Тензор антисимметричный

Свойство тензора быть симметричным или антисимметричным имеет глубокий математический и физический смысл, так как оно не зависит от выбора системы координат. Покажем это, например, для антисимметричного тензора. В системе координат К [c.20]

В исчислении аффинных ортогональных тензоров антисимметричная по всем значкам величина (2,13) [c.29]

В случае тензора второго ранга при обсуждении симметрии его компонент удобно использовать произведения декартовых координат типа ху и т. д. Легко показать, что компонента тензора аху преобразуется как произведение координат ху при условии, что последнее произведение преобразуется как неприводимое представление. Однако это редкий случай более часто произведения типа ху будут преобразовываться в произведения типа ух. В физике большинство декартовых тензоров, и в частности тензоры вращательного и колебательного КР, являются симметричными, так что аух = ху. Корреляция с произведениями декартовых координат типа ху и ух вполне ясная. Однако такая корреляция менее выражена, когда тензор антисимметричный, т. е. аух — аху Ф 0. Аналогичная величина ху — ух, вообще говоря, равна нулю. Чтобы продолжить аналогию между, этими произведениями и компонентами тензора, следует допустить, что величины типа ху и ух являются некоммутирующими, и в результате величина ху — ух не должна быть равна нулю. В той ситуации, которая действительно имеет место при электронном КР, удобнее вместо аналогии с произведениями координат ввести величины, более тесно связанные с концепцией групп симметрии и операций симметрии. [c.127]

Из этих законов преобразования следует, что структурные постоянные являются компонентами локального смешанного антисимметричного тензора в точке 1 и, следовательно, зависят только от формы координатной сетки в окрестности единичного элемента. [c.92]

Поэтому антисимметричный тензор третьего ранга можно записать в виде [c.285]

Но тензор третьего ранга симметричный по одной паре индексов и антисимметричный — по другой, равен нулю. Поэтому [c.93]

Компоненты антисимметричного тензора второго ранга Qij II в произвольной системе координат молено предста- [c.16]

Уравнение (53) представляет собой не что иное, как реологическое уравнение для напряжений в сжимаемой ньютоновской жидкости, содержащее коэффициент вязкости сдвига л и объемный коэффициент вязкости к векторный инвариант антисимметричной части тензора напряжений равен [c.29]

Разбиение тензора 0 на симметричную и антисимметричную части соответствует представлению поля скоростей линейного сдвигового течения жидкости в виде суперпозиции линейного деформационного течения растяжения-сжатия с коэффициентами растяжения по осям, равными 2, JE з, и вращения жидкости как твердого тела с угловой скоростью О) [99]. В общем случае тензор [c.16]

Далее, тензор градиентов скорости (в размерной форме) можно представить р виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, причем последний характеризует вращение жидкости как твердого тела с угловой скоростью, равной половине вектора вихря. Свободно взвешенная в жидкости сферическая частица будет стремиться прийти во вращение с такой же угловой скоростью. Благодаря инерции частицы скорость ее вращения будет подстраиваться к скорости вращения жидкости с временем релаксации, равным произведению отношения плотностей частицы и среды на характерное время Однако, как было отмечено выше, при малых числах Рейнольдса, рассчитанных по радиусу частицы и скорости ее относительного движения, величина aVv мала по сравнению с временным масштабом мелких вихрей, а для взвесей частиц в капельных жидкостях отношение плотностей частиц и среды будет порядка единицы.Отсюда следует,, что время релаксации много меньше временного масштаба мелких вихрей, т. е. скорость вращения частицы можно считать всегда совпадающей с локальной скоростью вращения жидкости. [c.105]

Рассмотрим далее осесимметричные частицы, ориентация которых определяется единичным вектором е, направленным вдоль оси симметрии частицы. Учитывая, что все тензоры симметричны по двум последним индексам, а тензоры в уравнении (3.11) антисимметричны по индексам 7, п, записываем [c.28]

Здесь V и — безразмерные скорость и компоненты тензора сдвига, способ нормировки которых будет указан далее равенство суммы диагональных элементов нулю является следствием несжимаемости жидкости ((11у 1 = 0). Тензор 6г в (7.1) записан в виде суммы симметричного Е и антисимметричного й тензоров, которые соответствуют чисто деформационной и чисто вращательной составляющим движения жидкости на бесконечности. В общем слу- [c.113]

Отметим, что тензор (6,1) в элементарном векторном исчислении удается представить в виде вектора, обозначаемого url А или rot Л, с условием, однако, выбора правовращающих или левовращающих систем координат, т. е. с отбрасыванием не сводящихся к вращениям преобразований зеркального отражения координатных осей х = — в соотношениях (1,9). Вектор rot Л является, таким образом, искалеченным тензором (6,1). Искусственный характер представления тензора (6,1) в виде вектора виден, в частности,из того, что это возможно сделать только в пространстве трех измерений, где вследствие антисимметрии тензор (6,1) имеет только три независимые компоненты, которые и можно отождествить с тремя компонентами вектора. В пространствах другого числа измерений это сделать уже нельзя, так как тензор (6,1) будет иметь число независимых компонент, не равное числу компонент вектора. Например, в пространстве четырех измерений (6,1) имеет шесть независимых компонент, а вектор — только четыре. Помимо rot Д, существуют и другие векторы, называемые аксиальными , которые по сути дела являются отображениями антисимметричных тензоров. Таковы, например, векторы площадки, момента силы, угловой скорости и т. д. [c.28]

Приведем некоторые примеры тензоров, полученных дифференцированием. К числу их относится антисимметричный тензор вихря вектора [c.28]

Дифференцирование, как мы видели, повышает ранг тензора на единицу в сторону ковариантности. Поэтому антисимметричный тензор вихря (6,1) может быть образован, как это легко видно, только дифференцированием нова-риантного вектора В евклидовых пространствах можно ввести еще более узкий класс тензоров, определенных только по отнощению к преобразованиям (1,14) и (1,15) прямоугольных декартовых координат. Такие тензоры называются аффинными ортогональными. Для них разница между кова-риантными и контравариантными составляющими исчезает. Действительно, согласно (1,12) —А -= [c.29]

Из (6,8), а также из сохранения свойств симметрии или антисимметрии во всех системах координат величина антисимметрична по всем значкам и, следовательно, = = 1. Иногда бывает удобно пользоваться вместо тензоров так называемыми тензорными плотностями , закон преобразования для которых дается соотношением [c.30]

Необходимость выполнения этого условия надо иметь в виду при формулировке уравнений газодинамики, в которых тензор не может содержать антисимметричные части, например, пропорциональные вихрям. [c.41]

Разобьем тензор У м на симметричную и антисимметричную части [c.87]

Здесь использовано то, что скалярное произведение симметричного П и антисимметричного (Ум) тензора равно нулю. [c.88]

ГДО — единичный совершенно антисимметричный тензор. [c.128]

Здесь — единичный, совершенно антисимметричный тензор, а продольная V и поперечная V- - эффективные частоты соударений [c.293]

Имея в виду, что тензор теплопроводности можно разбить на симметричную и антисимметричную части [c.307]

Укажем те ограничения, которые накладывает указанный принцип на вид уравнений переноса. Для этого рассмотрим тензор градиентов скорости, который может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, определяемых следующим образом [c.13]

Тензор напряжений суспензии, движущейся в электрическом поле, несимметричен. Антисимметричная часть тензора напряжений равна в соответствии с (11.18) среднему с обратным знаком значению момента сил, действующего па единицу объема суспензии [c.77]

Таким же образом можно показать, что величины Ч у лУуЧ преобразуются как произведения двух координат, т. е. являются компонентами тензора второго ранга. Как известно, любой тензор Огй второго ранга можно представить в виде суммы симметричного А- и антисимметричного тензора l2 l ih— lhi) Пользуясь (61,2), легко показать, что симметричная часть тензора второго ранга Ч YlлYv сводится к скаляру [c.284]

Аналогично тензор третьего порядка сводится также к численным множителям перед антисимметричным тензором [ Ру] [c.252]

Симметричный или антисимметричный тензор всегда можно образовать из произвольного тензора следующим образом [c.355]

Из компонент антисимметричного тензора можно построить неприводимый тензор первого ранга [c.108]

Наряду с тензором деформаций (4.38) часто вводят тензор дис-торсий Ulk— iUk, симметричная часть которого определяет тензор 8ift. Антисимметричная часть тензора дисторсии дает вектор локального поворота кристаллической решетки <о в результате деформации [c.97]

В котором [ар-у] — антисимметричный единичный тензор, причем [ар ] = 1, если а, р, у равны соответственно х, у, 2 или циклической перестановке этих значений [ар-у] == —1, если а, р, у = = г, у, X или циклической перестановке этих значений [ар ] = О во всех остальных случаях. Первый интегральный член в правой части (53) дает антисимметричную часть момента второго порядка, нигке обозначаемого просто как ql ,, или ду , производная этого момента по времени является магнитным моментом, помноженным на скорость света, сшу. Второй интегральный член в (53) дает [c.248]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология