Малый параметр

Большинство существующих промышленных процессов в химической и нефтехимической промышленности (реакторные процессы, массообменные и теплообменные процессы, процессы смешения газо-жидкостных и сыпучих сред и т. д.) — это процессы с низкими (малыми) параметрами (давлениями, скоростями, температурами, напряжениями, деформациями). В силу специфики целей и задач химической технологии здесь на передний план выступают процессы химической или физико-химической переработки массы. Поэтому при структурном упрощении обобщенных описаний, как правило, пренебрегают в первую очередь динамическими соотношениями (характеризующими силовое взаимодействие фаз и отдельных составляющих внутри фаз) или учитывают их косвенно при установлении полей скоростей фаз, концентрируя основное внимание на уравнениях баланса массы и тепловой энергии. Кроме того, в самих уравнениях баланса массы и энергии, наряду с чисто гидромеханическими эффектами (градиентами скоростей, эффектами сжимаемости, диффузии и т. п.), первостепенную роль играют [c.13]

Наличие малого параметра при старшей производной для больших значений Ре создает значительные математические трудности при численном решении уравнения (4.42) даже при использовании современных быстродействующих ЭВМ. [c.180]

Тест особого управления [67] является частным случаем я-крите-рия. Его применение целесообразно, когда оптимальное стационарное управление является особым и позволяет существенно сократить число вычислений. Методы малого параметра [68, 69], условие нестационарности оптимального управления [70] при известном решении задачи статической оптимизации также позволяют ответить на вопрос о том, является ли эффективным переход к нестационарному режиму. [c.291]

Будем считать, что X 1 это соответствует предположению о том, что на масштабах, сравнимых с размером отдельной ячейки, не происходит суш ественного изменения концентрации исходного вещества. Очевидно, что, если это предположение не выполняется, то описывать процесс с помощью квазигомогенной модели вообще бессмысленно. Так как число Рец — величина порядка единицы, показатель экспоненты в формуле (VI.56) можно разложить в ряд Тейлора по малому параметру Я/Рец. Ограничиваясь членами не выше второго порядка малости по Х, имеем [c.231]

Такой подход особенно эффективен при моделировании физикохимических процессов в полидисперсных средах с массовым взаимодействием составляющих в области малых параметров (реакторные гетерофазные процессы, кристаллизация, экстракция, абсорбция, ректификация, многие биохимические процессы и т. п.). Заметим, что при моделировании процессов в области больших параметров (давлений, скоростей, температур) могут быть использованы методы статистических теорий механики суспензий [14—16]. [c.15]

Для описания явлений четвертого уровня иерархической структуры ФХС могут быть использованы методы статистической теории механики суспензий, гидромеханические модели, основанные на представлениях о взаимопроникающих многоскоростных континиумах, методы механики взвешенных, кипящих дисперсных систем модели, построенные на основе математических методов кинетической теории газов, и др. В частности, для ФХС с малыми параметрами (давлениями, скоростями, температурами, напряжениями и т. д.) при описании процессов в полидисперсных средах эффективен прием распространения метода статистических ансамблей Гиббса на совокупность макровключений (твердых частиц, капель, пузырей) дисперсной среды. Та или иная форма описания стохастических свойств ФХС, дополненная детерминированными моделями переноса массы, энергии импульса в пределах фаз, в итоге приводит к общей математической модели четвертого уровня иерар- [c.44]

Уравнение конвективной диффузии и по форме сходно с уравнением гидродинамики Навье — Стокса. Последнее выражает баланс количества движения, переносимого в несущей фазе, в то время как первое —баланс вещества. Поэтому вполне допустимо использование тех же методов решения, какие применяются к уравнению Навье — Стокса, в частности, метода САР по малому параметру. Пусть процесс диффузии будет установившимся. Составим отношение членов из уравнения (3.6), которое по порядку величины равно [c.251]

О,. .а ), в которой инерционность -то элемента положена равной нулю. Величина o может быть определена, например, как относительная погрешность, с которой можно экспериментально измерить функцию и . Абсолютное значение величины O равно - 0,01—0,10. Коэффициент а. в выражении (1) является малым параметром. [c.8]

Поскольку т) и т]в известны с точностью до двух первых членов разложения по малому параметру, целесообразно и в (15) сохранить только два члена ряда [c.50]

Сделаем несколько замечаний, относящихся к моделям с малыми параметрами. [c.93]

Переход к пределу по малому параметру возможно обосновать и для динамических моделей [4, 5]. [c.93]

Сделаем некоторые замечания но поводу моделей с малыми параметрами. [c.98]

Правуро часть уравнения (VII,18) можно разложить в ряд по степеням малого параметра е. Оставляя в разложении члены не выше первого порядка по ё и переходя от векторной формы записи системы уравнений к обычной, найдем [c.325]

Разностные схемы для дифференциальных уравнений с малым параметром. Нахождение приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной с помощью традиционных конечно-разностных схем требует выбора шага разностной сетки намного меньше величины малого параметра. Это затрудняет их практическое использование и ставит вопрос о построении специальных разностных схем, погрешность которых на фиксированной сетке не возрастает при стремлении малого параметра к нулю. Вопрос о построении таких разностных схем рассматривался в работах [5—9]. В этом разделе построение специальных разностных схем проводится методом, изложенным выше, а также пспользуются результаты работы [7]. [c.154]

Здесь e — малый параметр (малое положительное число) и, таким образом, первые т реакции имеют высокие коэффициенты скорости, а группа (т + 1,. . ., Л) реакций имеет низкие значения коэффициентов скорости. Первая подсистема называется подсистемой быстрых реакций (быстрой подсистемой), а вторая — подсистемой медленных реакций (медленной подсистемой). В асимптотике е = О и система (3.59) вырождается в алгебро-дифферен-циальную. [c.155]

Ильин А. М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром прп старшей производной.— Мат. заметки, 1969, 6, № 2, с. 237—248. [c.161]

Алексеевский М. В. О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной.— В кн. Разностные методы математической физики. М. Изд-во МГУ, 1979, с. 36—60. [c.162]

Емельянов К. В. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной.— Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1980, т. И, № о, с. 54—74. - [c.162]

Рассматриваются два дополняющих друг друга подхода для численного решения краевых задач с большими градиентами. Предлагается метод построения специальных разностных схем, учитывающий те или иные особенности в поведении точного решения дифференциальной задачи. Исследуется корректность и сходимость метода. Для уравнений с малыми параметрами при старшей производной строятся разностные схемы второго порядка точности, равномерного по малому параметру. Для решения нестационарных краевых задач с большими, меняющимися во времени градиентами предлагается метод нестационарных (зависящих от номера временного слоя) пространственных сеток. Исследуется его устойчивость и сходимость. [c.168]

Уравнения химической кинетики, как правило, описывают процессы, в которых образуются быстрореагирующие активные частицы (радикалы, ионы, возбужденные молекулы и т.п.) и стабильные молекулы. Наличие таких разных частиц в системе обусловливает и различные временные характеристики протекающих в системе процессов. В математическом смысле это связано с наличием малого параметра е при ряде производных [c.132]

Аналитическое решение подобных задач в настоящее время сопряжено с трудностями, которые можно условно разделить на две группы. Трудности первой группы связаны с математической формулировкой задач физической и химической кинетики. Возникает вопрос о пригодности классического математического аппарата для описания интересующих нас физических явлений. Вторая группа трудностей связана с методами решения кинетических уравнений. Все аналитические методы так или иначе связаны с разложением искомых величин в ряд по малым параметрам. В целом ряде случаев, представляющих большой теоретический и практический интерес, отсутствуют возможности выделения таких параметров. Однако более серьезным является, по-видимому, вопрос об обоснованности самой теории возмущений. При процедурах разложения в ряд часто не учитываются члены высших порядков, что может привести к сильному искажению реальной физической картины. [c.201]

При малых е ФО решение (10.70) близко к Тдрос всюду вне -окрестности точки = 1. В окрестности точки = 1 график изменения температуры резко изгибается, чтобы наклон кТ/сК, = у сменился на величину dT d( = ТН, соответствующую краевому условию (рис. 10.5). Такое поведение решения объясняется образованием у подошвы залежи теплопроводного пограничного слоя и характерно для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной (как в уравнении (10.68)). [c.329]

При вычнслепнп производной / (0) в выражении для первой вариации полагается, что функция у 1, е) произвольным образом зависит от малого параметра е. При выводе уравнения Эйлера эта зависимость принималась в виде соотнои1ения ( ,51), где ш ) — прои шольиая функция, удовлетворяющая условиям ( ,50). [c.204]

Для описания математических моделей химико-технологических процессов используются системы дифференциальных уравнений в обыкновенных либо в частных производных с различного типа граничными и начальными условиями. Причем нелинейности, как правило, входят в свободные члены уравнений п описывают кинетические закономерности процессов, а коэффициенты перед производными зависят только от пространственных координат и времени либо вообще выбираются постоянными. В настоящее время [1, 2] достаточно полно разработаны и исследованы численные методы приближенного решения краевых задач такого вида. Однако численный анализ моделей химической технологии сталкивается со значительными трудностями, связанными с наличием у большинства процессов больших, сильно изменяющихся градиентов температурных и концентрационных нолей, вследствие чего применение традиционных конечноразностных методов решения задач с большими градиентами требует слишком мелкого шага дискретизации, что ведет к чрезмерно большому объему вычислительной работы и затрудняет численный анализ математических моделей каталитических процессов на ЭВМ. Большие градиенты искомых решений в задачах химической технологии возникают либо из-за малых параметров перед старшими производными (явление пограничного слоя), либо из-за наличия мощных источников тепла в случае сильноэкзотермических процессов. В вычислительной математике наметились два дополняющих друг друга подхода, позволяющих бороться с указанными трудностями. Первый из них состоит в построении [c.144]

Если вырождение минимума связано с асимптотиками по большим параметрам, то необходимо перейти к укороченной системе алгебро-дифференциальных уравнений. Применение качественной теории в данном случае позволит лишь установить принципиальную возможность такого перехода. Нас же интересует конкретный вопрос можно ли по тому или иному веществу применять принцип квазистационарности Ответ на него можно получить сравнением времен установления квазистационарного режима по кангдому из промежуточных веществ со временем эксперимента. При этом достаточно лишь самых приближенных критериев, получаемых, например в результате линеаризации [33], поскольку правильность нулевого приближения относительно малых параметров е может быть установлена численно сравнением решений полной и укороченной систем при найденных значениях параметров. Если алгебраическая часть укороченной системы разрешима в явном виде относительно концентраций тех веществ, по которьш принят принцип квазистационарности, то решение определяется некоторыми соотношениями коэффициентов скорости, получение которых не вызывает затруднений. [c.230]

Уравнения системы (11.115) содержат малый параметр г при производной по времени. Это значит, что характерное время изменения соответствующих концентраций с, (г = 5 - - 1, . , < ) значительно меньше характерного времени процесса 1. Член с производной по времени в уравнениях (11.115) может быть значитепьшйм только в течение короткого начального периода быстрого изменения концентраций неустойчивых веществ. После этого последние выходят на квазистационарные значения, медленно изменяющиеся со временем по мере изменения концентраций устойчивых веществ, которые входят в медленную подсистему (II.114). Отбрасывая член с производной в уравнениях (11.115), получаем систему алгебраических уравнений У [c.89]

В области малых параметров (давлений, градиентов скоростей, температур, напряжений) эффективный метод анализа всех перечисленных явлений с единой точки зрения представляет метод статистических ансамблей Гиббса [35]. В статистической ыеха- [c.67]

Так как решение Озеена является приближением к решению полных уравнений движения при Re l во всей области течения, то его считают исходным в процессе последовательных приближений к точному решению. Это и было использовано в работах [4 — 6], в которых к задаче обтекания сферы и цилиндра был применен метод сращиваемых асимптотических разложений (САР) решений дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Идея метода состоит в следующем [7, 8]. Для областей вблизи обтекаемого тела и вдали от него строятся разложения функции тока, справедливые в своей области. При построении разложения вдали от тела в качестве характерной длины используется величина v/v и вводится сжатая радиальная координата pRe. Для внешней г и внутренней функций тока решение ищется в виде асимптотических разложений по числу Рейнольдса [c.248]

Методом сращиваемых асимптотических разложений [121 в работах [13, 14] получены первые приближения разложений по малому параметру решения системы (2), возмущенной одним и упомянутых выше факторов. Доля ненревращенпого реагента на выходе из слоя выражается формулой, аналогичной (3) [c.49]

Важное значение в вопросах моделирования играет выбор модели в случае, когда какой-то из параметров, характеризующих каталитически процесс, мал. Мы риведем также некоторые результаты исследования уравнений с малыми параметрами. [c.84]

Багаев Б. М., Шаидуров В. В. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром.— В кн. Методы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск изд. ВЦ СО АН СССР, 1977, с. 89—99. [c.161]

Выбрав масштабом времени R /D -характерное время диффузии,-приведем уравнения (4.13) и (4.11) к безразмерному виду. В этом случае перед производной по времени в уравнениях материального баланса (4.13) появится малый параметр г = Ас = ек сСЦяЬУк)- Малая величина этого параметра (порядка 0,(Ю5) позволяет пользоваться приближением квазистационарности для уравнений материального баланса. Сложнее обстоит дело с уравнением теплового баланса. Перед производной по времени появляется параметр В =/4с (ск/ср) (D p/X ). Первые два сомножителя, входящие в В,-величины порядка Ас х 0,01, Ск/Ср 500. Третий сомножитель, оценка величины которого рассмотрена ниже, A 0,03. В целом В х 0,15, что делает возможное квазистацио-нарное приближение достаточно грубьпи. Следует решать общую нестационарную задачу, однако в этом случае возникают дополнительные, чисто вычислительные трудности. Становится необходимым находить совместное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (4.11) и дифференциального уравнения в частных производных (4.13). Решение уравнений (4.11) при соответствующем выборе шага интегрирования по временной координате можно найти в любой точке зерна, решение же уравнения (4.13) всегда дискретно и зависит от числа точек разбиения по радиусу. [c.73]

Многие волновые уравнения доп> скают решения в виде плоской или монохроматической волны и=Аехр (<к,х>-ш1) , к, х е Р". При этом, частота а и волновой вектор к не произвольны, а связаны некоторым соотношением, обычно называемым дисперсионньш. Однако большая часть решений не допускает выражения через такие элементарные функции и поэтому имеет смысл искать решения не такого вида, а близкие к ним, при этом мерой близости является некий малый параметр О < 1, входящий в математическую модель. Решения, которые удается построить, носят асимптотический характер. Они представляют собой (в простейшей ситуации) ряды по мало.му параметру, и близость к точному решению понимается как матость невязки, получаемой при подстановке такого представления в исходную задачу. [c.200]

При решении подобных задач обычно переходят к медленным переменным, а быстрая осцилляция означает наличие обратной степени малого параметра в фазах взаимодействующих волновых пакетов. Вн> три слоя локального резонанса амплитуда главного члена формального асимптотического решения удовлетворяет уравнению Шрёдингера [c.201]

Все это обусловливает жесткость задачи. Если бы удавалось всегда разделить систему уравнений на быструю и медленную подсистемы и выделить в явном виде малый параметр б, то задача свелась бы к раздельному решению задач дпя быстрой и медленной подсистем. При этом быстрые переменные являлись бы известными параметрами при решении уравнений для медленной подсистемы. (Идея метода квазистационарных концентраций.) При решении каждой из этих задач обе они порознь не обладают свойством жесткости. Такое разделение в общем случае формализовать, по-видимому, невозможно. Однако определенные попытки в этом направлении предпринятьк [c.132]