Точечные системы

Изменение состояния точечной системы, т. е. достаточно малой области внутри мембраны, описывается следующими уравнениями [c.31]

Точка в координатной плоскости х. у соответствует определенному состоянию точечной системы совокупность точек на этой плоскости принято называть фазовой траекторией, характеризующей процесс изменения состояния точечной кинетической системы. Следует отметить, что при определенных значениях параметра распределенная мембранная система сводится к точечной — обычно это соответствует условию, когда скорости диффузии значительны по сравнению со скоростью химических превращений (О/Р оо). [c.31]

Рассмотрим устойчивость точечной системы, понимая под ней малую область мембраны или же целиком мембрану при 01Р- оо. Аналитический метод исследования устойчивости по Ляпунову основан на получении и анализе совокупности уравнений для возмущений, выводящих систему из устойчивого стационарного состояния. Представим параметры системы в возмущенном состоянии в виде х=х-]- и у = у- -ц (где и г] — отклонения независимых переменных от их значений в устойчивом стационаром состоянии ж и у). В таком случае исходную систему уравнений (1.28) можно представить в виде линеаризированной системы [c.31]

Рассмотрим возможные переходы мембранной точечной системы в новые состояния. Допустим, что система находится в стационарном состоянии типа устойчивый узел, в котором значения концентрации реагентов и управляющего параметра равны соответственно х, у и ао- Внесем возмущение, постепенно увеличивая а при этом, очевидно, будут меняться значения х и у и смещаться точка стационарного состояния. Кинетическая модель такой системы описывается уравнениями [4] [c.33]

Для практических расчетов удобнее использовать несколько иной подход для вычисления диссипативной функции, рассматривая мембрану как одномерную систему с распределенными по ее поверхности параметрами, в сечении мембрана предстанет как точечная система с конечным значением перепада параметров (см. главу 1). В этом случае диссипативная функция характеризует локальное рассеяние свободной энергии, отнесенное к единице поверхности мембраны, ее вычисляют по уравнению [c.242]

Широкое промышленное распространение имеет точечная система циркуляции ванны. [c.182]

Машина (рис. 169) одноэтажная, двусторонняя с проходом в средней части для обслуживания приводных механизмов. Формование волокна ведется в общих желобах У с точечной системой циркуляции осадительной ванны. Дозирующие насосы 2 с подачей 40 см /об установлены стационарно. [c.222]

При точечной системе раствор подается в ванну из общего трубопровода через несколько радиальных отверстий в каждой секции машины. [c.202]

Описанный практический прием анализа точечной системы векторного пространства получил название метода наложения со смещением или [c.487]

Динамические системы, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений типа (1.1.1), называются точечными системами. Это означает. [c.19]

До сих пор мы рассматривали так называемые точечные системы, в которых изменения переменных во времени происходят одинаково во всех точках пространства, занимаемого системой. Такой подход оправдан в основном для гомогенных объектов, где к тому же параметры (плотность вещества, температура) одинаковы в разных точках. Этим требованиям, например, соответствует культура микроорганизмов в непрерывном культиваторе полного перемешивания. Однако, в реальных системах (биологических и химических) необходимо учитывать их пространственную неоднородность, что должно найти свое отражение в соответствующих математических моделях. [c.83]

Распределенная система (1У.2.1) может быть сведена к точечной системе [c.88]

Ясно, что стационарные решения точечной системы не зависят от г и удовлетворяют уравнению (IV. 2.7), т. е. являются одновременно стационарными решениями распределенной системы, однородными по пространству. Однако в распределенной системе могут быть и стационарные, неоднородные по пространству решения, найти которые значительно сложнее. Исследование вопроса устойчивости стационарных решений аналогично исследованию на устойчивость стационарных решений точечной системы. с(г) является устойчивым стационарным распределением концентраций вдоль координаты г, если решение 5(i, г) возмуш енной системы, в которой в начальный момент времени при i = О взято возмуш енное распределение концентраций с(0, г) = с(г) -Ь 5(0, г) будет при i > О мало отличаться от стационарного решения, т. е. 5(i, г) с[г). Как правило, исследование устойчивости стационарного решения можно провести на основе анализа системы уравнений, линеаризованных вблизи особой точки. Рассмотрим вопрос об устойчивости однородных в пространстве решений, ограничиваясь уравнением с одной переменной и принимая для краткости, что = 1 [c.92]

Фазовые портреты точечной системы изображены на рис. 1У.6. [c.97]

Это точечная система. Если система распределенная, т. е. наряду с химическими реакциями имеется диффузия, то в ней могут возникать автоволновые процессы. [c.102]

Хотя название нашей новой книги носит самый общий характер, мы старались ограничить круг излагаемых вопросов, в основном исходи из следующих двух принципов. Во-первых, мы предприняли попытку изложить общие основы биофизической кинетики как в точечных системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и в распределенных системах, описываемых уравнениями параболического типа. Во-вторых, многие конкретные задачи, которые рассматриваются в книге, связаны с результатами, полученными авторами. [c.5]

В предыдущих главах мы имели дело с точечными системами. При этом подразумевалось, что перемешивание или диффузия приводят к синфазности всех процессов в объеме, занимаемом системой. На самом деле, любой живой объект — будь то комплекс взаимодействующих молекул, ткань, состоящая из совокупности клеток, или биоценоз — является распределенной системой, в которой возмущения распространяются с определенной скоростью. Если скорости взаимодействий, проницаемость мембран и другие параметры не зависят от координат, то система будет однородной. Если же параметры системы зависят от координат, например, вследствие различной освещенности, наличия градиентов температуры, то математические модели таких систем также содержат коэффициенты, зависящие от координат. [c.158]

Анализ математической модели типа (8.1) обычно начинается с определения ее стационарных и однородных в пространстве решений и исследования их устойчивости. Если система (8.1) однородна, то диффузионные члены равны нулю и значения ее переменных равны координатам особой точки соответствующей точечной системы [c.160]

При й=0 мъз приходим к случаю точечной системы. [c.161]

При А=0 ( 1=сх ) имеем синхронные нарастающие колебания по всей длине реактора с частотой, соответствующей точечной системе. При конечных величинах X имеется затухание за счет диффузии. Величина [c.164]

Будем считать, для простоты, что связь в пространстве осуществляется только за счет быстрой переменной х, система (9.11) безразмерна, масштабы характерных времен таковы, что е< 1, а X Vi у ь области их изменения имеют одинаковые по порядку максимальные значения. Топология фазового портрета системы (9.11) показана на рис. 9.3. Нуль-изоклина у)=0 представляет собой S-образную зависимость х у). Нуль-изоклина Q x, г/)=0 может по-разному пересекать кривую х у).В точечной системе, соответствующей системе (9.11), в случае I осуществляется ждущий режим, в случае II — триггерный режим, а в случае III — автоколебательный режим. [c.177]

Если положить б (г) и v(r) константами, а =ii=0, то (10.1) совпадает по форме с базовой моделью (8.10). Одна из изоклин соответствующей ей точечной системы S-образна, а другая (i/=0) пересекает ее так, что уравнения допускают автоколебательные решения (см. рис. 9.3) ). Если при этом v 6, то соответствующая точечная система близка к порогу самовозбуждения и описывает почти гармонические автоколебания при 6 v модель дает релаксационные автоколебания. [c.193]

Заметим, что на рис. 9.3 медленной переменной является у, а быстрой , или автокаталитической,—х,тогда как в точечной системе, соответствующей (10.1), X к у имеют противоположный смысл. [c.193]

II. Вблизи рассматриваемого стационарного состояния все характеристические числа точечной системы отрицательны и велики (порядка единицы). [c.224]

Область, где условия I—П1 выполняются, в биофизике достаточно широка. В полной модели (если таковую можно построить) участвует много как специфических, так и неспецифических метаболитов. Их коэффициенты диффузии, как уже упоминалось в начале параграфа, существенно различны, поэтому условие I представляется естественным. Условие П1 предполагает, что автокатализ возникает в системе специфических метаболитов. Условие П является просто условием устойчивости точечной системы и всегда используется в теории контрастных ДС. [c.225]

Исходное состояние устойчиво, если корни характеристического уравнения (1.31) действительны и отрицательны (А1<0, Я,2<0) или отрицательна действительная часть комплексно со-пряженныхкор11ей ЩеХКО). ПрнА,1>0 и Аг>0 или еА,>0 состояние точечной системы неустойчиво, и возможен переход в новое стационарное состояние. [c.32]

В сильнонеравновесных системах возможно возникновение не только триггерного, но и осциллирующего режима с незатухающими периодическими изменениями концентрации. В кинетических системах, где наряду с угнетением происходит активация или торможение процесса продуктом реакции, скорость Т г является функцией концентрации не только исходного реагента, но и продукта. В этих условиях возможно возникновение различных структур, в том числе концентрационных автоколебаний [4] тип структуры может быть определен на основе анализа устойчивости. Неустойчивое состояние типа седло [корни характеристического уравнения (1.31) вещественны и различных знаков ] приводит к возникновению в системе триггерного режима. Неустойчивость типа фокус появляется при комплексно-сопряженных корнях уравнения (1.31) в этом случае в точечной системе возникает предельный цикл, когда любая точка фазовой диаграммы приближается к одной и той же периодической траектории [8, 11]. [c.37]

Оценим величину 25 нк, используя условное представление диффузионного погранслоя как точечной системы со значениями состава газа на границах 5, и Х/, Допустим, что рассеяние свободной энергии происходит только за счет необратимости диффузии компонентов газовой смеси, тогда диссипативная функция, отнесенная к единичной поверхности мембраны, равна [c.257]

Такие сравнения, при которых учитывается еще и деформация, не только устраняют ту жесткость, которая была приписана конфигурации точек или частиц, как таковой, но они указывают также на возможно1Ьъ классификации и на взаимозависимости, которые уже тщателадо разработаны и могут применяться к всевозможным мыслимым и осуществимым типам расположения частиц. Они говорят о влияниях деформации и замещений. При заданном числе сортов точек и частиц можно вполне строго вывести все различные возможности расположения, представить их в виде однородной схемы и охарактеризовать на основании научных принципов. Для заданной точечной системы можно без труда найти наиболее симметричную конфигурацию или классифицировать различные конфигурации по степени симметрии. Уже сами слова де< рмация , замещение , вывод возможностей расположения показывают, что разработанные геометрические представления могут быть переведены на язык химика. И наоборот, от химика требуется, чтобы он свои структурные модели описывал в соответствии со строгими основоположениями учения о симметрии, так как только этим путем создается возможность полностью учесть все те химические или [c.18]

Точечные системы в цепных группах, как и в группах точечных симметрий, могут образовать однотраметртеские езацмозаеиси- мости, которые, однако, в этом случае простираются бесконечно. Это действительно, например, для точек с условием симметрии Са (рис. 47а), помеченных большими кружками и образующих ряд точек с промежутком т это, однако, не действительно для представленн1 х 4 точек общего положения, которые отчетливо распадаются на отдельные структурные группы. Если учесть новые изложенные факты, то понятия и концепции, разработанные для точечных групп симметрии, можно непосредственно перенести на новые цепные группы. Формулы симметрии будут даны в общей сводке в разделе Д этой главы. [c.68]

Если только с>а (рис. 69), то та же последовательность сохраняется и для Ьростран-ственнон точечной системы. Следующим шагом будет связывание всех N2 через промежутки с в пространственную решетку О ", Если с —а, то точки Р непосредственно образуют однопараметрическое решетчатое объединение О — кубическую решетку (рис.- 70). При с<а, но с>2г — йр , Р образуют цепные объединения по оси с, так как йр > с. Обра-г зуются цепи К . Последним шагом является связывание этих цепей [c.97]

При переходе к двухмерным и трехмерным точечным системам возможности образования гомометрических пар возрастают. Один из приме- [c.497]

Оказалось, что ДС в (IV.2.13) возникают, если стационарное состояние соответствующей точечной системы является устойчивым фокусом, а для распределенной системы имеется интервал значений к, где Repi 2 обладает разными знаками (область II значений к" ), т. е. имеется неустойчивость седлового типа. [c.95]

Фазовые портреты точечной системы брюсселятор . I — при В > [1 + А )] II — при в < 1 + А ) [c.97]

В этой области значений волнового числа возможны периодические в пространстве и не зависящие от времени решения, соответствующие появлению диссипативных структур. Для возникновения диссипативных структур необходимо, чтобы коэффициенты и Dy были существенно различны, а параметры и S не слишком далеки от своих бифуркационных значений. Если скорости диффузии очень велики, то неустойчивость возникает при больших Х = (1/А)[О ОуУ/ , так что практически система остается однородной. Если в точечной системе брюсселятора возмущения нарастают колебательно и рост амплитуды этих колебаний ограничивается предельным циклом, то распределенная система имеет неустойчивость колебательного типа. В этом случае рост возмущений в распределенной системе (IV.2.17) может также привести к устойчивому во времени и неоднородному по пространству распределению концентраций веществ хну. Как и в случае неустойчивости седлового типа, рост возмущений ограничивают диссипативные процессы в системе, которые описываются нелинейными членами в уравнениях химических реакций (отсюда название — диссипативные структуры). Кроме того, в такой системе могут возникнуть автоволновые процессы типа стоячей и бегущей волны. [c.98]

В настоящей главе мы дадим общий вид уравнений, которые служат математическими моделями в биологической кинетике. Эти модели распадаются на два класса. Первому классу, точечным системам , представл5Пощим собой уравнения в обыкновенных производных, посвящена первая часть монографии. Второму классу, распределенным системам , представляющим собой уравнения в частных производных, посвящена вторая часть книги. Безусловно, все процессы в живых организмах или в сообществах живых объектов разворачиваются как во времени, так и в пространстве. Поэтому наиболее адекватные модели этих процессов являются системами уравнений в частных производных. Однако, как это будет показано ниже, в очень большом числе случаев можно считать, что во всех частях рассматриваемого объема процессы синхронны и, следовательно, зависимость от координат отсутствует. [c.7]

Как будет показано ниже, выражение (8.11) помогает при классификации АВ-систем. Так, зная фазовый портрет точечной системы (8.10), параметры 0, для каждой из особых точек фазовой плоскости и коэффициенты диф4узии и можно сказать, к какому классу относится данная модель второго порядка. [c.162]

Стационарное состояние точечной системы имеет координаты лго=Л и уа=В/А оно является устойчивым фокусом при В<. +А . Бифуркация Тюринга в распределенной системе имеет место при [c.229]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология