Итерационная схема Ньютона

Итерационная схема Ньютона [c.102]

Исходную систему уравнений преобразуют в полиномы высокого порядка или системы нелинейных уравнений. Они могут быть решены только численными методами с применением ЭВМ. Расчет по полученным полным уравнениям кислотно-основных взаимодействий можно осуществлять при любом сочетании параметров математической модели, в том числе и в случаях, когда применение приближенных формул затруднено или дает неправильные результаты. Приведение системы к полиному или системе с минимально возможным числом уравнений значительно упрощает процесс программирования по сравнению с программированием исходной системы уравнений. При разработке алгоритма расчетов в итерационную схему включена корректировка средних коэффициентов активности ионов. Были разработаны алгоритм и программа расчетов равновесных концентраций ионов и кривых потенциометрического титрования электролитов [37]. Полученный полином или система решается итерационным методом Ньютона Рафсона, причем в программе предусмотрен автоматический выбор работающих членов полинома или системы уравнений. Обращение к числам очень малого порядка осуществляется путем их логарифмирования и последующей нормализации. [c.8]

Для дальнейшего преобразования правой части выражения (4.66) следует задать конкретную структуру функции Ф. В линейной схеме Ньютона - Рафсона параметры вычисляют по итерационной схеме [c.255]

Все остальные методы локальны и уточняют положение какого-то минимума, который иногда может не быть глобальным. Их успешно применяют лишь в случае, когда известно достаточно хорошее приближение к структуре исследуемой молекулы. Это методы поочередного уточнения параметров, наибыстрейшего спуска и др. Наиболее распространен среди них метод минимизации функционала (6.15) по схемам Ньютона—Гаусса и Ньютона—Рафсона. При этом после разложения в ряд Тейлора выражения (6.15) для 8М(з) и пренебрежения всеми членами, начиная с квадратичного, возникает система линейных уравнений относительно искомых параметров. Эту систему решают известными методами, что позволяет, применяя итерационную процедуру, уточнять значения структурных параметров. Достоинством данного метода наряду с уточнением геометрических параметров является возможность оценить величину случайной ошибки при их определении. [c.150]

Решать систему уравнений (2.10) при фиксированных температурах и плотности вследствие ее нелинейности и достаточно большой размерности целесообразно численными методами. Использование метода Ньютона для решения приводит к еле дующей итерационной схеме, сводящейся в основном к решению системы линейных уравнений относительно поправок А/, [c.28]

Наибольшей общностью обладает метод расчета массообменных режимов экстрактора с помощью ячеечной модели с обратными потоками по обеим фазам, основанный на применении итерационной процедуры Ньютона — Рафсона [54]. Структура модели представлена на рис. У1.5. Трудность расчета обусловлена характером граничных условий для модели данного типа. В соответствии со структурной схемой материальный баланс потоков в статике представляется системой уравнений для фаз [c.388]

Блок-схема не содержит всех деталей программы она передает лишь основные черты алгоритма. Так, например, в блок-схеме перед итерационной процедурой пропущен оператор условного перехода, который проверяет условие / (v) = О Если / Q ) = О, то произойдет деление на О и выполнение программы будет прервано. Геометрически это означает, что касательная параллельна оси дс и нигде ее не пересекает. Аналогично функционирует оператор условного перехода при выяснении того, достигнута ли желаемая точность. О том, что существуют различные критерии сходимости, известно из обсуждения программы ПОЛ-ДЕЛ . Ниже приведена распечатка программы НЬЮТОН . [c.119]

Метод Ньютона сходится быстро, но требует хорошего началь ного приближения и вычисления матрицы частных производных от левой части системы уравнений (Д. I) на каждом итерационном шаге. Для системы нелинейных уравнений (Д. 1) со сложной левой частью получение аналитических выражений для частных производных требует большой предварительной вычислительной работы. Если же производные получаются численно с помощью разности, го на каждом шаге требуется п + 1 раз вычислить левую часть системы уравнений (Д.1) [п — размерность системы уравнений (Д. 1)]. При большом п количество вычислений будет очень велико. Не следует забывать, что однократный расчет левых частей системы (уравнений (Д. 1) соответствует однократному расчету всех аппаратов схемы. [c.369]

Несмотря на хорошие свойства точности и устойчивости, практическое использование неявных методов типа Рунге—Кутта является еще весьма и весьма ограниченным. Причины этого заключаются в больших вычислительных затратах на шагах интегрирования. Из (П7.8) видно, что для вычисления ki требуется организовать итерационный процесс. Простой итерационный процесс является малоэффективным при решении жестких задач, так как он приводит фактически к такому ограничению на размер шага, что и явные методы. Поэтому возникает необходимость использования метода Ньютона—Рафсона или какой-либо его модификации. Это, в свою очередь, приводит к необходимости обращения матрицы размерности тхМ, что соответствует скалярным произведениям. Некоторого сокращения вычислительных затрат достигают за счет Ьи — разложения итерационной матрицы, а также за счет использования одной и той же матрицы на нескольких шагах интегрирования. Это оправдано тем, что итерационная матрица не влияет на порядок точности численной схемы и поэтому необходимость в ее направлении возникает только при значительном замедлении сходимости итерационного процесса. [c.276]

В то же время отметим, что применение итерационной схемы Ньютона для решения конечно-разностных уравнений (2.7) не, обеспечивает выполиение законов сохранения на промежуточных итерациях. Показано, что выполнение законов сохранения с заданной относительной точностью еще не гарантирует того, что концентрации нри этом будут находиться с такой же относительной точностью. Особенно неточно при этом могут находиться концентрации веществ, содержание которых в смеси мало. Поэтому чтобы гарантировать заданную относительную точность расчета всех концентраций (в том числе и токсичных), надо следить за тем, чтобы с необходимой для этого точностью удовлетворялись в первую очередь те из уравпений (2.7), которые соответствуют наименьшим компонентам. Кроме того, сходимость итерационных методов, применяемых для решения (2.7), практически всегда улучшается, если значения а +1 во всех промежуточных итерациях точно удовлетворяют законам сохранения. [c.65]

Первый метод основан на использовании уравнений стационарного пламени в эйлеровых координатах. Вторая форма этих, уравнений получается при опускании производной по времени в уравнениях типа (4.19) (ср. с лагранжевым представлением,, когда в левой части опускается производная по пространственной координате). Ход вычислений в основном совпадает, как показано в [99], с алгоритмом решения нестационарных уравнений, за исключением того, что шаги по времени заменяются итерационными шагами по методу Ньютона в направлении решения. Скорость сходимости, если последняя имеет место, весьма велика, однако вычисления с непосредственным применением схемы Ньютона могут оказаться неустойчивыми, поскольку отсутствует стабилизирующее влияние члена, связанного с производной по времени, при малых (или при больших значениях Р в уравнении (4.23) и в соответствующих конечно-разностных уравнениях). Для уменьшения чувствительности алгоритма к выбору начального приближения возможно, конечно, применение релаксационного метода, такого, например, как использовавшийся в работах [54, 19]. Однако более важным оказывается то обстоятельство, что область сходимости для алгоритмов расчета стационарного пламени увеличивается вместе с загруб- [c.102]

Все рассмотренные итерационные методы [простая итерация для расчета замкнутых схем (стр. 100), методы Ньютона и квазилинеаризации (стр. 142), модификация метода Ф. А. Черноусько и И. А. Крылова для расчета оптимальных режимов сложных схем (стр. 234)] можно представить в впде следующей общей итерационной процедуры [c.313]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология