Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Статьи Рисунки Таблицы О сайте English

Уравнения теплопроводности и краевые условия

    Наряду с прямой задачей теплопроводности — отысканию температурного поля (2.1) путем решения уравнения (2.3) с известными краевыми условиями — возможна постановка и обратной задачи, где по заданному в пространстве и во времени распределению температур требуется определить соответствующие краевые условия (либо начальное распределение температур, либо граничные условия) или коэффициенты уравнения (физические свойства вещества). Подробно об обратных задачах теплопроводности см. [114]. [c.128]


    В зависимости от характера связей между параметрами процесса или его физической модели математическое описание может быть представлено в виде алгебраических, дифференциальных или интегрально-дифференциальных уравнений. Для иллюстрации напомним, что дифференциальное уравнение теплопроводности, полученное на основе закона сохранения и закономерности переноса тепла, является математическим описанием класса явлений теплопроводности. Если схематизировать какой-нибудь отдельный случай теплопроводности, сфор" мулировать краевые условия и решить полученную замкнутую систему уравнений, то в результате мы будем иметь математическую модель рассматриваемого конкретного случая теплопроводности. В тех случаях когда для решения системы уравнений применяются вычислительные машины, математическое описание по существу уже является и математической моделью. [c.16]

    Для решения уравнения теплопроводности необходимо знать начальные условия Т — Т х, у, г, 0) и краевые условия (условия теплообмена на границе тела). [c.260]

    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ [c.116]

    Уравнение (2.3) может быть использовано для решения конкретных задач теплопроводности, если оно дополнено краевыми условиями (условиями однозначности), которые включают в себя  [c.126]

    В гл. I было показано, что решение дифференциального уравнения теплопроводности должно удовлетворять не только самому уравнению, но и начальным и граничным условиям. Возникает вопрос, могут ли существовать одновременно два решения, которые удовлетворяют уравнению и краевым условиям Ниже будет показано, что таких двух разных решений быть не может. Эта теорема называется теоремой единственности решений. [c.579]

    В математической физике прп рассмотрении уравнений с частными производными обычно требуется определить решение в какой-то области С по условиям, заданным на некоторых частях границы этой области краевая задача). Простым примером является задача Коши для уравнения (2.1.1) найти решение и 1, ) в области —оо<х<4-оо, 1>0 , удовлетворяющее начальному условию и(0, х)=ц) х), где ф(х) — заданная функция. Другой пример — первая краевая задача для модельного уравнения теплопроводности (2.1.2). Здесь С есть прямоуголь- [c.30]

    Дифференциальное уравнение теплопроводности и краевые (начальные и фаничные) условия, необходимые для его решения, отражают объективные закономерности теплотехнических процессов, происходящих в печах. Поэтому методика теплотехнических расчетов различных печей часто основана на решениях дифференциального уравнения теплопроводности в соответст ющей специфической форме при тех или иных конкретных краевых условиях. Если необходимое точное решение пока отсутствует или не приведено к удобному виду, методика приближенного расчета должна в целом соответствовать постановке задачи, принятой в теории теплопроводности.  [c.618]


    Таким образом, при прямом интегрировании уравнения теплопроводности, или в данном случае тепловыделения, теплоотдача через стенки корпуса войдет в качестве граничного (краевого) условия. [c.209]

    В работах [104—106] теоретически рассмотрен процесс кристаллизации в скребковых аппаратах при условии, что кристаллическая фаза образуется лишь на охлаждаемой поверхности в виде слоя определенной толщины. Далее кристаллы снимаются с охлаждаемой поверхности скребками (или ножами) и смешиваются с основным объемом охлаждаемой смеси. Продолжительность роста кристаллического слоя определяется скоростью вращения скребкового механизма. Толщину образующегося кристаллического слоя определяют, решая уравнение нестационарной теплопроводности с определенными краевыми условиями [105]. Найденное таким образом количество образующейся кристаллической фазы, как правило, плохо согласуется с экспериментальными данными. Возможно, одной из причин этого расхождения является процесс перекристаллизации первично образующейся кристаллической фазы при ее смешении с основным объемом кристаллизующейся смеси [90]. [c.105]

    Каждая из переменных и, V, т, р и Ф, входящих в пять выписанных уравнений, может зависеть от х, у, г и т. При этом краевые условия должны задаваться в граничных точках л = О и л =1. В приложениях встречаются границы самого разного вида. Простейшим случаем, изображенным на рис. 13.1.1, является слой жидкости, ограниченный сверху и снизу твердыми поверхностями. В этом случае У = 0 при л = 0 и х=1. Если твердые поверхности обладают большими удельными теплоемкостью и теплопроводностью, то возмущения температуры в них проникать не будут. Это означает, что ф = О при х = Ь и у I. Отметим также, что после упрощения уравнений (13.2.8) и (13.2,11) — (13.2.14) и задания формы возмущений обнаруживаются довольно интересные подробности. Так, исключая из уравнений (13.2.8) и (13.2.11) — (13.2.14) величины о, и получаем следующее уравнение относительно и и ф  [c.206]

    Из приведенных примеров оценки периода нестационарности собственно кристаллизации следует, что этот период — обычно малая величина но сравнению с длительностью всего процесса. Это дает основание для рассмотрения роста кристалла при связи V и А Г, которая следует из анализа стационарной стадии кристаллизации (как и в предыдущем параграфе), но с учетом нестационарности процесса теплопроводности. Принятие во внимание последнего обстоятельства требует решения нестационарного уравнения теплопроводности при нелинейном краевом условии на перемещающейся границе рассматриваемой области. Решение задачи должно указать, как зависят от времени переохлаждения на фронте кристаллизации АГ (г) и длина кристалла у (г) при различных механизмах процесса. Ясно, что учет нестационарности процесса теплопроводности меняет искомые зависимости и позволяет, в случае необходимости, найти выражение для АГ (х, /), более соответствующее истинному, чем формула (4.8). [c.238]

    Понятия о граничных и начальных условиях можно выразить на примере переноса теплоты (теплопроводностью). Для выбора нужного (единственного для данного конкретного случая) решения дифференциального уравнения теплопроводности необходимо включить в систему дополнительные условия. Удовлетворять таким дополнительным условиям будет решение в виде зависимости t = f (х, у, г, т), где I — температура х, у, г — координаты т — время. Графически эту зависимость можно представить интегральной поверхностью (в четырехмерном пространстве). В этом случае краевые условия в общем виде можно представить, задав [c.23]

    Если известны параметры кинетических зависимостей конкретного реакционного состава, то в системе уравнений (4.33) — (4.36) можно установить значения параметров V и о. В этом случае характер течения при заполнении формы будет полностью определяться значениями критериев Оа и Ог и краевыми условиями. Критерий Оа характеризует отношение скоростей химической реакции и конвективного переноса, а критерий Сг — отношение плотностей конвективного теплового потока, переносимого движущейся жидкостью, и теплового потока, возникающего в результате теплопроводности жидкости. [c.179]

    Классификация линейных и нелинейных краевых задач теплопроводности и конвективного теплообмена. Если в уравнении теплопроводности (1.32) теплопроводность и удельная теплоемкость не зависят от температуры, то задачи нестационарной теплопроводности прн граничных условиях первого, второго и третьего рода относятся к 22 [c.22]

    Выражение Л (Bii, Bi2), определяемое формулой (3.179), аппроксимирует функциональную зависимость от двух переменных Bij, Bis квадрата первого корня jx i характеристического уравнения для краевой задачи нестационарной теплопроводности внутри пластины при несимметричных граничных условиях третьего рода [45]  [c.115]

    Понимая в дальнейшем под теплофизическими характеристиками (свойствами) температуропроводность, теплопроводность и удельную теплоемкость, отметим, что абсолютное большинство методов их определения основаны на решениях линейного дифференциального уравнения теплопроводности (1-16) при заданных краевых условиях. [c.18]


    Следовательно, задача сводится к нахождению решения двумерного дифференциального уравнения теплопроводности (1-28) при следующих краевых условиях  [c.27]

    Необходимость решения тепловой задачи трения обусловлена стремлением уменьшить тепловую напряженность фрикционного сочленения. Этого можно достигнуть подбором оптимальных пар материалов и осуществлением соответствующих габаритов и конструктивных форм сочленения. Тепловая задача может быть решена положительно только в том случае, если известно тепловое поле фрикционной пары. Следовательно, тепловая задача трения в инженерном смысле сводится к решению дифференциального уравнения теплопроводности при соответствующих каждому конкретному случаю краевых условиях. [c.185]

    Уравнения (11) с краевыми условиями (12) составляют проблему Штурма — Лиувилля. Аналогичная проблема имеет место и в теории теплопроводности, где особенно важны случаи <>7 0. Наши интересы в основном относятся к случаю 5 = 0. Поскольку речь идет о частных решениях, можно не говорить о начальных условиях. [c.382]

    В печах для термической обработки часто задается нагрев с определенной скоростью повышения температуры поверхности металла, например 100° в час. Это значит, что температура поверхности металла должна изменяться по прямой. В этом случае задача заключается 1) в определении времени нагрева центра тела путем теплопроводности и 2) в определении температуры печи, необходимой для осуществления заданного графика нагрева поверхности. Математически задача сводится к решению дифференциального уравнения теплопроводности при следующих краевых условиях 1) температура тела в начале нагрева по всему сечению равна нулю 0 = О и 2) температура поверхности изменяется со скоростью к град час, т. е. — fe т. [c.46]

    Уравнения теплопроводности и краевые условия [c.22]

    Краевые условия. Цель аналитической теории теплопроводности состоит в определении поля температур в теЛе в любой момент времени. Для решения этой задачи кроме дифференциального уравнения необходимо знать поле температур для какого-нибудь предшествующего момента времени (начальное условие), а также форму тела и закон теплообмена между окружающей средой и поверхностью тела (граничные условия). Начальное и граничные условия в совокупности называются краевыми условиями. [c.25]

    Выявим основное отличие разностной методики восстановления граничного условия от полу аналитической, рассмотренной в гл. 4. Алгебраическое решение интегральных уравнений 1-го рода, соответствующих краевой постановке ОЗТ в области с неподвижными границами, соответствовало минимальному количеству дискретных переходов, а именно, аппроксимировались лишь краевые условия. При этом само уравнение теплопроводности конечно-разностной аппроксимации не подвергалось. В то же время численные алгоритмы решения ОЗТ предполагают дискретизацию не только условий на границе рассматриваемой пространственно-временной области, но и разностное представление уравнения теплопроводности как по координате, так и по времени. [c.91]

    Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности илн краевыми условиями. [c.22]

    Нами рассмотрена массопередача в сплошной фазе при числах Ке 80 с учетом быстропротекающей необратимой бимолекулярной химической реакции. Распределение скоростей жидкости вокруг капли определено уравнениями Хамилека и Джонсона [22]. Задача решена в рамках теории диффузионного пограничного слоя. Система уравнений стационарной конвективной диффузии для экстрагента и хемосорбента при помощи преобразования Прандтля — Мизеса сведена к системе уравнений теплопроводности. Краевые условия записаны в предположении, что константа скорости реакции велика, реакция необратима и фронт ее совпадает с линией тока. На реакционной поверхности выполняется условие равенства материальных потоков. Для критерия Ки получено выражение  [c.143]

    В результате решення уравнения (IX.9) должна быть найдена функциональная зависимость, удовлетворяющая этому уравнению и краевым условиям. Решение значительно упрощается, если массовый поток, как часто бывает на практике, является одномерным (например, перенос вещества происходит лишь в направлении оси х). Для твердых тел некоторых геометрических форм и при D = onst вследствие аналогии уравнений тепло- и массопровод-ности можно воспользоваться имеющимися решениями для нестационарной теплопроводности, заменив в них температуры концентрациями, коэффициент температуропроводности коэффициентом диффузии, а тепловые критерии Fo и Bi одноименными диффузионными критериями РОд и Biд. [c.455]

    При малых е ФО решение (10.70) близко к Тдрос всюду вне -окрестности точки = 1. В окрестности точки = 1 график изменения температуры резко изгибается, чтобы наклон кТ/сК, = у сменился на величину dT d( = ТН, соответствующую краевому условию (рис. 10.5). Такое поведение решения объясняется образованием у подошвы залежи теплопроводного пограничного слоя и характерно для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной (как в уравнении (10.68)). [c.329]

    Допустимость использования предположения об идеальности газа для получения исходной системы уравнений (3.1) не является очевидной. Строго говоря, следовало бы показать, что пренебреженье вязкостью и теплопроводностью не вносит существенной ошибки в результаты анализа. Здесь этот вопрос не будет рассматриваться более подробно. Следует лишь указать, что более тщательный анализ, произведенный Мерком ), по сути подтверждает справедливость такого допущения. Им было показано, что учет вязкости и теплопроводности лишь незначительно искажает картину малых колебаний в ближайшей окрестности зоны теплоподвода и не сказывается сколько-нибудь существенным образом на концах трубы, т. е. в сечениях, для которых записываются краевые условия. Влияние вязкости и теплопроводности на изменение энтропии должно быть более существенным. Однако в дальнейшем изложении поток энтропии и его возмущения почти не будут играть роли при анализе процесса возбуждения акустических колебаний. [c.31]

    B уравнениях (VII.3) и (VII.4) и краевых условиях (VII.5) приняты следующие обозначения Ti и Т — соответственно температуры отвердевшего и неотвердевшего слоев — температура среды Т р — криоскопическая температура а и U2 — соответственно температуропроводности этих слоев а = kil ifi), mV А.1 — коэффициент теплопроводности для замороженного мяса, Вт/(м- К) А.2 — то же для охлажденного мяса, Вт/(м- К) q и сг — удельные теплоемкости замороженного и охлажденного мяса, Дж/(кг-К) Pi ир2 — плотность замороженного и охлажденного мяса р1 =pj = 1020 кг/м — толщина замороженного слоя, отсчитываемая от поверхности пластины, м г — скрытая теплота фазового перехода воды в лед, кДж/кг U7 — количество воды в мясе (в долях единицы) ш — количество вымороженной воды (в долях единицы) R — полутолщина пластины = 2R, м а — коэффициент теплоотдачи от пластины к воздуху, Вт/(м - К), rWoip — тепловой поток, отводимый от 1 м мяса при замораживании rWiap = 1885-10 кДж/м . [c.138]

    В соответствии со сделанными выше замечаниями везде далее предполагается, что EI RT ) > 1. Это означает, что формулы (6.2) справедливы не только для плоского, но и для произвольного фронта пламени. Отсюда вытекает, что характеристики процесса описываются уравнением теплопроводности без источников. Важно, что заданы три краевых условия два фигурируют в формулах (6.2), а одно ставится на бесконечном удалении от зоны реакций (с = 0). Лишнее краевое условие определяет положение фронта пламени.Таким образом, помимогидроданамическиххарактеристик, процесс зависит от д и и п. Следовательно, скорость химических реакций злияет только на величину w,,. Так как Ып зависит от скорости химических реакций и от процессов молекулярного переноса, то влияние только химической кинетики описывается лишь одним параметром, а [c.217]

    Как видно из (4.16), теория Колмогорова - Обухова определяет тип этого уравнения оно похоже на уравнение теплопроводности, те. в него входят лишь первая производная по времениподобной координате г и вторые производные по пространственноподобной координате v. Главная особенность этого уравнения состоит в том, что коэффициент при производной по времениподобной координате меняет знак. Поэтому краевая задача ставится не только по пространственно подобной, но и по времениподобной координате. Совершенно аналогичную структуру имеет и уравнение (3.67) для плотности распределения вероятностей концентрации Р 2). Краевая задача по времениподобной координате является переопределенной (в обоих случаях в уравнения входит лишь первая производная по этой координате). Уаювия разрешимости такой задачи должны определять заранее не известные функции, входящие в уравнения. В частности, в уравнении для P z) именно таким образом была найдена интенсивность пульсаций концентрации в турбулентной жидкости. Аналогично, можно предположить, что условия разрешимости краевой задачи в уравнении для плотности вероятностей разности скоростей позволяет вычислить постоянную к и связанную с ней кол МО ropo векую константу С. [c.263]

    Рассмотрим случай, когда в точке XqEL задана обобщенная функция температуры TqS(x - Хо), где T a — константа, а 5(д - дсо) — дельта-функция Дирака. На части поверхности S положим температуру, равную нулю. Найдем в этом случае решение уравнений теплопроводности и термоупругости дпя рассматриваемой области. Эта задача является полностью определенной в смысле краевых условий и корректно поставленной. В результате решения системы уравнений (3.23) определим распределение значений тензора напряжений в объеме тела, в том числе и на поверхности S. Обозначим тензор напряжений на S через Я (х, хо). Пусть точка Ло пробегает все множество точек, принадлежащих L. В результате построим функции Грина для напряжений. Зная функции ГринаЯ ( , х), можно определить напряженное состояние на поверхности 5 от произвольного распределения температуры Т(х) на поверхности L при условии равенства нулю температуры на S. Тензор напряжений в точках s S можно представить в следующем виде [c.84]

    Возможны четыре различных типа задания краевых условий, встпечающихся в задачах по теплопроводности. Может задаваться температура на границе, поддерживаемая постоянной в течение рассматриваемого периода времени. Если положение границы может определяться одним числом (например, расстоянием Я), то такие краевые условия математически определяются уравнением вида [c.214]

    Бесконечный цилиндр (краевые условия типа 3). Принятие бесконечной длины цилиндра при неизменных краевых условиях вдоль его оси, например г, допускает выделение переменной г, что сводит задание к двухосевой теплопроводности. Переход с этих двух осей на круговые координаты при помощи соотношений х = гсо5ч( и з = гяпср дает возможность преобразовать уравнение (2-101) в более простой вид [c.108]

    Оно известно как уравнение теплопроводности Фурье. Это задача с начальными условиями относительно времени t. Начальный профиль температуры Т = T z) должен быть задан при t = to для того, чтобы начать численное решение (см. рис. 8.3). Кроме того, это и краевая задача относительно переменной z, поскольку распределение T z) должно быть задано на границе для любого времени t, т.е. Та = T za) иТе = T ze) [Forsythe, Wasow, 1969]. [c.140]

    Условия, выраженные уравнениями (106), соответствуют краевым условиям третьего рода для уравнения теплопроводности в случае полуогра-ииченной прямой. Решение последнего уравнения сводится к задаче с краевыми условиями первого рода, если принять, что нри х = О задано значение самой функции [см. формулы (100)]. [c.69]

    Далее, путем подстановки Г] в краевые условия и исходное уравнение (4. ), определяются все неизвестные коэффициенты а . Причем при решении уравнения теплопроводности используется интегральный метод в той форме, в какой он применяется для больших t. Таким образом, Тх оказывается просто интегралом уравнения (4.1), усредненного по области существования, при заданных краевых условиях. Затем, подстановкой Гг в однородные краевые условия, выражаем часть коэффициентов Ьп через остальные. Если число граничных условий )авно К, то число независимых функций bn t) будет равно N — К+. Зыберем в качестве независимых первые N — /С+1 из коэффициентов Ьп. В результате (4.2) примет вид [c.135]

    В разд. 2.1.2 было показано, что для пластины с постоянными ТФХ краевая постановка обратной задачи, состоящей в определении теплового потока на одной из границ пластины, формулируется в виде интегрального уравнения 1-го рода. При этом в качестве исходного материала используется известное решение прямой задачи теплопроводности. Обобщая этот подход на одноме эные тела различной геометрии (плоские, цилиндрические, сферические), граничные условия 1-го и П-го рода (искомые и заданные), можно записать общую интегральную форму граничной обратной задачи для одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами [c.50]

    Под упругим режимом фильтрации, как уже упоминалось выше, понимается фильтрация упругой слабосжимаемой жидкости в упругой пористой среде. В этих условиях распределение давления описывается классическим уравнением теплопроводности (П.2.3). Хорошо разработанная техника решения этого уравнения при различных начальных и краевых условиях применима и к задачам теории упругого режима. Разнообразные конкретные решения могут быть заимствованы, например, из руководства Карслоу и Егера 154) и из других источников. Однако задачи теории фильтрации имеют свою специфику, связанную с наличием некоторых малых параметров (например, отношения радиуса скважины к размеру пласта), которая в ряде случаев существенно упрощает решения. Поэтому приводимые ниже примеры предназначены не только проиллюстрировать постановку и способы решения основных задач, но и обратить внимание на эту специфику, отличающую эти задачи от задач теплопроводности. [c.26]


Смотреть страницы где упоминается термин Уравнения теплопроводности и краевые условия: [c.203]    [c.467]    [c.128]    [c.83]    [c.115]    [c.153]    [c.39]    [c.164]   
Смотреть главы в:

Основы тепло- и массообмена -> Уравнения теплопроводности и краевые условия




ПОИСК





Смотрите так же термины и статьи:

Дифференциальное уравнение теплопроводности. Краевые условия

Условие краевое



© 2024 chem21.info Реклама на сайте