Классы эквивалентности

Это определение неудачное, так как выражения (х/ 1Рх) н (1// Ру) (см. текст после примера (19)) при этом обозначают разные абстрактные субъекты. А поскольку переменные х у являются связанными, они должны были бы обозначать одинаковые субъекты. Вместо тройки <Х, g, Ау нужно ввести что-то вроде класса эквивалентности, порождаемого единообразной заменой вопросительных переменных. Убы, мы слишком поздно заметили эту ошибку, чтобы внести необходимые исправления. [c.36]

Второй способ использует вместо классов эквивалентности метод выбора представителей . Определим состояние Е как замкнутое вверх, если из s s и s E следует s E. Если СЕ — множество всех непустых замкнутых вверх состояний, то оно составляет естественную аппроксимационную решетку АСЕ с определенным выше порядком. Действительно, в этом случае очевидно, что порядок, который мы определили выше, фактически согласуется с отношением на множествах, так что мы получаем полную решетку. При этом, однако, может прийти в голову тревожная мысль, не уничтожили ли мы при этом некоторые интересные состояния. Но этого не могло случиться. Определим верхнее замыкание для Е [c.245]

Числовые индексы молекулярных графов, называются топологическими индексами [66]. Для использования топологических индексов в качестве кода структуры, а также для исследования корреляций структура—активность катализатора множество элементов молекулярного графа разбивается на классы эквивалентности. Разбиение структуры на классы эквивалентности позволяет оценивать меру ее структурного разнообразия, или структурную неоднородность. Для представления структуры в виде топологических индексов рассмотрим некоторые определения [66]. Маршрутом длины /с в графе С от вершины и до вершины называется последовательность вершин их, М2,. . ., для которой ребро щ, щ+х) и (С) при г = 1, 2,, . /с маршрут замкнут, если Пх = ил+1 в противном случае маршрут открыт. Цепь — это открытый маршрут, в котором все вершины различны. [c.99]

Отношение эквивалентности определяется на множестве вершин молекулярного графа таким образом, что две вершины принадлежат данному классу эквивалентности, если они имеют такую же кратность ребер и одно и то же число соседей требуемого порядка г. одинаковыми степенями. Пусть к — любое неотрицательное число (О < /с р), где р — радиус графа G. Две вершины графа Ид и Уд будут называться эквивалентными относительно окрестности к-то порядка, тогда и только тогда, когда [c.100]

К этому же классу эквивалентности, по-видимому, относится и более общая двухпараметрическая модель случайной перколяции по узлам и связям [103—105], в которой имеется уже не точка, а линия гелеобразования (рис. 1.28). Критическая размерность пространства для всех этих моделей равна шести, а поэтому не удивительно, что в реальном трехмерном пространстве значения критических индексов перколяционной и классической теорий существенно различаются (табл. 1). Поэтому экспериментальное определение асимптотических зависимостей характеристик реальных полимерных систем в области универсальности дает возможность решить вопрос о применимости той или иной из этих теорий [88, 97]. [c.186]

Римскими цифрами обозначены классы эквивалентности внешних ребер. [c.195]

Пусть Ь к — 1, г) внешних соединяющих ребер последовательности (С/ ,,г) образуют А(А —1, г) классов эквивалентности [2] с Оа(к — 1, г) элементами в классе а (см. рис. П.1). Определенная последовательность ([/ .- .г) является подграфом аа(к — 1, г) разных /с-ад, каждая из которых получается при добавлении к (/с —1) ее звеньям еще одного звена молекулы, соединенного с (С/ -1,г) ее внешним ребром из класса эквивалентности а. Заметим, что некоторая построенная таким образом -ада (С/, ,) не может появиться при добавлении дополнительного звена к ребру из другого класса эквивалентности. Следовательно, все /с-ады (С/к,,) с отличным от нуля коэффициентом х (к — 1, г к, д) оказываются разбитыми на А(А —1,г) непересекающихся классов. Число с(11 -1, т) в аа к—1,г) раз меньше общего числа -ад из а-го класса (как и ранее, подсчитанного с учетом кратности вхождения) [c.199]

Сопоставим теперь каждому дереву клона все различные упорядоченные корневые деревья (см. рис. 1.8), переставляя разными способами его вершины. Упорядоченные деревья, отличающиеся только порядком расположения вершин, будем по определению считать равновероятными, их суммарная вероятность совпадает с вероятностью корневого дерева, из которого они получены. Таким образом, вероятность каждого из /)р(1, д) упорядоченных деревьев с корнем из класса эквивалентности равна [c.201]

Соотношение эквивалентности для молекулярного графа мы определяем следующим образом два молекулярных графа эквивалентны, если и только если они соответствуют двум точкам одной и той же структурной области. Класс эквивалентности молекулярных графов называется молекулярной структурой. В таком случае видно, что данной структурной области однозначно соответствует молекулярная структура, и молекулярная структура, как она определена выше через эквивалентность молекулярных графов, обязательно удовлетворяет требованию быть общей для этих графов . Такое определение связывает данную структуру с открытой окрестностью наиболее вероятной геометрии ядер и устраняет необходимость прибегать к приближению Борна — Оппенгеймера для обоснования или объяснения структуры молекулярной системы. Определяя все возможные структуры для данной системы, теория показывает, что изменение структуры должно быть резким и скачкообразным процессом, который можно описать в рамках математической теории динамических систем и их устойчивостей. [c.58]

Для реальных трехмерных структур вложенное в 3 множество И ) переходит в одно или более (см. ниже) нелинейных многообразий или переменных. Хотя мы не можем осуществить линейное преобразование всех таких множеств А ) из одного в другое, ниже будет показано, что мы можем разбить их на классы эквивалентности и многообразия. Но сначала нам необходимо ввести Принцип [c.75]

Теорема. Все [ ], представляющие один и тот же гамильтониан h(R) в некоторой о.н.- или н.о.н.-базисной системе для V (R), попадают в один и только в один класс -эквивалентности. Этот класс характеризуется LPI гамильтониана h(R). Наоборот, если данная матрица п х п над полем действительных чисел имеет те же LPI, что и Л, то существует некоторая L-система, в которой эта матрица представляет А. (Доказательство следует непосредственно из основных свойств эквивалентности.) [c.78]

Множество М определяется как семейство, содержащее К классов эквивалентности в качестве элементов [c.97]

В наших ранних исследованиях формализм теории информации применялся к молекулярному графу в целом для расчета некоторых индексов симметрии молекулярной структуры. Согласно соотношению эквивалентности, определенному на множестве вершин У(С) химического графа С, две вершины принадлежат одному и тому же классу эквивалентности, если они имеют одинаковую кратность ребер и одно и то же число соседей первого порядка с одинаковыми степенями. Установлено, что индексы структурной симметрии полезны при рассмотрении связи химической структуры с физическими и биологическими свойствами однотипных соединений [21—27]. Естественным расширением этого подхода явился учет при определении соотношения эквивалентности соседей вершин следующего порядка (т. е. соседей ближайших соседей). Такой метод был разработан, и вычисленные индексы называются индексами симметрии окрестностей [28]. [c.209]

Гетероатомы (атомы элементов, отличных от элемента, атомы которого преобладают) также могут быть включены в нашу схему с помощью формулы Шеннона. Разметка молекулярного графа таким образом, чтобы ранее эквивалентные вершины становились неэквивалентными, увеличивает величину (rj), так как прежде эквивалентные связки по необходимости становятся неэквивалентными. С другой стороны, величина С(т ) не изменяется, когда метка не влияет на классы эквивалентности связок. Тем не менее, будучи помеченной, молекула становится более сложной, и эта сложность может быть рассчитана по уравнению (3) добавив эту величину к уравнению (4), можно получить величину полной сложности j [19]. Предостережением против одновременного суммирования числа сложностей или числа индексов является тот факт, что если это осуществить, то отдельные величины исчезают из виду в этой сумме, и на основании полученного таким образом числа нельзя сказать, присутствуют гетероатомы или же нет. [c.244]

Это объясняет неудачу Шелли и Манка при попытке разбиения атомов на классы эквивалентности в двух из 50 рассмотренных ими химических графов. В следующем разделе будет показано, что этот недостаток алгоритма дополненной расширенной связности в действительности не препятствует получению однозначного обозначения для графа с такими вершинами. [c.270]

Вершины регулярных графов имеют одинаковые связности и, очевидно, не могут быть разбиты на различные классы эквивалентности при использовании любого из двух алгоритмов расширенной связности, обсужденных ранее. Многие графы этого типа встречаются в химической литературе [8, 10, 11, 13, 14], некоторые фигурируют при обсуждении [13, 14] эффективности алгоритмов распознавания молекулярной симметрии. Один такой граф представлен на схеме 13, где он изображен таким образом, чтобы показать симметрию гипотетического насыщенного углеводорода С,дН,д, который имел бы такой химический граф. [c.273]

В регулярном графе при отсутствии очевидной симметрии все вершины должны быть проверены тем же способом. Затем для каждого преобразованного графа получают линейное обозначение для матрицы смежности. Если вершины в исходном графе 13 связаны симметрией, то они будут давать идентичные линейные обозначения для преобразованных графов, приводя к трем различным классам эквивалентности. После нумерации графа линейное обозначение получают в соответствии с правилами 1—3. [c.274]

Определим два механизма как эквивалентные, если они содержат одни и те же стадии и если каждая стадия имеет один и тот же знак в выражениях для обоих механизмов. Это — соотношение эквивалентности, которое разбивает многогранник (6), представляющий все механизмы, не содержащие циклы, на 48 классов эквивалентности последние являются внутренностями следующих видов множеств (10 вершин, 20 ребер, 14 граней и 4 тела), изображенных [c.475]

Е эквивалентно Е тогда и только тогда, когда они аппроксимируют друг друга. Затем разделяем множество эпистемических состояний с помощью этого отношения и получаем классы эквивалентности. Легко проверить, что получается полная решетка, и даже естественная аппроксимационная решетка (в частности, в силу того, что отношение эквивалентности является естественным). [c.245]

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности, разбивающим множество всех му.тьтиграфов на классы эквивалентности, которые можно рассматривать как абстрактные мультиграфы. Изоморфные мультиграфы представляют собой один и тот же абстрактный мультиграф. В настоящее время в связи с отсутствием стандарта на машинное представление [84] существует многс способов ввода в ЭВМ структурных формул и их топологическиг графов. К наиболее перспективным способам ввода относятся а) ввод структурных формул с помощью оптических считывающие устройств в) ввод с помощью стандартных дисплеев в) ввод с по мощью специализированных устройств типа граф [85]. Струк турную, формулу при этом рассматривают в виде взвешенного гра фа, т. е. как функцию, заданную на вершинах и ребрах графе Весом вершины при этом служит символ химического элемент или радикала, а весом ребра — кратность химической связи. [c.96]

В общем случае матрица реакций может быть применена не к одной, а многим матрицам связей (многим наборам реагентов). Соответственно матрица реакции представляет собой не какую-либо отдельную реакцию, а целую категорию с общим законом перераспределения электронов, называемую 7 -категорией. Таким образом, Д-категория представляет собой класс эквивалентных реакций с одинаковым законом переопределения электронов и одинаковым размещением участвующих связей. За некоторым исключением основные химические реакции в органической химии протекают при перераспределении электронов между атомами от одного до шести. В таких реакциях могут разрываться или образовываться до трех связей, в некоторых случаях сопровождаясь изменением эффективного заряда у одного атома на +1, а у другого на —1. Такие реакции принадлежат к Л-категории, матрицы реакций которых имеют до трех пар положительных или отрицательных недиагональных элементов Гц = Гц = А. Ненулевые диагональные элементы Гц = +2, соответствующие нерадикальным (ионным) реакциям, размещаются таким образом, ттобы сумма элементов в строках (столбцах) матрицы была рав-1а нулю, за исключением одной строки (столбца) со значением г = Sп = zl [c.447]

Это соотношение одпозначпо связывает числа с ( /, ,) некорневых /с-ад с вероятностями Р С/, , соответствующих им упорядоченных последовательностей. Величины О (к, д), 0 к, д), а к, д), являются топологическими характеристиками /с-ады (С/, ,), в то время как множитель, , б (одинаковый для всех классов эквивалентности с равными степенями корня) отражает индивидуальность конфигурационной структуры набора макромолекул конкретного полимерного образца. Числа О к, д), В к, д) для последовательностей малого размера достаточно просто определить простым перебором, а для больших к можно воспользоваться результатом работы [154], в которой описывается строение группы автоморфизмов дерева и фактически содержится алгоритм вычисления ее порядка. [c.203]

Соотношение эквивалентности определяется следующим образом говорят, что два векторных поля V, и над Я эквивалентны, если и только если существует гомеоморфизм, т. е. биективное и непрерывное отображение в Я , которое отображает траектории и в траектории и. Применяя это определение к векторным полям градиента Vp(r, X), X Я , получаем соотношение эквивалентности, действующее в ядерном конфигурационном пространстве Я , согласно которому две ядерные конфигурации X, X е Я эквивалентны, если и только если их соответствующие векторные поля градиента Ур(г, X), Ур г, X ) эквивалентны. Далее, мы говорим, что ядерная конфигурация X е Я структурно-устойчива, если X является внутренней точкой ее класса эквивалентности. Другими словами, всегда можно найти окрестность V структурноустойчивой конфигурации X, такую, что V полностью содержится в классе эквивалентности X. Все конфигурации в V имеют тот же самый молекулярный граф, что и устойчивая конфигурация X. Эти молекулярные графы представляют одну-единственную структуру, и максимальная окрестность, которая содержится в классе эквивалентности X, называется структурной областью, соответствующей X. [c.58]

ТО легко получаются все другие схемы с такими топологическими характеристиками (примером служит рис. 6). Это необходимо для перечисления (морфологии) I J или (. Классы не находятся в простом соотношении с динамической устойчивостью каждого Ji. Для динамической устойчивости необходима и была нами разработана другая теория [22] о динамической ковариантности схем, линеаризованных вблизи стащюнарных состояний, которая ведет к иному набору классов эквивалентности, начиная с уравнений для скорости реакции и кончая их абстрактными алгебраическими структурами. [c.89]

Для любой точки X е Е все точки, генерируемые преобразованием T( )Y( )x с любыми в и , соответствуют расположениям ядер, которые эквивалентны расположениям х в рабочей системе отсчета, если рассматриваются только внутренние движения молекул. Другими словами, если мы не будем устанавливать различие между расположениями ядер, связанными друг с другом посредством жесткой трансляции и жесткого вращения молекулы как целого в рамках фиксированной рабочей системы отсчета, то преобразования Т( ) ф) устанавливают соотношения эквивалентности для точек пространства Е, которые связаны эквивалентностью рабочей системы отсчета. Разбиение Е задается в виде классов эквивалентности К, определяемых эоивалентностью всех таких точек х, х е которые связаны преобразованием T(9)Y ) при любых параметрах dj, j, j - 2, Ъ [c.97]

Из рассмотренного выше очевидно, что мера сложности структуры зависит как от способа, согласно которому множество А было получено из структуры, так и от используемого для разбиения соотношения эквивалентности. Для данной химической структуры классы эквивалентности, полученные при разбиении множества вершин графов со стертыми атомами водорода, будут отличаться от непересекающихся подмножеств, полученных из множества вершин целого (без удаления атомов водорода) молекулярного графа. Ра-шевский [29], Трукко [30] и Мовшович [31] рассчитали информационное содержание графов со стертыми атомами водорода, в которых топологически эквивалентные вершины (т. е. вершины, составляющие орбиты группы автоморфизмов) размещались в одном и том же подмножестве. Кайер [32] рассчитал информационное содержание целого молекулярного графа, в котором множество его вершин было разбито на классы эквивалентности на основе операций симметрии и экспериментальных данных спектроскопии ЯМР. Эквивалентность вершин на основании геометрической группы симметрии, порядок расстояний в матрице расстояний и распределение связок ( onne tions), определенных как число пар смежных ребер, также использовались авторами в качестве критериев для определения соотношения эквивалентности на множестве вершин [3, 33, 34]. [c.211]

Согласно формализму, разработанному Саркаром и сотр. [35], Бейсаком и сотр. [21] и Раухаудхури [36], для определения разнообразных теоретико-информационных инвариантов графа использовался целый молекулярный граф, и этот метод является достаточно общим для того, чтобы включать линейные графы, так же как и мультиграфы. Соотнощение эквивалентности определялось на множестве вершин F(G) таким образом, что две вершины принадлежат данному классу эквивалентности, если они имеют такую же кратность ребер и одно и то Же число соседей первого порядка с одинаковыми степенями. Ни химическая идентичность вершин, ни тип связывания соседей более высокого порядка (элементы, расположенные на расстоянии 2, 3.....р от выделенной вершины) не [c.212]

Процедура, описываемая уравнением (1), применима к 6 для упорядочивания углеродных атомов химического графа 1,8-нафтохинодиметана. С помощью данной процедуры атомы разбиваются на 7 классов эквивалентности, которые непременно являются теми же самыми, что и классы, полученные из собственного вектора, соответствующего главному собственному значению. Однако итерационная процедура указывает на возможность возникновения проблемы осцилляции, поскольку верщины в классах эквивалентности 5 и 6 различимы на щаге 4, но утрачивают различие на следующем шаге. Дальнейшие итерации будут корректироваться и сохранять упорядочивание, полученное на шаге 4. [c.269]

Граф, показанный на схеме 10, имеет только 5 классов эквивалентности вершин в соответствии с алгоритмом упорядочивания, представленным на схеме 8, тогда как очевидная симметрия этого графа позволяет предположить наличие 6 независимых классов вершин. Выбор номера 2 для вершины с левой стороны, принадлежащей классу 2, вьшуждает левосторонней вершине класса 3 присвоить номер 4. Тогда верхнюю вершину класса 4 необходимо обозначить как вершину 6 согласно правилу 3. Противоположный выбор нумерации для вершин класса 2 приводит к точно такому же линейному обозначению, показывая тем самым, что вершины 2 и 3 соответственно связаны симметрией. [c.272]

Граф 11 является примером химического графа, в котором можно заметить симметрию, но алгоритм упорядочивания далеко не достаточен для отнесения к классам эквивалентности [14]. Имеются четыре неэквивалентных класса групп СН2 и три неэквивалентных класса групп СН. Однако, как показано, правило 3 допускает однозначную нумерацию для графа только в результате трех попыток установить такую нумерацию. Даже в тех случаях, когда все вершины в графе фактически эквивалентны, можно быстро получить однозначное линейное обозначение для графа. Например, однозначное обозначение для графа кубана приводится на схеме 12. [c.272]

В некоторых случаях визуальное определение симметрии может приводить к ошибочному разбиению вершин графа на классы эквивалентности. Граф 15 взят из работы Рандича [25] по случайным блужданиям в графах и иллюстрирует то обстоятельство, что сим- [c.274]

Теорема об узлах деревьев. Для обратимой сети, у которой удалены ее реакции входа и выхода , строится граф. Вершины графа соответствуют классам эквивалентности соединений, причем классы эквивалентности определяются при утверждении, что все вешества в комплексе эквивалентны. Ребра графа — реакции, и они связывают классы эквивалентности реагентов и продуктов. Если граф является деревом, то в таком случае стационарные состояния оказываются локально асимптотически устойчивыми. Эта теорема частично распространена на необратимые сети при наличии подхо-дяшей модели необратимых реакций (см.-[2, 7, 8]). [c.380]

Предложен систематический метод определения всех химических механизмов, возможных с точки зрения комбинаторики, в предположении о том, что возможны суммарные реакции и определенные элементарные процессы столкновения. Все такие механизмы сводятся к конечному числу классов эквивалентности. Класс эквивалентности отдельного механизма т представляется внутренней областью выпуклого многогранника в конечномерном пространстве. Граням многогранника, имеющим более низкую размерность, соответствуют подмеханизмы /я, а не допускающие дальнейшее упрощение механизмы, т. е. простые механизмы отвечают вершинам многогранника. Таким образом, показано, что каждый механизм может быть описан с помощью простых механизмов, точно так же как выпуклый многогранник описывается своими вершинами. [c.472]

Алгебраический метод учета каждого возможного механизма для данной суммарной реакции был разработан Паулем Мильнером (Bell Laboratories) в 1964 г. [1]. Его метод давал полный набор всех простых механизмов реакции. Все иные механизмы представляют собой, по его словам, тривиальные комбинации простых механизмов. Тем не менее, как он также указывает, простые механизмы не являются в общем случае линейно-независимыми. Таким образом, набор кажущихся различными линейных комбинаций будет, вообще, содержать повторения. Кроме того, он будет бесконечным, если мы не разделим набор всех таких механизмов на классы эквивалентности. Цель данной статьи — описать простую геометрическую процедуру для перечисления не только всех простых механизмов, но и всех классов эквивалентности простых механизмов. Будет также показано, что этот метод разделяет все вышеупомянутые механизмы на содержащие и не содержащие циклы. По терми- [c.472]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология