Ньютона Рафсона последовательных приближений

На практике поэтому используют так называемые квазиньютоновские методы, в которых на основе имеющейся информации о значениях функции, или также и о значениях производных, определяется приближенная матрица О или или же используется алгоритм, который позволяет за конечное число шагов минимизировать квадратичную функцию. При этом обычно используются процедуры, которые позволяют строить так называемые сопряженные направления. Два направления 8 8 считаются сопряженными относительно матрицы А, если 8 А8 = 0. Можно показать, что последовательная минимизация выпуклой квадратичной формы вдоль последовательности К линейно независимых сопряженных направлений (где К — размерность пространства координат q) определяет точный минимум квадратичной формы. Таким образом, К шагов подобных алгоритмов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона. [c.108]

Поскольку методы сопряженных направлений за К шагов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона, они, вообще говоря, обладают квадратичной скоростью сходимости. Однако это их свойство проявляется лишь в достаточной близости к экстремальной точке. В случае расчета стабильных структур использование известной структурной информации позволяет достаточно хорошо выбирать начальное приближение. Известные значения силовых постоянных (из эксперимента или из родственных расчетов) можно использовать при задании начального приближения для матрицы А (A 5iG ) в методах переменной метрики. Интересной особенностью градиентных методов сопряженных направлений является их эквивалентность в случае выпуклой квадратичной функции [234], когда они приводят к одной и той же последовательности сопряженных направлений. Но для произвольных функций, особенно вблизи точек перегиба, разные методы приводят к разным результатам. Наибольшей устойчивостью, по-видимому, обладают методы переменной метрики, но в задачах с очень большим числом переменных необходимость работы с матрицей высокого порядка может приводить к затруднениям тогда следует пользоваться более простыми методами параллельных касательных или сопряженных градиентов. Предварительно полезно улучшить начальное приближение с помощью метода скорейшего спуска. [c.116]

Требуемую температуру можно рассчитать методом последовательных приближений Ньютона — Рафсона, принимая в качестве начального значения Г= 1,500 (см. пример I). Используя разложение 5(7"—АТ ), где АТ=Т—7 и Тп — некоторое значение температуры вблизи Т, в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением, получим [c.359]

Поскольку система уравнений обычно включает несколько нелинейных уравнений, приходится прибегать к методам аппроксимации. Этой проблеме уделялось много внимания в связи с многореакционным равновесием, так как при этом может наблюдаться плохая сходимость на промежуточных стадиях последовательных приближений корней и могут появляться отрицательные мольные доли. При этом были использованы приведение уравнений к линейным системам перед или в ходе применения метода Ньютона — Рафсона, линейное [c.491]

При использовании автоматических вычислительных машин рекомендуется применять метод Ньютона—Рафсона. Когда пользуются настольными вычислительными машинами, то [14] для получения быстрой сходимости последовательных приближений мо кет оказаться полезным графический метод он заслуживает п])едпочтепия также в том случае, когда вычислители пе знакомы с методом Ньютона—Рафсона. Метод заключается в построении молярной доли (ординаты) -й зависимой составной части по молярной доле (абсциссе) той же составной части, полученной из предыду-ш,ей итерации. При равновесии точки лежат на прямой у = х, проходящей под углом 45° к оси абсцисс. Сначала определяются равновесные концентрации две подобные последовательные точки определяют прямую, пересекающую прямую у = хв точке, которая дает лучшее приближение, чем каждая из двух точек. Три такие точки определяют кривую, пересекающую прямую у = х в точке, которая даст еще лучшее приближение. Система значений, определепных таким образом, может быть использована вместе с уравнением (2.28) при определении значений молярных долей компонентов для следующей итерации. [c.74]