Корни характеристического уравнения

Если действительные части корней характеристического уравнения положительны, что будет при выполнении неравенств [c.35]

Если корни характеристического уравнения /и 4- а/и - - й = О обозначить через и т , получим при nil Ф Щ [c.388]

Положение равновесия устойчиво, если действительные части всех корней характеристического уравнения (1,30) отрицательны. [c.25]

Положение равновесий неустойчиво, если действительная часть хотя бы одного из корней характеристического уравнения положительна. [c.26]

К 1А К2 — корни уравнения а 2К + а - 022) К -I- а2 = 0 Сй1 и 0)2 — корни характеристического уравнения [c.124]

Второй случай. Один из корней характеристического уравнения действительный, а два других — комплексные сопряженные числа, причем знак их действительной части совпадает со знаком действительного корня положение равновесия называется фокусом (рис. 1-7). Через положение равновесия проходит поверхность, расположение фазовых траекторий на которой такое же, как в окрестности фокуса на фазовой плоскости двумерных систем. О прочих фазовых траекториях можно сказать следующее две из них, расположенные по разные стороны от вышеупомянутой поверхности, стремятся к положению равновесия с определенной общей касательной, все остальные являются спиралями. [c.35]

Дискриминант квадратного уравнения (10.69) О = 1 - 4 со положителен, поскольку со 1. Поэтому корни характеристического уравнения [c.328]

Корни характеристического уравнения [c.240]

Здесь р обозначены нули передаточной функции, а рУ — ее полюсы. Эти последние представляют собой корни характеристического уравнения, составленного для решения собственно дифференциального уравнения системы. Как известно, устойчивой является только такая система, у которой полюса (или их вещественная часть, если они комплексные) не положительны. Поэтому первое условие записывается так [c.101]

Для сложных положений равновесия по крайней мере один из корней характеристического уравнения равен нулю. [c.30]

Первый случай. Все корни характеристического уравнения (1,44) действительны и имеют один знак положение равновесия называется узлом (рис. 1-6). Через положение равновесия проходит некоторая поверхность, расположение фазовых траекторий на которой таково же, как в окрестности узла на фазовой плоскости двумерных систем. Все остальные фазовые траектории приближаются к положению равновесия (или удаляются от него) и имеют в точке, соответствующей положению равновесия, одну и ту же касательную. [c.34]

Если все корни характеристического уравнения положительны, что имеет место при выполнении неравенств [c.35]

Третий случай. Все корни характеристического уравнения действительны, но их знаки не совпадают. Это будет если [c.36]

Если все корни характеристического уравнения отрицательны, то выполняются неравенства [c.35]

Если действительные части корней характеристического уравнения отрицательны, то выполняются неравенства [c.35]

В зависимости от характера корней характеристического уравнения в распределенной системе также могут возникнуть стационарное, но пространственно неоднородное распределение концентрации — так называемая бифуркация Тьюринга, или предельный цикл, зависящий от распределения реагентов по координате и порождающий автоволновые процессы [4, 8—П]. [c.38]

Величины Pn являются корнями характеристического уравнения [c.140]

В данном случае, как показано на рис. VIII-7, корни характеристического уравнения для разомкнутой системы вычерчиваются в комплексной плоскости. Для каждой такоу системы [c.104]

Собственные значения являются корнями характеристического уравнения Р— -з ] = О, и, как нетрудно проверить, равны [c.288]

В зависимости от знака величины А один из корней характеристического уравнения (12—28) оказывается по модулю большим единицы. Поэтому при I оо общее решение неоднородного уравнения и, следовательно, модифицированный метод Эйлера является неустойчивым. Так же как и для простой формулы Эйлера, ошибка может быть уменьшена только за счет уменьшения шага интегрирования. [c.358]

Из уравнения (3.41) видно, что имеет бесчисленное множество значений. Первые несколько корней можно определить графическим путем. Если первый член в левой части уравнения (3.41) обозначить через у , второй член — у , а правую часть — через у , то пересечения котангенсоиды у —у с графиком у дают значения корней характеристического уравнения. Исследование ряда (3.40) показало, что при учете первых десяти корней характеристического уравнения остаток ряда принимает пренебрежимо малые значения. Расчет величины диффузионного потока к поверхности отдельной частицы производился при следующих исходных данных (для случая полимеризации стирола при 50° С) /Ср=120 л/моль сек. Z>i=10 см /сек Z>2=10- см /сек Д,=4,92.10- 4-2,04-10-5 см Л,=0,5-10- 4-4,8-10- см с =2,3 10 молекул/см =0,7 10- . [c.150]

