Малый параметр при старшей производной

Наличие малого параметра при старшей производной для больших значений Ре создает значительные математические трудности при численном решении уравнения (4.42) даже при использовании современных быстродействующих ЭВМ. [c.180]

Разностные схемы для дифференциальных уравнений с малым параметром. Нахождение приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной с помощью традиционных конечно-разностных схем требует выбора шага разностной сетки намного меньше величины малого параметра. Это затрудняет их практическое использование и ставит вопрос о построении специальных разностных схем, погрешность которых на фиксированной сетке не возрастает при стремлении малого параметра к нулю. Вопрос о построении таких разностных схем рассматривался в работах [5—9]. В этом разделе построение специальных разностных схем проводится методом, изложенным выше, а также пспользуются результаты работы [7]. [c.154]

Алексеевский М. В. О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной.— В кн. Разностные методы математической физики. М. Изд-во МГУ, 1979, с. 36—60. [c.162]

Емельянов К. В. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной.— Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1980, т. И, № о, с. 54—74. - [c.162]

Рассматриваются два дополняющих друг друга подхода для численного решения краевых задач с большими градиентами. Предлагается метод построения специальных разностных схем, учитывающий те или иные особенности в поведении точного решения дифференциальной задачи. Исследуется корректность и сходимость метода. Для уравнений с малыми параметрами при старшей производной строятся разностные схемы второго порядка точности, равномерного по малому параметру. Для решения нестационарных краевых задач с большими, меняющимися во времени градиентами предлагается метод нестационарных (зависящих от номера временного слоя) пространственных сеток. Исследуется его устойчивость и сходимость. [c.168]

Одна из трудностей решения уравнений Навье—Стокса при больших числах Рейнольдса связана с сингулярностью — наличием малого параметра при старших производных. Созданная Прандтлем [1] теория пограничного слоя позволила в значительной мере преодолеть эту трудность. Разделение области решения на пограничный слой и подобласть регулярного решения вызвало к жизни специальную математическую теорию. [c.179]

При больших значениях числа Пекле уравнение (2.1) представляет собой типичный пример уравнения с малым параметром при старшей производной, решение которого не может быть найдено в форме регулярного разложения. Построение решения в этом случае основывается на проведении растяжений независимых переменных и выделении в потоке нескольких областей с различным асимптотическим поведением решения, одной из которых является тонкий диффузионный пограничный слой у поверхности частицы. Распределение концентрации во всей исследуемой области находится в виде совокупности асимптотических рядов-решений, определяющих решение в каждой из областей и удовлетворяющих условию сращивания на границах. [c.19]

Описанная структура потока характерна для многих задач гидродинамики в том смысле, что при очень больших числах Рейнольдса силы вязкости существенны лишь в очень узких областях, вне которых процессы молекулярного переноса не играют роли. Этот вывод — вполне естественное следствие уравнений Навье — Стокса, в которых при больших числах Рейнольдса содержится малый параметр при старшей производной. [c.18]

Возникает вопрос, каким образом можно интерпретировать изложенные выше результаты. Еще раз напомним, что при больших числах Рейнольдса течение описывается системой уравнений с малым параметром при старших производных. Хорошо известно, что решения таких уравнений, как правило, имеют особенности, состоящие в том, что возникают области двух типов. В первом типе областей старшие производные (которые в данном случае описывают силы вязкости) несущественны. Во втором типе областей силы вязкости всегда играют важну ю роль объем этих областей стремится к нулю при увеличении числа Рейнольдса. Теория ламинарного пограничного аюя на твердой поверхности хорошо иллюстрирует эту картину течения. [c.27]

Наиболее часто в анализе уравнения ФП используется теория возмущений /26, 27/, в которой решение ищется в виде разложения по какому-либо малому параметру задачи. Однако довольно часто приходится иметь дело с проблемами, в которых малого параметра не существует /28/. Если даже такой параметр имеется, то часто теория возмущений не дает желаемого результата, так как решение имеет неаналитическую структуру по малому параметру /1/. Интенсивно развиваемая в настоящее время сингулярная теория возмущений /29-32/, применение которой связано с наличием малого параметра при старшей производной, допускает анализ неаналитических зависимостей. Однако из квантовой механики известно, что сингулярная теория возмущений, или метод ВКБ, приводит к неправильным результатам вблизи классических точек поворота. [c.11]

При малых е ФО решение (10.70) близко к Тдрос всюду вне -окрестности точки = 1. В окрестности точки = 1 график изменения температуры резко изгибается, чтобы наклон кТ/сК, = у сменился на величину dT d( = ТН, соответствующую краевому условию (рис. 10.5). Такое поведение решения объясняется образованием у подошвы залежи теплопроводного пограничного слоя и характерно для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной (как в уравнении (10.68)). [c.329]

При расчете течений с неравновесными физико-химическими превращениями необходимо вдоль линий тока или траекторий частиц численно интегрировать уравнения, описывающие исследуемый неравновесный релаксационный процесс, например, уравнения (1.21), (1.34), (1.96). Кинетические, или релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старшей производной, что усложняет их численное интегрирование. К числу таких релаксационных уравнений относятся уравнения сохранения массы химическо компоненты, уравнения для определения колебательной энергии, уравнения для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках, уравнеР1ия переноса излучения и т. д. Особенность неравновесных течений в соплах состоит в том, что они начинаются из состояния покоя, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а, следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. При использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера или Рунге-Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможным даже при использовании современных вычислительных машин. [c.61]

Теория сингулярно возмущенных задач, в частности систем обыкновенных дифференциальных уравнений, у которых ряд уравнений имеет малый параметр при старшей производной, была построена вторым директором нашего института академиком Андреем Николаевичем Тихоновым. Эта теория позволила обосновать метод квазистационарных концентраций (в котором пренебрегают членами с малыми параметрами при производных), которым интуитивно пользовались при моделировании многих реакций. По существу, так же действовал Герман Хакен, обосновывая принцип подчинения короткоживущих переменных долгоживущими. [c.317]

Для выявления качественных особенностей предложенной модели двухфазной фильтрации система уравнений (4.22) - (4.25) решалась численно. Уравнения (4.22) и (4.23) аппроксимировались специальными конечно-разностными схемами с экспоненциальной подгонкой, учиты-ваюш,ими наличие малых параметров при старших производных. [c.150]