Граничные условия в задачах теплопроводности

Сформулируем задачу по определению температуры поверхности полуограниченного твердого тела с граничными условиями третьего рода [2.17]. Поставленная в одномерном приближении, она дает возможность оценить снижение температуры в центре основания крупной капли. Уравнение теплопроводности в твердом теле имеет вид [c.51]

Наряду с прямой задачей теплопроводности — отысканию температурного поля (2.1) путем решения уравнения (2.3) с известными краевыми условиями — возможна постановка и обратной задачи, где по заданному в пространстве и во времени распределению температур требуется определить соответствующие краевые условия (либо начальное распределение температур, либо граничные условия) или коэффициенты уравнения (физические свойства вещества). Подробно об обратных задачах теплопроводности см. [114]. [c.128]

I — теплопроводность). Решение уравнепия (5.331) удовлетворяется только при определенных граничных условиях. Решение математической задачи, поставленной в уравнении (5.331), может быть очень трудоемким и обычно требует механизации счета одиако здесь в качестве примера можно рассмотреть простой случай. [c.181]

В зоне технологического процесса материал может находиться в жидком состоянии, в виде сплошных твердых тел, кусков или зерен. В зависимости от вида материала доминирующее значение приобретает тот или другой механизм переноса тепла — молекулярной теплопроводностью, конвекцией или смешанным образом. Что касается поверхности нагрева материала, то она принадлежит одновременно дву системам теплообмена — внешней и внутренней, органически связанным между собой. Эта связь наилучшим образом выражается так называемым граничным условием, которое для одномерной задачи описывается уравнением [c.30]

Процессы теплопроводности (или диффузии) в неограниченном по длине однородном цилиндре (проволока, стержень) с неизолированной боковой поверхностью (рис. П1. 2) в случае, когда граничные условия одинаковы на любом ее участке (так называемая симметричная задача ), описываются в цилиндрической системе [c.73]

Вторым этапом решения задачи является оценка поля температур в расплаве стекла варочного бассейна печи при заданных граничных условиях. Решение задачи выполняется отдельно для каждого продольного сечения методом формализации качественной информации с учетом зависимости коэффициента эффективной теплопроводности стекломассы от температуры, так как результаты моделирования поля температур без учета этой зависимости существенно расходятся с экспериментальными данными. [c.149]

Для решения задачи о тепловом воспламенении при наличии теплоотвода необходимо рассмотреть систему уравнений теплопроводности и диффузии с учетом выделения тепла и расхода вещества в результате химического реагирования. Граничные условия должны выражать отвод тепла к стенкам и учитывать непроницаемость стенок для реагирующих веществ. В простейшем случае одномерной задачи для сосу- [c.114]

Тогда при использовании точной (или близкой к точной) входной, информации алгебраическое решение (4.3) должно становиться достаточно гладким- Примеры расчета критических шагов в соответствии с предложенным способом приведены в [ 6], где представлены соответствующие формулы и графики для ряда постановок ОЗТ, распространенных в практике исследования тепловых режимов. Там же даны результаты численных расчетов, которые подтвердили высказанную гипотезу и показали, что этот способ нахождения ДРо р представляет удобный и универсальный прием в технике прямых методов решения интегральных форм граничных обратных задач теплопроводности. В качестве примера на рис. 4.4, а показаны результаты решения методической ОЗТ по восстановлению граничного условия 1-го рода для пластины, на внутренней теплоизолированной стенке которой заданы точные значения температуры. При шаге ДРо , равном ДРо Р, решение имеет [c.75]

Чтобы проиллюстрировать теорему, рассмотрим неоднородную сплошную среду. В этом случае ограничениям соответствуют граничные условия, а законы сохранения дают линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Рассмотрим, например, задачу теплопроводности в изотропной среде и предположим, что коэффициент теплопроводности X и удельная теплоемкость постоянны. Если в уравнении баланса внутренней энергии (1.44) заменить тепловой поток его значением (3.13), можно получить линейное уравнение Фурье [c.49]