При подаче на вход объекта возмущения в виде функции единичного скачка переходный процесс определяется решением однородного уравнения, соответствующего (6.17). Решение однородного уравнения, в свою очередь, определяется корнями характеристического уравнения [c.314]

Если по экспериментальной кривой переходного процесса Р ( ) на выходе системы удается найти корни характеристического уравнения (6.18), то искомая передаточная функция записывается немедленно на основании теоремы разложения. В этом состоит идея метода. Особенности практической реализации метода определяются тем, какие корни имеет характеристическое уравнение (6.18). Рассмотрим три наиболее характерных случая [5]. [c.314]

Пусть среди корней характеристического уравнения (6.18) есть / кратных действительных корней (s=l, 2,. . ., /), причем кратность корня т, равна v . Решение однородного уравнения [c.317]

Таким образом, если все корни характеристического уравнения найдены, то, пользуясь теоремой разложения [6, 71, можно записать передаточную функцию объекта в виде [c.318]

Корни характеристического уравнения (3.36) имеют вид [c.124]

Здесь Yi, 72 — корни характеристического уравнения для системы уравнений (XV,61) и (XV,62) [c.508]

В этом случае корни характеристического уравнения можно приближенно представить выражениями [c.423]

Для нахождения корней характеристического уравнения используем уравнения (8.202) и (8.203). В рассматриваемом случае определяется выражением [c.531]

Пусть система (VII,38) устойчива. Это значит, что корни характеристического уравнения [c.187]

Заметим также, что при интегрировании только системы (VII,6) в обратном направлении высокая чувствительность по отношению к начальным значениям и связанные с этим трудности счета исчезают [при переходе от независимой переменной t к переменной х = —t значения корней характеристического уравнения (VII,41) заменяются на противоположные . [c.188]

A ). В дальнейшем для системы (3.91) решается задача на собственные значения и аналитически находятся корни характеристического уравнения aik — = О, где б — дельта-функция Кронеккера. Если все корни [c.178]

Исходное состояние устойчиво, если корни характеристического уравнения (1.31) действительны и отрицательны (А1<0, Я,2<0) или отрицательна действительная часть комплексно со-пряженныхкор11ей ЩеХКО). ПрнА,1>0 и Аг>0 или еА,>0 состояние точечной системы неустойчиво, и возможен переход в новое стационарное состояние. [c.32]

В сильнонеравновесных системах возможно возникновение не только триггерного, но и осциллирующего режима с незатухающими периодическими изменениями концентрации. В кинетических системах, где наряду с угнетением происходит активация или торможение процесса продуктом реакции, скорость Т г является функцией концентрации не только исходного реагента, но и продукта. В этих условиях возможно возникновение различных структур, в том числе концентрационных автоколебаний [4] тип структуры может быть определен на основе анализа устойчивости. Неустойчивое состояние типа седло [корни характеристического уравнения (1.31) вещественны и различных знаков ] приводит к возникновению в системе триггерного режима. Неустойчивость типа фокус появляется при комплексно-сопряженных корнях уравнения (1.31) в этом случае в точечной системе возникает предельный цикл, когда любая точка фазовой диаграммы приближается к одной и той же периодической траектории [8, 11]. [c.37]

Из изложенного выше ясно, что для аппарата идеального перемешивания возможно три стационарных режима, из них два (при низкой и высокой температурах) устойчивы, а один (при промежуточной температуре) неустойчив. Действительно, проверка условий (У.26) отрицательности вещественной части корней характеристического уравнения приводит к условию dQJdt dQjdT (Ql и Q2 — те же, что и на стр. 158), т. е. наклон линии отводи-мого тепла в устойчивой точке должен быть больше наклона линии подводимого тепла. Вообще исследование устойчивости в таких аппаратах не вызывает затруднений при использовании методов, описанных выше (стр. 160, 163). [c.167]

Общее решение однородного уравнения (12—28) определяется корнями характеристического уравнения р — 2Акр — 1=0 [c.357]

Поск ольку для нашего случая плотности жидкости (нефти) и частиц (соленая вода) могут изменяться в пределах соответственно 800— 900 кг/м и 1000—1200 кг/м , а Р /Рн — в пределах 1,1—1,5, корни характеристического уравнения будут комплексные. Записывая их в виде Й1.2=7 +гю, где [c.182]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология