Характеристическое уравнени

Если действительные части корней характеристического уравнения положительны, что будет при выполнении неравенств [c.35]

Если корни характеристического уравнения /и 4- а/и - - й = О обозначить через и т , получим при nil Ф Щ [c.388]

Рис. 3.1. Решение характеристических уравнений (3.48) (а) и (3.58) (б) значения I /-5 2-4 3-3 4-2 5-1.

К 1А К2 — корни уравнения а 2К + а - 022) К -I- а2 = 0 Сй1 и 0)2 — корни характеристического уравнения [c.124]

Дискриминант квадратного уравнения (10.69) О = 1 - 4 со положителен, поскольку со 1. Поэтому корни характеристического уравнения [c.328]

Положение равновесия устойчиво, если действительные части всех корней характеристического уравнения (1,30) отрицательны. [c.25]

Аналоговое моделирование основано на аналогиях, существующих в описании некоторых фильтрационных процессов с другими физическими явлениями (диффузией, процессом переноса тепла, электрического тока и т.д.). Основная причина существования аналогий-это однотипность уравнений, описывающих физические процессы различной природы. Аналогия устанавливается на основании того факта, что характеристические уравнения (например, закон Дарси и закон Ома) выражают одни и те же принципы сохранения (массы, импульса, энергии, электричества и т.п.), лежащие в основе многих физических явлений. Существующие аналогии позволяют разрабатывать аналоговые модели. [c.376]

Положение равновесий неустойчиво, если действительная часть хотя бы одного из корней характеристического уравнения положительна. [c.26]

Характеристическое уравнение для этой системы мол<ет быть записано как [c.502]

Собственные значения X,- находятся из решения характеристического уравнения [c.154]

Здесь Хц- тождественно равно X,- и определяется уравнением (3.44). Собственные значения Х2/ находятся из решения характеристического уравнения [c.156]

В колонных аппаратах, даже весьма эффективных, продольное перемешивание по дисперсной фазе значительно меньше, чем по сплошной. Поэтому рассмотрим более подробно решение уравнения (5.79) при 7 = 0. В зтом случае характеристическое уравнение (5.86) имеет корни [c.235]

Корни характеристического уравнения [c.240]

Единственное положение равновесия этой системы линейных дифференциальных уравнений находится в начале координат ( 1 = = = п = 0). Вид ее решения зависит от значений корней -Ли Щ,. ... характеристического уравнения [c.25]

Характеристическое уравнение системы (1,43) имеет вид [c.34]

Второй случай. Один из корней характеристического уравнения действительный, а два других — комплексные сопряженные числа, причем знак их действительной части совпадает со знаком действительного корня положение равновесия называется фокусом (рис. 1-7). Через положение равновесия проходит поверхность, расположение фазовых траекторий на которой такое же, как в окрестности фокуса на фазовой плоскости двумерных систем. О прочих фазовых траекториях можно сказать следующее две из них, расположенные по разные стороны от вышеупомянутой поверхности, стремятся к положению равновесия с определенной общей касательной, все остальные являются спиралями. [c.35]

Если характеристическое уравнение, не имеющее корней с положительной действительной частью, имеет хотя бы один корень, действительная часть которого равна нулю, то исследование уравнений первого приближения не дает ответа на вопрос об устойчивости положения равновесия. [c.26]

Характеристическое уравнение запишется так [c.29]

Для сложных положений равновесия по крайней мере один из корней характеристического уравнения равен нулю. [c.30]

Для простых положений равновесия в зависимости от значений корней XI и Х2 характеристического уравнения может осуществляться один из четырех случаев. [c.30]

Можно показать, что когда характеристическое уравнение не имеет корней, действительная часть которых равна нулю, то [c.34]

Первый случай. Все корни характеристического уравнения (1,44) действительны и имеют один знак положение равновесия называется узлом (рис. 1-6). Через положение равновесия проходит некоторая поверхность, расположение фазовых траекторий на которой таково же, как в окрестности узла на фазовой плоскости двумерных систем. Все остальные фазовые траектории приближаются к положению равновесия (или удаляются от него) и имеют в точке, соответствующей положению равновесия, одну и ту же касательную. [c.34]

Если все корни характеристического уравнения положительны, что имеет место при выполнении неравенств [c.35]

Третий случай. Все корни характеристического уравнения действительны, но их знаки не совпадают. Это будет если [c.36]

Если все корни характеристического уравнения отрицательны, то выполняются неравенства [c.35]