Рассмотрим нелинейную граничную обратную задачу теплопроводности. Будем считать, что тело имеет границы [ О, и на одной из них (х = 6) известен тешювой поток 7 (г). Заданы температурные измерения /(г) в некоторой точке О < е < Ь И начальное распределение температурное поле в теле н условия на границе х = О из условий [c.82]

Анализу разнообразных задач нестационарной теплопроводности посвящена обширная литература (см., например, [1-9]). В [9] приводится классификация методов возможного решения дифференциального уравнения в частных производных типа (4.1.2.3) классический метод разделения переменных метод интегральных преобразований (Лапласа и др.) метод функций источников (Грина и др.) метод тепловых источников, чаще используемый при нелинейных граничных условиях вариационные методы методы линеаризации уравнений и др. Широко используются численные методы (сеточные и метод конечных элементов). [c.231]

Основная задача конвективного теплообмена довольно сложная, и решение ее зависит от нескольких переменных. Детально она будет рассматриваться в последующих главах. Однако между общей проблемой конвекции н чистой теплопроводностью имеется много общего, о чем говорилось в гл. 1 , в связи с формулировкой закона охлаждения Ньютона. Мы используем это положение о важности конвективного теплообмена, чтобы установить граничные условия для тех задач, которые будут рассмотрены в этой главе. [c.61]

С математической точки зрения задачи плавления за счет теплопроводности с принудительным удалением расплава являются более сложными, чем обычная задача плавления из-за того, что необходимо искать совместное решение уравнения количества движения и уравнения энергии. Более того, часто не удается четко определить граничные условия. [c.281]

Чтобы считать задачу описания процесса в слое полностью определенной (замкнутой), необходимо добавить начальные и граничные условия. В случае модели идеального вытеснения задают температуру и концентрацию на входе в слой. При учете продольного и поперечного переноса по слою тепла и вещества теплопроводностью и диффузией должны быть еще добавлены граничные условия. По оси трубки, в которой находится слой, из условий симметрии поля температур и концентраций, потоки тепла и вещества через эту границу должны отсутствовать, т.е. [c.103]

Рещить задачу теплопроводности, формулируемую уравнением (У.19) с нелинейными граничными условиями на боковой поверхности кристалла, при заданной температуре на криволинейном фронте кристаллизации и произвольном начальном распределении температуры в общем виде практически не представляется возмол<-ным. Поэтому для решения задачи принимают, что физические параметры материала не зависят от температуры, на боковой поверхности кристалла задают граничное условие третьего рода, а фронт кристаллизации считают плоским. [c.132]

В заключение заметим, что рассмотренные в настоящем разделе методы можно без изменения применить к задачам теплообмена, поскольку распределение температур описывается таким же уравнением, как уравнение диффузии. Аналогично формулируются и граничные условия. Нужно только П заменить на коэффициент температуропроводности, а число Ред — на Ре -. Соответствующий пограничный слой называется тепловым. Подробности решения задач теплопроводности можно найти в [6]. [c.99]

В связи с тем, что полученные выше решения математически приближенные, в работе была предпринята попытка разработать метод численного интегрирования исходной системы уравнений также для внутренней и внешней областей факела с ранее указанными для них начальными и граничными условиями. Осуш ест-вление такого расчета (считающегося математически строгим) на ЭВМ позволило разделить влияние на результаты его физического и математического приближений и оценить роль каждого из них. Очевидно, что отлпчие численного метода расчета факела от ранее изложенного состоит в том, что по-разному решаются исходные уравнения все же другие преобразования, соответствующие схеме эквивалентной задачи теории теплопроводности, остаются в силе. Ввиду того, что в граничные условия, записанные для фронта пламени, входят искомые величины, а местоположение самого фронта пламени при этом заранее неизвестно, для численного интегрирования исходной системы уравнений применялся метод последовательных приближений. [c.60]

В гл. 3 рассматривается передача теплоты через поршневые уплотнительные кольца. Глава 4 образует как бы второй концентр книги, посвященной внешней задаче. Таким образом, прослеживается движение теплоты от рабочего тела до среды, охлаждающей камеру. Вопросы теплопроводности совершенно исключены. Мы считаем, что это уместно и по методическим соображениям (остановимся на рассмотрении процессов единой физической природы) и по существу. Не секрет, что теория теплопроводности, являясь скорее частью математической физики, чем теплофизики, занимает лидирующее положение в теории теплопередачи, привлекая простотой и изяществом исходной модели, законченностью результатов и эффективностью методов. Этот приоритет она сохраняет и в прикладных вопросах, невзирая на то, что полную силу она получает лишь при наличии доброкачественной информации о граничных условиях теплообмена. Наконец, трудно указать работу по теплопередаче в поршневых машинах, где теория теплопроводности не затрагивалась бы в большей или меньшей степени. [c.4]

На моделях решаются прямые и обратные задачи теплопроводности. Способ пересчета электрических величин на тепловые устанавливается при сравнении уравнений процессов, граничных и начальных условий, записанных в безразмерном виде. Безразмерные коэффициенты уравнений (комплексы) при соответствующих членах уравнений должны быть равны. [c.399]

Одномерная задача теплопроводности для кристалла, рассматриваемого совместно с затравкой длиной I как одно целое, при плоском фронте кристаллизации, независимости физических параметров от температуры, постоянных температурах на торце затравки 4 и на фронте кристаллизации граничных условиях 3-го рода на боковой поверхности, постоянной скорости кристаллизации дак п произвольном начальном распределении температуры, может быть с помощью тепловых потенциалов сведена к интегральным уравнениям Воль-терра I рода [57]. [c.133]

В гл. 5, разд. 2, описывается метод определения коэффициента теплопроводности кс, аналогичного коэффициенту диффузии в данной задаче. В этом случае граничное условие постоянного теплового потока при 0 практически может быть реализовано с большей точностью. [c.45]

Основной задачей изучения теплопроводности является определение температурного поля и величины теплового потока внутри тела. Прп этом условия па поверхности оказывают существенное влияние. Граничные условия могут быть заданы распределение.м те.мператур на поверхности либо плотностью теплового потока в любой точке поверхности. [c.61]

При анализе задач прогрева (охлаждения) твердых тел наиболее часто встречаются граничные условия конвективного теплообмена наружной поверхности тела с окружающей текучей средой, согласно которым теплота от внешнего источника, подводимая (отводимая) к поверхности (границе) тела, приравнивается к теплоте, отводимой в массу тела теплопроводностью [c.229]

Выбор конкретного метода зависит также и от вида граничных условий анализируемой задачи, в частности от наличия и характера нелинейности в самом дифференциальном уравнении теплопроводности и в граничных условиях. [c.236]

III. Определение коэффициента теплопроводности Хг по профилю температур прн смешении параллельных потоков с разной температурой. В работе [13] потоки имели одинаковое сечение в работе [32] нагретый газ вводили по центральной трубе в наших опытах [33] создавался линейнйй источник теплоты, который обеспечивал нагревание узкой полосы газа на входе-в слой (см. стр. 121). Методы расчета Хг по экспериментальным профилям температур аналогичны расчету коэффициентов диффузии из поля концентраций (см. раздел III. 5) на основе решения задачи при соответствующих граничных условиях. Общий недостаток данного метода связан с неизбежной неравномерностью скоростей потока, имеющего разную температуру. [c.114]

В принципе, движение массы частпц, взвешенных в ожижающем агенте, полностью определяется начальным состоянием системы (в механическом п тепловом аспектах) и граничными условиями. Оно должно удовлетворять уравнению Навье—Стокса в любой точке системы, а также уравнениям сплошности и энергетического состояния, уравнениям 11ьютона, описывающим движение ка-я дой отдельной частицы, и уравнениям ее теплопроводности. Однако, кагда система состоит из массы частиц (например, про-мышлепные суспензии), то задача становится слишком сложной для прямого решения на основе указанных уравнений. [c.74]

Последний член в правой части уравнения (VIII.142) учитывает теплообмен между тонким реакционным слоем и внутренностью частицы катализатора п обозначает направление внешней нормали к активной поверхности. Таким образом, при данной постановке задачи уравнения процесса в тонком реакционном слое ( 111.140), ( 111.142) служат граничными условиями для уравнения теплопроводности ( 111.140). Вводя безразмерные переменные и линеаризуя граничные условия ( 111.141), ( 111.142) в окрестности стационарного режима, имеем [c.362]

А. Тепло- и массопереиос к твердым телам и жидким средам прн внешнем обтекании тел и течении в каналах, при вынужденной и естественной конвекции. Перенос теплоты к твердым телам и жидким средам при ламинарном течении с заданными граничными условиями или условиями сопряжения полностью описывается законом теплопроводности Фурье, если только тепловые потоки не превышают своих физических пределов (фононный, молекулярный, электронный перенос н т. д.). Возможность решения сложных задач в большей или меньшей степени зависит только от наличия необходимой вычислительной техники. Для расчета ламинарных течений, включая и снарядный режим, к настоящему времени разработано достаточно много стандартных про1-рамм, и их число продолжает непрерывно увеличиваться. Случай движущихся тел включает в себя также и покоящиеся тела, так как координатную систему можно связать с телом и, таким образом, исключить относительное движение. Поэтому методы расчета теплопередачи к твердым телам и жидким средам при их ламинарном течении полностью аналогичны. Единственным фактором, влияющим на тепловой поток как при нестационарном нагреве твердого тела, так и при квазистационар-ном ламинарном течении, является время контакта. Хотя часто коэффициент теплоотдачи нри ламинарном течении представляется как функция скорости, необходимо обязательно помнить, что скорость течения есть только мера времени контакта или времени пребывания среды в теплообменнике. Эта концепция обсуждалась в 2.1.4, где было показано, каким образом и — а-метод, используемый обычно для описания ламинарного теплообмена, можно применить и для расчета нестационарного теплопереноса а твердом теле. В разд. 2.4 эта концепция получает даль- [c.92]

Вводя локальный потенциал, вместо самосогласованного метода можно использовать метод пробных функций в вариационном методе итераций. Например, для стационарной задачи теплопроводности, исходя из произвольной функции Го, удовлетворяющей граничным условиям, первое приближение для Г вычисляется путем минимизации локального потенциала точно так же, как в методе Релея — Ритца. Затем полученный результат для Г беретея за исходное распределение Го и по нему вычисляется второе приближение и т. д. Критерии сходимости (10.46), (10.47) и (10.51), полученные выше для самосогласованного метода, могут быть доказаны и в данном случае независимо от выбора первой пробной функции [60]. Другой, несколько отличный от этого критерий был получен ранее Крускалом [97] для частного случая одномерной стационарной задачи теплопроводности. [c.139]

Это уравнение дает возмоншо( ть решать задачи, связанные с рас-нространением тепла в теле (среде) теплопроводностью как при установившемся, так и нри неустановившемся тепловом потоке. Прп решении конкретных задач дифференциальное уравнение дополняется начальными и граничными условиями, характеризующими каждую конкретную задачу. [c.124]

В рассмотренных примерах решались задачи теплопроводности в полуограничен-ных телах с разными допущениями относительно теплофизических свойств твердого тела. Хотя решения, которые получены в этих примерах, являются весьма полезными приближениями и ими следует пользоваться при анализе проблемы теплопроводности, во многих реальных случаях плавления и отверждения полимеров положение осложняется тем, что одновременно имеют место как фазовые переходы, так и температурная зависимость теплофизических свойств. В подобных случаях приходится обращаться к численным методам, в частности к методу конечных разностей, рассмотренному в следующем разделе. Дополнительные преимущества численных методов заключаются в том, что они могут применяться при сложной геометрии и различных граничных условиях. Тем не менее многочисленные аналитические решения задач теплопроводности при различных конфигурациях теплового потока и разных граничных условиях вошли в классические труды [9, 10], и хотя большинство решений получено для постоянных теплофизических характеристик, они очень полезны для анализа процессов переработки полимеров. Обзор этих решений и математических приемов, с помощью которых они были получены, выходит за рамки дан- [c.265]

Задача течения с учетом теплопроводности при отличающемся от нуля числе Бринкмана была аналитически решена Гэвисом и Лоренсом [4] для пластин с одинаковой температурой и адиабатического условия на неподвижной пластине (см. Задачу 10.6). Интересно заметить, что их результат содержит два значения для каждого приложенного напряжения сдвига у подвижной стенки (т. е. две различные скорости и два соответствующих температурных профиля удовлетворяют дифференциальному уравнению и граничным условиям). Однако решение должно быть единственным для заданной скорости подвижной пластины или для заданного числа Бринкмана. [c.317]

Наиболее логичным экспериментальным способом определения температуры Лейденфроста Гкр2 следует считать ее прямое измерение под каплей, находящейся в сфероидальном состоянии. Однако такое измерение связано с определенными сложностями, ибо измеритель не должен вносить искажений в исследуемый процесс. Можно, однако, привести примеры прямого измерения температуры под каплей [2.3, 2.18]. Хорошим косвенным методом, по-видимому, можно считать размещение измерителя темне,-ратуры на некоторой глубине в, массиве твердого тела с последующим использованием расчетных методов для нахождения температуры поверхности. Здесь имеется в виду реконструкция температурного поля путем решения обратной задачи теплопроводности [2.19]. Наконец, наиболее простым и распространенным способом учета снижения температуры под каплей Гкр по сравнению с температурой невозмущенного температурного поля Ркра является приближенная оценка интенсивности теплоотдачи от иоверхности твердого тела к капле и расчет температуры этой поверхности путем решения прямой задачи теплопроводности с граничными условиями третьего рода. Принципиальным недостатком такого подхода является необходимость интуитивного учета влияния искомой температуры стенки иа теплоотдачу к капле. [c.51]

Если на внешних поверхностях стенки, состоящей из п плотно прилегающих друг к другу слоев материалов с различными коэф( мщиентами теплопроводности, поддерживаются постоянные температуры T i и Тег, причем 7 ei>7 2 (такие же граничные условия, что и в задачах 1, 3, 5—(см. табл. 2.9), то тепловой поток Q, передаваемый через эту стенку, и температура Tj+i на границе между г-м и (i-fl)-M слоями определяются по следующим формулам плоская стенка из и слоев (рис. 2.1, а) [c.133]

В настоящее время основной путь решения задач совместного тепло- и массообмена состоит в использовании аналогий, существующих в процессах переноса массы, энергии и импульса. Приведенные выше частные условия реализации процессов тепло- и массообмена позволяют устанавливать существование тех или иных аналогий. Так, например, в случае а уравнеиия диффузии (2.262) и энергии (2.263а) или (2.2636) аналогичны, причем сама структура уравнения энергии ничем не отличается от случая чистого теплообмена в однокомпонентиой среде. В случае б имеется аналогия между уравнениями диффузии, энергии и движения. В неподвижных средах (случаи в и г ) существует аналогия между теплопроводностью и диффузией. Поэтому при наличии аналогии граничных условий на межфазной поверхности для массо-н теплообмена (см. 2.18) существует широкая аналогия между явлениями тепло- и массообмена, которая позволяет решать множество практических задач совместного тепломассообмена на основе известных зависимостей для чистого теплообмена (см. 2.19). [c.210]

По известному из опытов распределению температуры на границах теплопроводной области находят решение уравнения — 0 и тем самым значения до = к(д11дг)с. Наиболее просто решение можно получить методом электротеплозой аналогии (см. п, 8,1.1). Аналогично может быть решена задача о распределении температуры в поперечном сечении трубы при несимметричных граничных условиях по периметру, известных из опыта. В процессе электромоделирования выясняется возможность принятия с известной точностью поля температуры в поперечных сечениях трубы за одномерное, т. е, с изменением температуры только по радиусу без влияния осевых потоков теплоты. Для одномерного поля температуры [c.423]

Другой вид краевого условия для скорости приводит к гораздо более простым решениям задачи безразличного равновесия. Он использовался Рэлеем [57] в выполненных им исследованиях этого типа переноса, когда рассматривались так называемые нежесткие границы. В частности, предполагалось, что на слой жидкости со стороны ограничивающих областей сверху и снизу не действует никакое горизонтальное касательное напряжение, как если бы эти области были заполнены жидкостями с гораздо более низкой вязкостью, но с существенно более высокой удельной теплопроводностью. На практике такого рода граничные условия могут быть приближенно реализованы с помощью двух различных жидких металлов. При этом жидкость, находящаяся в слое, должна иметь некоторую промежуточную плотность, существенно более высокую вязкость и не смешиваться с другими жидкостями. Она должна обладать также гораздо более низкой теплопроводностью, чтобы обеспечить сохранение общих условий для температур, определяемых формулами (13.2,31). [c.209]

Эта задача аналогична задаче о нестационарной теплопроводности в нолубескснечном теле с постоянной температурой стенки при 0 в качестве граничного условия. [c.45]

Методику расчета радиальной составляющей теплопроводности при совместном теплопереносе фононами и радиацией пытались создать многие исследователи, однако общее решение этой задачи пока не найдено. Для строгого аналитического расчета необходимо располагать спект-рально-радиационными характеристиками кристаллизуемого вещества и граничными условиями роста. К сожалению, многие характеристики при температуре кристаллизации неизвестны. Среди них спектральные [c.54]

Исключая один-два случая, полагается что теплопроводность не зависит от температуры. Такое предположение не только упрошает математическое описание, но является и допустимым приближением при решении различных физических задач в случае небольших колебаний температуры. При решении задач, связанных с химическими реакциями или фазовыми преврашениями, не следует пренебрегать температурной зависимостью. Поэтому при выборе физических постоянных необходимо тщательнейшим образом всесторонне разобраться в каждой поставленной задаче с точки зрения физики. Задачи теплопроводности обычно затрагивают конвективный или лучистый теплоо1бмен в тех случаях, когда устанавливаются соответствующие граничные условия. При рассмотрении задач теплопроводности, в которых учитывается конвективный теплообмен, полагается, что коэффициенты теплообмена известиы. Сущность коэффициентов теплообмена и способы их определения устанавливаются в главах, посвященных конвективному теплообмену. [c.44]

Основной процесс предварительного замораживания описывается задачей Стефана, т. е. сводится к условию теплопроводности при фазовом превращении с начальной постоянной температурой мяса /о.н = = onst и условию теплообмена между поверхностью продукта и воздухом при граничных условиях третьего рода. [c.138]

Вычисление полной энергии, затрачиваемой в процессе, и составление теплового баланса основано на первом законе термодинамики. Основной задачей, решаемой при рассмотрении теплопередачи, является расчет температурных полей для различных моментов времени и точек внутри системы. Распределение температур в массе резиновой смеси зависит от условий теплоотдачи на граничных поверхностях, характера теплопроводности, теплофпзи-ческих свойств материала, наличия и интенсивности тепловыделения внутри самой системы (распределенных тепловых источников при автогенных процессах). [c.138]

При решении задачи теплопроводности должны быть заданы граничные условия 1 -го рода со стороны обогреваемых паром зон и по внутренней поверхности диафрагмы (обозначение шин на рис. 54.6 ), а также граничные значения 3-го рода (обозначение УУУ) для границ, соприкасающихся с воздухом. Остальные участки (обозначение на рис 54.6) не [c.415]

Другим примером служит ламинарное горение однородной смеси. Решение этой задачи получено Зельдовичем и Франк-Каменецким [1938 а,б]. в работах которых проанализировано распространение нормального (плоского) фронта пламени. В пламени выделяются две зоны. В первой (тепловой) химические реакции несущественны. В ней вследствие конвекции и теплопроводности происходит прогрев смеси. Во второй зоне (зоне химических реакций) происходит превращение веществ. Конвекция в этой зоне несущественна, а отвод тепла определяется лишь теплопроводностью. Существенно, что толщина зоны химических реакций во много раз меньше толщины тепловой зоны. Поэтому зону реакций можно рассматривать как некоторую поверхность, на которой выполняются определенные граничные условия. Первое условие очевидно температура равна температуре термодинамически равновесных продуктов сгорания. Второе условие связывает скачок производной от температуры по нормали к зоне реакции со скоростью химической реакции и коэффициентами молекулярного переноса (существование такого скачка следует из того, что тепловьщеление сосредоточено на поверхности). [c.9]