Дифференциальное уравнение теплопроводности. Краевые условия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ [c.116]

В зависимости от характера связей между параметрами процесса или его физической модели математическое описание может быть представлено в виде алгебраических, дифференциальных или интегрально-дифференциальных уравнений. Для иллюстрации напомним, что дифференциальное уравнение теплопроводности, полученное на основе закона сохранения и закономерности переноса тепла, является математическим описанием класса явлений теплопроводности. Если схематизировать какой-нибудь отдельный случай теплопроводности, сфор" мулировать краевые условия и решить полученную замкнутую систему уравнений, то в результате мы будем иметь математическую модель рассматриваемого конкретного случая теплопроводности. В тех случаях когда для решения системы уравнений применяются вычислительные машины, математическое описание по существу уже является и математической моделью. [c.16]

Дифференциальное уравнение теплопроводности и краевые (начальные и фаничные) условия, необходимые для его решения, отражают объективные закономерности теплотехнических процессов, происходящих в печах. Поэтому методика теплотехнических расчетов различных печей часто основана на решениях дифференциального уравнения теплопроводности в соответст ющей специфической форме при тех или иных конкретных краевых условиях. Если необходимое точное решение пока отсутствует или не приведено к удобному виду, методика приближенного расчета должна в целом соответствовать постановке задачи, принятой в теории теплопроводности. [c.618]

Понятия о граничных и начальных условиях можно выразить на примере переноса теплоты (теплопроводностью). Для выбора нужного (единственного для данного конкретного случая) решения дифференциального уравнения теплопроводности необходимо включить в систему дополнительные условия. Удовлетворять таким дополнительным условиям будет решение в виде зависимости t = f (х, у, г, т), где I — температура х, у, г — координаты т — время. Графически эту зависимость можно представить интегральной поверхностью (в четырехмерном пространстве). В этом случае краевые условия в общем виде можно представить, задав [c.23]

Понимая в дальнейшем под теплофизическими характеристиками (свойствами) температуропроводность, теплопроводность и удельную теплоемкость, отметим, что абсолютное большинство методов их определения основаны на решениях линейного дифференциального уравнения теплопроводности (1-16) при заданных краевых условиях. [c.18]

Следовательно, задача сводится к нахождению решения двумерного дифференциального уравнения теплопроводности (1-28) при следующих краевых условиях [c.27]

Необходимость решения тепловой задачи трения обусловлена стремлением уменьшить тепловую напряженность фрикционного сочленения. Этого можно достигнуть подбором оптимальных пар материалов и осуществлением соответствующих габаритов и конструктивных форм сочленения. Тепловая задача может быть решена положительно только в том случае, если известно тепловое поле фрикционной пары. Следовательно, тепловая задача трения в инженерном смысле сводится к решению дифференциального уравнения теплопроводности при соответствующих каждому конкретному случаю краевых условиях. [c.185]

В печах для термической обработки часто задается нагрев с определенной скоростью повышения температуры поверхности металла, например 100° в час. Это значит, что температура поверхности металла должна изменяться по прямой. В этом случае задача заключается 1) в определении времени нагрева центра тела путем теплопроводности и 2) в определении температуры печи, необходимой для осуществления заданного графика нагрева поверхности. Математически задача сводится к решению дифференциального уравнения теплопроводности при следующих краевых условиях 1) температура тела в начале нагрева по всему сечению равна нулю 0 = О и 2) температура поверхности изменяется со скоростью к град час, т. е. — fe т. [c.46]

Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерной задачи известно. Краевые условия следующие [c.314]

Решение (15) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности для шара (симметричная задача) и краевым условиям., [c.430]

В гл. I было показано, что решение дифференциального уравнения теплопроводности должно удовлетворять не только самому уравнению, но и начальным и граничным условиям. Возникает вопрос, могут ли существовать одновременно два решения, которые удовлетворяют уравнению и краевым условиям Ниже будет показано, что таких двух разных решений быть не может. Эта теорема называется теоремой единственности решений. [c.579]

Поскольку уравнения пограничного слоя относятся к параболическим дифференциальным уравнениям (в которых пространственная координата х играет роль как бы времени в уравнении типа теплопроводности), задача в целом в связи с условием на фронте относится к классу краевых задач с движущейся границей /ф = 1/ ( ф)- Классический пример задач такого рода — известная задача Стефана о движении фронта плавления и т. п. [Л. 85]. [c.37]

Краевые условия. Цель аналитической теории теплопроводности состоит в определении поля температур в теЛе в любой момент времени. Для решения этой задачи кроме дифференциального уравнения необходимо знать поле температур для какого-нибудь предшествующего момента времени (начальное условие), а также форму тела и закон теплообмена между окружающей средой и поверхностью тела (граничные условия). Начальное и граничные условия в совокупности называются краевыми условиями. [c.25]

Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности илн краевыми условиями. [c.22]

Методы математической физики, в частности методы интегральных преобразований, позволяют эффективно решать сравнительно узкий круг задач теории переноса. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений с весьма общими краевыми условиями точные методы решения наталкиваются на большие трудности, которые становятся непреодолимыми при рассмотрении нелинейных задач. В этих случаях приходится обращаться к тем или иным численным методам решения. Важно отметить, что использование численных методов зачастую позволяет отказаться от упрощенной трактовки математической модели процесса. В настоящее время практически наиболее ценным методом приближенного решения уравнений теплопроводности является метод конечных разностей, или, как его еще называют, метод сеток. [c.59]

Нахождение температурного поля твердого тела в задачах теплопроводности связано с решением дифференциальных уравнений с разнообразными краевыми условиями. Необходимо иметь способы эффективного решения этих задач с целью практического использования. Остановимся на наиболее общем и простом по технике вычисления методе преобразования Лапласа, т. е. применим функциональное преобразование Лапласа [c.473]

При малых е ФО решение (10.70) близко к Тдрос всюду вне -окрестности точки = 1. В окрестности точки = 1 график изменения температуры резко изгибается, чтобы наклон кТ/сК, = у сменился на величину dT d( = ТН, соответствующую краевому условию (рис. 10.5). Такое поведение решения объясняется образованием у подошвы залежи теплопроводного пограничного слоя и характерно для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной (как в уравнении (10.68)). [c.329]