В данном случае, как показано на рис. VIII-7, корни характеристического уравнения для разомкнутой системы вычерчиваются в комплексной плоскости. Для каждой такоу системы [c.104]

Если действительные части корней характеристического уравнения отрицательны, то выполняются неравенства [c.35]

Теперь вычислим коэффициенты а и Д характеристического уравнения [c.70]

Отсюда для коэффициентов характеристического уравнения получаем [c.72]

Коэффициенты характеристического уравнения определяются формулами [c.110]

Используя формулы (И1,50), получаем такие выражения для коэффициентов характеристического уравнения [c.113]

Отсюда для коэффициентов характеристического уравнения получаются следующие выражения [c.119]

Если рассматривать коэффициенты характеристического уравнения а и А, как параметры исследуемой системы, то диаграмма Л, о (см. рис. 1-5) позволяет получить некоторое представление о разбиении пространства параметров. В частности, в этом разбиении участвует ось ординат плоскости Д, а—прямая Д = 0. При переходе от а и Д к другим параметрам аналогичную роль будет выполнять кривая, отвечающая соотношению между параметрами, полученному из условия А = 0. [c.138]

Примем, что коэффициент усиления k = 8 тогда коэффициенты характеристического уравнения будут иметь следующие значения [c.169]

Попробуем, используя (1.26). составить новое характеристическое уравнение в других переменных — температуры и объема. Для этого произведем преобразование Лежандра, смысл которого состоит в том, что одновременно с заменой переменных в правой части (1.26) заменим функцию под знаком дифференциала в левой части. Добавляя и отнимая (Т8), после преобразований получим [c.28]

Если реакция не простая, а сложная, то возникает проблема связи различных химических потенциалов (точнее, их изменений) между собой. Для этого необходимо построить новое характеристическое уравнение по независимым переменным. Используем то обстоятельство, что, например, свободная энергия Гиббса есть, во-первых, однородная функция первого порядка но отношению к n , и, во-вторых, что она является величиной экстенсивной. Тогда сразу можно записать [c.38]

Уравнение (1.64) известно как уравнение Гиббса — Дю-гема [7, 18] и является новым характеристическим уравнением. Оно очень необычно в том отношении, что содержит вариации интенсивных переменных Т, Р, а в качестве коэффициентов перед ними стоят экстенсивные [c.38]

В зависимости от характера корней характеристического уравнения в распределенной системе также могут возникнуть стационарное, но пространственно неоднородное распределение концентрации — так называемая бифуркация Тьюринга, или предельный цикл, зависящий от распределения реагентов по координате и порождающий автоволновые процессы [4, 8—П]. [c.38]

Величины Pn являются корнями характеристического уравнения [c.140]

Залгетим, что новое характеристическое уравнение (в данном случае уравнение Гиббса — Дюгема) было получено исходя из потенциала Гиббса. И это — единственная возможность. Использование других потенциалов не приводит к связям типа (1.64), (1.65). Действительно, [c.39]

A ). В дальнейшем для системы (3.91) решается задача на собственные значения и аналитически находятся корни характеристического уравнения aik — = О, где б — дельта-функция Кронеккера. Если все корни [c.178]

Исходное состояние устойчиво, если корни характеристического уравнения (1.31) действительны и отрицательны (А1<0, Я,2<0) или отрицательна действительная часть комплексно со-пряженныхкор11ей ЩеХКО). ПрнА,1>0 и Аг>0 или еА,>0 состояние точечной системы неустойчиво, и возможен переход в новое стационарное состояние. [c.32]

В сильнонеравновесных системах возможно возникновение не только триггерного, но и осциллирующего режима с незатухающими периодическими изменениями концентрации. В кинетических системах, где наряду с угнетением происходит активация или торможение процесса продуктом реакции, скорость Т г является функцией концентрации не только исходного реагента, но и продукта. В этих условиях возможно возникновение различных структур, в том числе концентрационных автоколебаний [4] тип структуры может быть определен на основе анализа устойчивости. Неустойчивое состояние типа седло [корни характеристического уравнения (1.31) вещественны и различных знаков ] приводит к возникновению в системе триггерного режима. Неустойчивость типа фокус появляется при комплексно-сопряженных корнях уравнения (1.31) в этом случае в точечной системе возникает предельный цикл, когда любая точка фазовой диаграммы приближается к одной и той же периодической траектории [8, 11]. [c.37]