспериментальных данных спектр времен релаксации можно рассчитывать или аналитически, подобрав соответствующее уравнение для Е (О, или с помощью ЭВМ. Однако удовлетворительная аналитическая аппроксимация экспериментальной кривой еще не гарантирует хорошего приближения как для первой производной [102], так и для производных высших порядков. Поэтому второй путь — применение ЭВМ, позволяющий проводить непосредственное численное дифференцирование экспериментальной кривой, дает более точные результаты [98—100, 102]. Полученный таким образом спектр можно затем аппроксимировать аналитически, как, например, в работе [98], в которой для аппроксимации использовали формулу Шарлье. [c.86]

При моделировании динамики теплообмена по уравнению (V, И) на машине МН-7, располагающей шестью интеграторами, допустима аппроксимация системой шестого порядка. Поскольку в уравнении (V, 11) частная производная по времени имеет первый порядок, аппроксимация возможна системой из шести дифференциальных уравнений первого порядка [c.211]

ПО Ньютону и трения по Рэлею в качестве уравновешивающих факторов, можно построить и бароклинный пример. Теплоотдача по Ньютону (см. разд. 8.11) представляет собой линейную аппроксимацию радиационных факторов, восстанавливающих равновесие. В уравнении (9.13.15) она учитывается с помощью замены производной д/дt на оператор д/д1 + а), где — постоянная времени для процесса, устанавливающего равновесный режим температуры. Аналогично можно преобразовать и уравнения движения, в которых д/д1 заменяется на оператор (д/дt + г), где — временная постоянная процесса затухания, связанного в данном случае с рэлеевским трением . Будучи в известной мере искусственным, этот метод все же позволяет дать аналитическое толкование положениям Галлея (1686) [284] и Гадлея (1735) [283]. Покажем это. [c.69]

Методом ПМР измерены текущие концентрации исходных соединений и продуктов прямой и обратной реакции Дильса-Альдера между фураном и метилакрилатом. Сплайн-аппроксимацией экспериментальных данных получены соотношения концентраций и их производные в зависимости от времени реакции, позволяющие вычислить константы скорости образования и распада экзо- и эн-до-аддукта из дифференциальных уравнений, отвечающих механизму процесса, исключающему непосредственные взаимопревращения аддуктов. Установлено, что констаты скорости при движении системы к равновесию с обеих сторон испытывают колебания, по-видимому, в связи с существованием энергетических цепей. При уфеднении повторной сплайн-аппроксимацией эти зависимости сводятся к кривым с одним минимумом в области равновесных концентраций, причем соотношения констант скорости прямых и обратных реакщш (константы равновесия) практически не изменяются. [c.78]

Для решения задачи используется широко известная схема Рунге - Кутты четвертого порядка аппроксимации [98]. Вопросы устойчивости данной схемы подробно исследовались в монографии [70]. Сходимость и устойчивость схемы Рунге - Кутты четвертого порядка следует из существования и непрерывности четвертых производных по времени от искомых функций. В нашей задаче данное условие вьшолняется. [c.345]

Аппроксимация здесь строится так подынтегральная функция заменена своим средним значением по вершинам ячейки, производная по времени — разностным отношением. [c.77]

Экспериментальные зависимости /ДР][М] или [Р][М]// от времени реакции (г) усредняли методом сплайн-аппроксимации. Использован алгоритм СПЛАЙН-РЕГЗ [2], в котором пользователем вводится один параметр РР, изменяемый от О до 1. Чем меньше его значение, тем менее точно кривая проходит через экспериментальные значения функции, но тем более она гладка. Одновременно алгоритм дает производную функции по аргументу. [c.79]

Наиболее трудоемким является вычисление производных. Если они рассчитываются численно (а это для сложных схем часто единственный способ), то необходимо многократно пересчитывать схему. Помимо больших затрат времени численное определение производных имеет недостатком низкую точность и вследствие этого ошибки аппроксимации, особенно в окрестности экстремума. Применение же уравнений сопряженного процесса, по-видимому, э ктивно в случае явной функциональной зависимости между выходными и входными переменными. В реальных условиях эта зависимость обычно неявная. Что касается метода спуска для вычисления нового приближения, то здесь имеются достаточно эффективные методы [55, 56]. [c.143]

Метод требует определения матрицы вторых производных. В большинстве реальных аадач нельзя выписать в явном виде выражения для элементов матрицы G или получение их достаточно трудоемко. Использование же разностной аппроксимации для нахождения вторых производных может привести к большим затратам машинного времени и, кроме того, к грубой аппроксимации матрицы Gk- [c.269]

Синтетическая обработка сигнала (syntheti pro essing) Метод разработан для одностороннего импульсного ТК и включает 1) полиномиальную аппроксимацию экспериментальных данных в логарифмических координатах 2) восстановление последовательности термограмм 3) анализ первой и второй производной от температуры по времени [c.16]

С точки зрения стратегии поиска к первой группе относятся метод Гаусса — Зейделя [11 ], симплекс-метод [12 ] и др. Методы второй группы — это метод градиента, наискорейшего спуска и их модификации [11 ]. И наконец, методы третьей группы основаны на аппроксимации минимизируемой функции в окрестности рабочей точки квадратичной формой. В связи с тем что вычисление вторых производных численными методами неточно и требует больших затрат машинного времени, а получение аналитических формул очень трудоемко, в последнее время разработан ряд методов, которые используют только первые производные, но по скорости сходимости превосходят градиентные методы. Это метод Да-видона — Флетчера — Пауэлла [13 ], метод сопряженного градиента и др. [14 ]. Последние методы разработаны для случая, когда ограничения на управления отсутствуют. Однако они могут быть легко модифицированы на случай, когда имеются простые ограничения вида Нг йг [14 ]. [c.371]

Чтобы исследовать характер рещений уравнений (2.95), можно воспользоваться вариационным методом [23]. Для преодоления трудностей, возникающих при попытках применить вариационные принципы гамильтоновского типа к уравнениям, которые содержат производные по времени нечетных порядков, можно воспользоваться идеей работы [24]. В этой работе предлагается использовать лагранжиан, который содержит малый параметр, так, что при устремлении его к нулю в конечных результатах удается получить достаточно точную аппроксимацию искомого решения. [c.103]

Оно является следствием различия в способах аппроксимации кинетической энергии на общих границах соседних временных слоев (см. производную по времени в (2.361а)). [c.177]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология