Тензор неприводимый

Правило отбора для спектров комбинационного рассеяния (спектров КР) может быть сформулировано на основании аналогичных соображений. Оно гласит фундаментальный переход будет наблюдаться в спектрах КР, если норма.льное колебание, соответствующее данному переходу, принадлежит к тому же неприводимому представлению, что и одна или более компонент тензора поляризуемости рассматриваемой молекулы. Эти компоненты являются квадратичными функциями декартовых координат и приводятся в четвертой части таблицы характеров сами декартовы координаты фигурируют в третьей части таблицы. Таким образом, тип симметрии нормальных колебаний дает нам достаточную информацию, чтобы решить, какой из переходов будет наблюдаться в ИК-области, а какой-в спектрах КР. В случае молекулы воды ее нормальные колебания принадлежат к неприводимым представлениям Л, и 2 точечной группы С . Используя теперь лишь таблицу характеров для С2 , находим, что все три типа колебаний будут наблюдаться в ИК-спектрах и спектрах КР. [c.237]

Сферические тензоры. При вычислении матричных элементов различных операторов целесообразно классифицировать эти операторы по их поведению при повороте системы координат. С этой точки зрения обычное определение тензора в декартовой системе координат неудобно по той причине, что из компонент тензора рангах 2 можно составить ряд линейных комбинаций, которые ведут себя различным образом при враш.ении системы координат. Естественно возникает необходимость такого определения тензора, при котором все его компоненты и любые линейные комбинации из этих компонент преобразовывались бы при повороте системы координат единым образом. Такому условию удовлетворяет совокупность (2х Ч-1) сферических функций Уу,д X—1,. .., —X. Определим поэтому тензор ранга х как такую совокупность (2х+1) величин, которые при враш.ении системы координат преобразуются так же, как сферические функции Кх<7. Определенные таким образом тензоры называются сферическими тензорами или неприводимыми тензорами. В соответствии с этим определением неприводимый тензорный оператор Гх ранга X представляет собой совокупность (2х+1) операторов Тщ [c.107]

След тензора а инвариантен относительно вращения системы координат, поэтому а является неприводимым тензором нулевого ранга [c.108]

Из компонент антисимметричного тензора можно построить неприводимый тензор первого ранга [c.108]

Аналогичным образом тензоры более высокого ранга можно разложить на неприводимые тензоры. В дальнейшем мы будем использовать для компонент неприводимых тензоров одно из двух обозначений [c.109]

Тензорное произведение операторов. Из двух неприводимых тензоров можно построить неприводимый тензор ранга [c.113]

МОЖНО представить в виде скалярного произведения неприводимых, тензорных операторов второго ранга. Тензор [c.213]

Здесь X — вклад в ширину линии, не зависящий от а п п = 0 1 2) — пять неприводимых компонент тензора СТВ (яг -тен-зора), заданных в молекулярной системе координат I, г], соотношениями [c.35]

Состояние ионов с конфигурацией сР в полях октаэдрической симметрии имеет низшим состоянием синглет, причем все возбужденные состояния обладают значительно большей энергией. Поэтому для таких ионов характерны относительно длинные времена спин-решеточной релаксации и узкие линии ЭПР даже при комнатной температуре. В поле октаэдрической симметрии основное состояние относится к неприводимому представлению Ла и связано спин-орбитальным взаимодействием только с возбужденными состояниями Т2д. По этой причине тензоры и Л, как видно из данных табл. 10, практически изотропны даже в тех случаях, когда кристаллическое поле сильно искажено. Для ионов с конфигурацией Р симметрия кристаллического поля в основном проявляется в параметрах спин-спинового взаимодействия О м Е. [c.406]

Появление антисимметричного тензора рассеяния сильно влияет на правила отбора в электронном КР по сравнению с правилами отбора для колебательного КР в нерезонансном случае. Дополнительно нет необходимости, чтобы наиболее низко-лежащие электронные состояния ионов редкоземельных элементов принадлежали полносимметричному неприводимому представлению точечной группы, которая описывает позиционную симметрию (локальную симметрию положения) ионов в кристалле. В случае колебательного КР основное состояние почти всегда имеет высокую симметрию и принадлежит полносимметричному представлению. Здесь опять проявляется различие между двумя типами комбинационного рассеяния. [c.123]

В случае тензора второго ранга при обсуждении симметрии его компонент удобно использовать произведения декартовых координат типа ху и т. д. Легко показать, что компонента тензора аху преобразуется как произведение координат ху при условии, что последнее произведение преобразуется как неприводимое представление. Однако это редкий случай более часто произведения типа ху будут преобразовываться в произведения типа ух. В физике большинство декартовых тензоров, и в частности тензоры вращательного и колебательного КР, являются симметричными, так что аух = ху. Корреляция с произведениями декартовых координат типа ху и ух вполне ясная. Однако такая корреляция менее выражена, когда тензор антисимметричный, т. е. аух — аху Ф 0. Аналогичная величина ху — ух, вообще говоря, равна нулю. Чтобы продолжить аналогию между, этими произведениями и компонентами тензора, следует допустить, что величины типа ху и ух являются некоммутирующими, и в результате величина ху — ух не должна быть равна нулю. В той ситуации, которая действительно имеет место при электронном КР, удобнее вместо аналогии с произведениями координат ввести величины, более тесно связанные с концепцией групп симметрии и операций симметрии. [c.127]

В общем для молекулы, характеризующейся свободным вращением, девять компонент декартова тензора преобразуются одна в другую очень сложным путем, и преобразования симметрии должны быть описаны при помощи матриц 9X9. Однако это не единственный путь для нахождения типов компонент тензора рассеяния. Можно выбрать некоторые линейные комбинации компонент декартова тензора, которые при произвольном повороте вокруг определенной оси преобразуются друг в друга. Эти компоненты могут быть объединены в три отдельных набора, так что члены каждого набора при произвольном повороте преобразуются только друг в друга. Эти линейные комбинации, часто называемые компонентами неприводимого тензора, связаны с компонентами обычного декартова тензора соотношениями, представленными в табл. 1. [c.127]

Чтобы наглядно представить себе, что такое компоненты неприводимого тензора, обратим внимание на тесную аналогию между тремя наборами компонент неприводимого тензора и хорошо известными s-, р- и d-орбиталями. Таким образом, а° полностью инвариантна при всех вращениях, в то время как компоненты ajj при произвольных поворотах в общем преобразуются [c.127]

Соотношение между компонентами тензора в декартовой системе координат и компонентами неприводимого тензора [c.128]

В течение последних 20 лет путем тщательного изучения оптических свойств соединений, содержащих трехзарядные ионы редкоземельных Элементов, получены схемы энергетических уровней этих ионов [22]. Результатом таких экспериментальных исследований явились попытки расчета схемы энергетических уровней, которые позволили определить волновые функции состояний для трехзарядных ионов редкоземельных элементов [23]. Как правило, экспериментально изучались кристаллы, содержащие небольшое количество ионов лантаноидов, поэтому приходилось учитывать возмущение, создаваемое кристаллическим полем. В расчетах схем энергетических уровней ионов суще- ственную роль играет тензорная алгебра, поэтому введение компонент неприводимого тензора для описания электронного КР при нахождении трансформационных свойств полного тензора не только очень удобно, но и важно при расчете матричных элементов электрического дипольного момента и, следовательно, тензора рассеяния. Детальное ознакомление с расчетом выходит за рамки данной главы, поэтому ниже приведены только принципы теоретического подхода. [c.129]

Е В 2 < с Компоненты декартова тензора Компоненты неприводимого тензора [c.135]

Значения т даны в табл. 6 в скобках после символов соответствующих неприводимых представлений. Важно отметить, что перед возведением правой части этого соотношения в квадрат необходимо суммировать вклады трех тензоров для фононов данной поляризации. [c.433]

В табл. 9.2 указаны полученные по формуле (3.4) выражения для компонент тензоров комбинационного рассеяния, отвечающих активным неприводимым представлениям для 30 кристаллических классов, и матрицы неприводимых представлений из приложения В, 2. На компоненты тензоров комбинационного рассеяния двух классов g i и триклинной системы для активных колебаний Л и не налагается никаких условий. [c.235]

Чтобы вычислить момент рассеяния кристалла при данном либрационном колебании, следует объединить либрации 2 молекул в ячейке с учетом разности фаз, которыми они могут характеризоваться, подобно тому, как это уже было сделано в гл. 5, 5 для внутренних колебаний. Таким образом, мы получаем 2 тензоров, характеризующих линии комбинационного рассеяния поворотных движений, которые принадлежат различным неприводимым представлениям группы ячейки. [c.304]

Согласно общей теории (см. 10), матричный элемент (f .),7 некоторой физической величины fx отличен от нуля только при условии, что произведение представлений X X содержит единичное представление. Здесь Г — представление группы симметрии квантовой системы, по которому преобразуется волновая функция г ,- начального состояния. Г — представление, по которому преобразуется волновая функция т 5й конечного состояния (начальное и конечное состояния предполагаются различными), — представление, по котором преобразуется величина />,. В случае комбинационного рассеяния в кристаллах волновые функции i] , преобразуются по неприводимым представлениям пространственной группы кристалла, а величины в приближении теории поляризуемости являются компонентами симметричного тензора поляризуемости Ср,. [c.411]

Рассмотрим способ нахождения общих представлений симметричного квадрата неприводимого представления [т]2 группы G и представления of симметричного тензора второго ранга, разлагающегося на неприводимые представления [и]2. Звезда ЛР представления [т] состоит из всевозможных векторов вида ki + kr ki, ki — векторы звезды k представления т). Если среди последних векторов нет нуль-вектора, то (21.41) заведомо не выполняется, так как звезда представления [vf есть 0 . Таким образом, для выполнения (21.41) необходимо, чтобы среди векторов звезды k) присутствовали одновременно векторы fei и ki = — ki ). Это требование выражает условие сохранения квазиимпульса в процессе [c.461]

Здесь гамильтониан каждого взаимодействия разложен на компоненты неприводимых сферических тензоров с рангом L и номером компоненты т. Величина зависит от всех пространственных [c.80]

И1-5. НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРЫ И ИХ ТРАНСФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА [c.80]

Общепринятый метод нахождения трансформационных свойств компонент тензора рассеяния в декартовых координатах, описанный в предыдущем разделе, хотя и не трудоемкий, но определенно неэлегантен. Кажется, что девять элементов этого тензора преобразуются произвольным образом. Вместе с тем могут быть составлены такие наборы из компонент обычных тензоров, что трансформационные свойства элементов каждого набора будут подчиняться определенным строго установленным правилам. Эти наборы компонент называются неприводимыми тензорами, так как при произвольных поворотах компоненты набора преобразуются только в комбинации компонент того же набора. Чтобы получить наборы неприводимых тензоров, необходимо использовать математический [c.80]

Унитарные матрицы (11), связывающие компоненты неприводимых тензоров и тензора в декартовых координатах [c.82]

Неприводимые тензоры ag, (Q = — 1, 0, 1) и a (Q = 2, 1, 0, —1, —2). Конечно, тензоры такого вида не ограничиваются тензорами рассеяния. Их можно получить, рассматривая связь каких-либо двух векторов, заданных в сферических координатах. Типичным примером неприводимых тензоров служит набор сферических гармоник Ут(0, ф), так как при поворотах они также преобразуются друг в друга. Это можно показать следующим образом. Сферические гармоники можно записать в виде произведения функций, которые зависят от углов 0 и ф [c.83]

Поведение компонент неприводимых тензоров при операциях [c.85]

Подобная процедура может быть проведена и в случае слабого поля. Конфигурация (3 ) дает состояния и а расщепление этих состояний получают с помощью трансформационных свойств сферических гармоник Ут и . Результаты, приведенные в табл. IV- , получены подобным образом путем замены / на / и т на /г в сферических гармониках Ут- Правила отбора для электронных переходов в комбинационном расстоянии ионов лантанидов теперь могут быть уточнены путем использования компонент неприводимого тензора в качестве примера может служить ион Еи +. Для перехода (см. рис. IV-1) основное состояние [c.99]

Здесь Оа и Ов — различные нормальные координаты молекулы. Чтобы найти правила отбора для составного перехода, должна быть рассмотрена полная колебательная волновая функция. Переход, определяемый третьим членом, связан с одновременным однократным возбуждением двух нормальных колебаний. Этот составной тон активен в комбинационном рассеянии только тогда, когда элементы тензора комбинационного рассеяния принадлежат тем же представлениям, что и произведение нормальных координат Оа и Ов. Возможны также переходы, когда одно нормальное колебание возбуждено двумя или более квантами пу ) и переходы типа лv — mvj (разностные тоны). Обертоны и составные переходы могут также включать вырожденные колебания. В табл. 1У-7 приведены типы симметрии некоторых уровней вырожденного нормального колебания молекулы, принадлежащей точечной группе симметрии Легко видеть, что в произведении неприводимых представлений для состояния Vm = 0 и // = 1 встречается только тип симметрии Е. Но типами симметрии, встречающимися в произведении представлений, которым принадлежат волновые функции состояний и г =1 и = 2, являются X (Л + ")== ++ Л]. Тип симметрии А не присутствует в произведении представлений основного и первого возбужденного состояний, и, таким образом, получается, что тензор комбинационного рассеяния, связывающий состояния с = 1 и Ут = О, не равен тензору для состояний с Ут —2" и 1. Тот [c.121]

Здесь Г — квантовое число полного углового момента расселл-саундерсовского многообразия, на котором заканчивается электронный переход, участвующий в КР / — квантовое число многообразия, соответствующего началу перехода. Подсостояния /г и /г многообразий В отдельных случаях могут быть состояниями с хорошими квантовыми числами, даже если ион испытывает влияние кристаллического поля К ц. Q имеют те же значения, что и выше, и являются индексами компонент неприводимого тензора (а)д. Правила отбора в электронном КР определяются свойствами 3/-символа. Символ автоматически равен [c.129]

Позиционная симметрия иона редкоземельного элемента описывается точечной группой 02, поэтому кристаллические компоненты расщепленного основного состояния будут описываться при помощи неприводимых представлений этой группы. Однако в данном случае возникают определенные осложнения. Число оптически активных электронов у иона иттербия составляет 13, и для описания всех уровней энергии должна использоваться двойная группа. Уровни энергии в УОаО УЬ должны описываться при помощи неприводимых представлений двойной группы >2. Аналогично компоненты тензора рассеяния должны принадлежать некоторым из эти представлений соответствующее отнесение кристаллических уровней и компонент [c.135]

Характеры различных представлений приведены в табл. 2, в которую входят как ионные, так и молекулярные кристаллы с = Числа полных мод (п ), трансляционных мод (акустических Т и оптических Т) и либрационных мод Я ) легко определить из характеров различных представлений и таблицы характеров соответствующей точечной группы, используя формулу (18). Число внутренних колебаний каждого фрагмента можно вычислить, вычитая (Т Т ) и Я из общего числа модпг. Активность различных колебаний в ИК-спектре и спектре КР определяется по обычным правилам. Компоненты дипольного момента или тензора поляризуемости преобразуются как декар товы координаты х, у, г и как их произведения соответственно Неприводимые представления, по которым они преобразуются обычно даны в стандартных таблицах характеров (см., напри мер, работы [47, 50, 51]). (Все это верно лишь в том случае когда выбранные кристаллографические оси совпадают с осями используемыми в точечной группе.) [c.371]

Указаны неприводимые представления точечной группы кристалла ЬаВГд, к которым принадлежат различные компоненты тензора КР- а —поляризация У (ХУ) Х б —поляризация У 21)Х в—поляризация У (XX) Z , г — поляризация У (ХУ) г (линия 137,6 см депо лярнзована в направлении оптической осп) 5 —поляризация У (ХУ) X. [c.485]

Можно найти линейные комбинации коэффициентов Pa ((0> i) которые преобразовались бы по неприводимому представлению данной группы, т. е. найти преобразование подобия, которое разлагало бы представление, даваемое матрицей (i a , еп), на неприводимые представления. Но нас больше интересует вопрос о том, как найти отдельные элементы Paai i),n), которые образуют тензор, связанный с активным>-колебанием. Для этого мы воспользуемся непосредственно соотношением (3.4) и матрицами D( )(A) из приложения В, 2, [c.235]

Из приведенного выше рассуждения можно сделать вывод, что компоненты агг и ахх + ссуу преобразуются аналогично полносимметричному представлению группы. Прямым следствием наличия оси вращения четвертого порядка служит то, что координата х переходит в координату у, и наоборот. Эти координаты преобразуются по неприводимому представлению Е, и они неразличимы (в одном из столбцов таблицы для группы iv это отмечено запятой между X я у). Компоненты х и у также неразличимы, и, таким образом, ахх = OLyy, однако компонента azz отличается от жх или ауу. Здесь используются следующие обозначения a x+ayy, azz, два тензора, которые преобразуются по полносимметричному [c.77]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология