Ньютона последовательного приближения

Решение находят методом последовательных приближений, например методом Ньютона. В соответствии с этим методом новое приближение для искомого параметра находят через производную функции / по соответствующей переменной. Так, для третьей постановки задачи ОИ [c.92]

Таким образом, нужно найти некоторое значение Т, при котором / (Г) = 0. Поскольку каждое значение возрастает с температурой, то / (Г) имеет только один положительный корень. ДJ[Я определения искомого корня используется способ Ньютона. Если считать, что Т — значение Т, полученное после п последовательных приближений, то улучшенное значение Т (обозначается как 2 +1) для п -Ь 1)-го приближения определяют по формуле Ньютона [c.25]

X по методу Ньютона осуществляется процесс последовательных приближений [c.66]

Линеаризация г.ц. может вьшолняться различным образом. Собственно, основные численные методы нелинейной алгебры уже используют линеаризацию (в той или иной форме) на каждом шаге последовательных приближений. При этом бесконечная вычислительная процедура состоит из цепочки операции, в каждом звене которой реализуется некоторый линейный метод. Это в полной мере относится к методу Ньютона и его модификациям, а также к градиентным и другим методам. [c.82]

Предлагаемый ниже подход можно классифицировать как метод последовательных приближений, сочетающий декомпозицию (расщепление) общей системы на две подсистемы и итерационный процесс Ньютона для каждой из этих подсистем со взаимной увязкой их решений. [c.142]

В данном случае процедура метода Ньютона будет выглядеть следующим образом. Последовательные приближения искомых [c.143]

Систему уравнений (П1,170) удобно решать методом последовательных приближений (либо методом итерации, либо методом Ньютона ). [c.226]

Требуемую температуру можно рассчитать методом последовательных приближений Ньютона — Рафсона, принимая в качестве начального значения Г= 1,500 (см. пример I). Используя разложение 5(7"—АТ ), где АТ=Т—7 и Тп — некоторое значение температуры вблизи Т, в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением, получим [c.359]

Этим можно установить, насколько данные опыта удалены от положения равновесия. Кроме описанного выше метода подбора для расчета корней уравнения удобен метод последовательного приближения (способ Ньютона). [c.102]

Для решения более сложных уравнений наиболее удобным является метод Ньютона. Пример применения как метода последовательного приближения, так и метода Ньютона приведен в конце следующего раздела <стр. 425). [c.411]

Для этого вида уравнения метод последовательного приближения даег самое быстрое решение, но более широко применим другой метод, именно метод Ньютона. Он подробно описан во многих справочниках, но для нашей цели достаточно отметить, что [c.425]

Для обеспечения сходимости последовательных приближений в тех случаях, когда ее не гарантирует метод Ньютона в обычной форме, может быть применен специальный прием. Прием использует следующую идею сходимость последовательных приближений от произвольных начальных значений неизвестных может быть гарантирована, если разложение приближенного решения в ряд Тэйлора применять на частных интервалах функции. [c.43]

Решение уравнения (IX. 140) методом последовательных приближений (итераций) позволяет найти такое значение при котором сумма дробей в левой части равенства равна единице. Для нахождения искомого значения V можно использовать методы Ньютона, хорд или деления отрезка пополам. [c.272]

На практике поэтому используют так называемые квазиньютоновские методы, в которых на основе имеющейся информации о значениях функции, или также и о значениях производных, определяется приближенная матрица О или или же используется алгоритм, который позволяет за конечное число шагов минимизировать квадратичную функцию. При этом обычно используются процедуры, которые позволяют строить так называемые сопряженные направления. Два направления 8 8 считаются сопряженными относительно матрицы А, если 8 А8 = 0. Можно показать, что последовательная минимизация выпуклой квадратичной формы вдоль последовательности К линейно независимых сопряженных направлений (где К — размерность пространства координат q) определяет точный минимум квадратичной формы. Таким образом, К шагов подобных алгоритмов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона. [c.108]

Поскольку методы сопряженных направлений за К шагов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона, они, вообще говоря, обладают квадратичной скоростью сходимости. Однако это их свойство проявляется лишь в достаточной близости к экстремальной точке. В случае расчета стабильных структур использование известной структурной информации позволяет достаточно хорошо выбирать начальное приближение. Известные значения силовых постоянных (из эксперимента или из родственных расчетов) можно использовать при задании начального приближения для матрицы А (A 5iG ) в методах переменной метрики. Интересной особенностью градиентных методов сопряженных направлений является их эквивалентность в случае выпуклой квадратичной функции [234], когда они приводят к одной и той же последовательности сопряженных направлений. Но для произвольных функций, особенно вблизи точек перегиба, разные методы приводят к разным результатам. Наибольшей устойчивостью, по-видимому, обладают методы переменной метрики, но в задачах с очень большим числом переменных необходимость работы с матрицей высокого порядка может приводить к затруднениям тогда следует пользоваться более простыми методами параллельных касательных или сопряженных градиентов. Предварительно полезно улучшить начальное приближение с помощью метода скорейшего спуска. [c.116]

Прежде всего необходимо отметить следз-ющее. В то время, как в методе Ньютона последовательные приближения г . (г) на каждой итерации удовлетворяют системе уравнений (VI,2) п ( Ч,3), но не удовлетворяют краевым условиям (VI,5) и (VI,6). то в методе квазилинеаризации, наоборот, последовательные приближения 2 Ч ) не удовлетворяют системе уравнений (VI,2) и (У1,3), но удовлетворяют краевым условиям (VI,5) и (VI,6). Сравнение этих двух методов мы будем вести по основным показателям, о которых говорилось на стр. 37. [c.166]

Уравнение (III.57) определяет а следовательно, и j как функцию температуры. Соответственно К , левая часть уравнения (III.46), также может быть представлена как функция Т. Чтобы получить окончательный результат, нужно решить это трансцендентное уравнение путем проб и ошибок или с помощью более систематичного метода последовательных приближений, нанрнмер метода Ньютона. Приближенное графическое решение (которое может стать хорошей отправной точкой для более точных вычислений) можно получить, проведя на рис. III.4 прямую линию с наклоном 1//, где J— среднее значение (— АН)1Ср. Для жидкостей величина J мало меняется, и в большинстве случаев ее можно считать постоянной. Для газов J не будет постоянной, так как Ср — это теплоемкость единицы объема. Однако величина J" = pJ = (— АН)/(Ср1р) должна быть почти постоянной, так как Ср/р — теплоемкость единицы массы. Поэтому при расчете газовых реакций лучше пользоваться переменной — степенью полноты реакции, выраженной в молях на единицу массы, — так как для нее соотношение [c.55]

Вольфа более точен, чем метод Ньютона или метод квазилинеариза-цпи, однако,-ДЛЯ начала счета здесь требуется иметь ряд последовательных приближений к решению. [c.119]

График этой функции, приведенный на рис. 5.10, дает один положительный корень, равный 15,55063. Последовательными приближениями по методу Ньютона можно найти этот корень только в случаях, когда х больше 12,6. Метод Ньютона с демп - [c.265]

Способ Ньютона. Одним из часто применяемых способов решения задачи методом последовательных приближений является способ, предложенный Ньютоном. Допустим, что необходимо найти значение х, при котором / (х) = 0. Способ Ньютона состоит в использовании при итерациях двух первых членов ряда Тейлора для / (ж) в окрестности, некоторого значения х, скаж ем х . [c.18]

Поскольку система уравнений обычно включает несколько нелинейных уравнений, приходится прибегать к методам аппроксимации. Этой проблеме уделялось много внимания в связи с многореакционным равновесием, так как при этом может наблюдаться плохая сходимость на промежуточных стадиях последовательных приближений корней и могут появляться отрицательные мольные доли. При этом были использованы приведение уравнений к линейным системам перед или в ходе применения метода Ньютона — Рафсона, линейное [c.491]

Для области действия закона Ньютона (Я= onst) конечная скорость осаждения определяется по зависимости (5). Скорость осаждения в переходной области определяется методами последовательного приближения (пробными расчетами) [103], так как искомая скорость входит в качестве аргумента и в число Re, и в коэффициент сопротивления. Решение этой задачи значительно облегчается вычислением зависимостей, предложенных П. В. Лященко [60] (рис. 38) [c.60]

Для приближенного решения уравнений используют различные методы метод проб, метод хорд, метод касательных етод Ньютона), метод итераций [46, 47]. Оценивая достигаемую эффектнвнЛть использования методов приближенного решения уравнений, следует отметить, что наиболее эффективным, и потому наиболее распространенным, является метод Ньютона. Его применяют для решения любого уравнения с одним неизвестным, но он особенно удобен при решении многочленных уравнений высоких степеней. Правда, эффективное использование этого метода требует предварительного знания приближенного значения корня или хотя бы порядка его величины. Метод хорд менее Эффективен, но его удобно использовать для решения уравнений, когда порядок величины корня неизвестен и за начальное приближение корня берут одно из крайних значений интервала изоляции корня. Метод пробных подстановок является самым простым из рассмотренных, и при удачном выборе последовательных приближений он тоже может оказаться достаточно эффективным, но все же этот метод целесообразен лишь для определения порядка величины корня. Очень эффективен комбинированный метод, основанный на совместном использовании различных методов приближенного решения уравнений. Например, если применять совместно метод хорд и метод касательных, то интервал изоляция будет сужаться с обоих концов и это ускоряет процесс вычисления корня с заданной точностью. С достаточной эффективностью можно сочетать метод проб с методом Ньютона или методом хорд. [c.20]

При использовании автоматических вычислительных машин рекомендуется применять метод Ньютона—Рафсона. Когда пользуются настольными вычислительными машинами, то [14] для получения быстрой сходимости последовательных приближений мо кет оказаться полезным графический метод он заслуживает п])едпочтепия также в том случае, когда вычислители пе знакомы с методом Ньютона—Рафсона. Метод заключается в построении молярной доли (ординаты) -й зависимой составной части по молярной доле (абсциссе) той же составной части, полученной из предыду-ш,ей итерации. При равновесии точки лежат на прямой у = х, проходящей под углом 45° к оси абсцисс. Сначала определяются равновесные концентрации две подобные последовательные точки определяют прямую, пересекающую прямую у = хв точке, которая дает лучшее приближение, чем каждая из двух точек. Три такие точки определяют кривую, пересекающую прямую у = х в точке, которая даст еще лучшее приближение. Система значений, определепных таким образом, может быть использована вместе с уравнением (2.28) при определении значений молярных долей компонентов для следующей итерации. [c.74]

Постановка этих задач основана на фундаментальном принципе — равенстве летучестей каждого компонента смеси в сосуществующих фазах. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений, описьшающих данные задачи — это широко применяющиеся в вычислительной практике метод последовательных приближений (ПП) и метод Ньютона (Н). [c.121]

У/, удовлетворяющих граничные условия на другой границе, осуществляется путем "стрельбы" от одной границы слоя до другой. Обычно при использовании этого метода возникает необходимость в его модификации путем применения метода Ньютона [119], метода дополнительной прогонки [119] или повторной стрельбы [125]. Эти модификации связаны с численной неустойчивостью метода стрельбы и его сходимостью лишь в узкой окрестности решения [126]. Поэтому большое значение в реализации метода имеет выбор начального приближения. В работах [125, 127] в качестве такого приближения берется гольдмановская аппроксимация постоянного поля. В [81-83, 121] проблема решается путем последовательного решения краевой задачи с возрастающим значением плотности тока /, рассматриваемого как параметр, изменяющийся ступеньками с [c.280]