Фазовая точка

Это означает, что плотность вероятности р (р, д) является постоянной величиной вдоль фазовых траекторий и не зависит от непрерывно изменяющихся значений импульсов и координат р и д,,, если последние изменяются в соответствии с уравнениями движения. Если в фазовом пространстве выделить некоторый объем ДГ, заключающий некоторое число фазовых точек, то через определенный период времени эти точки займут новые положения. Однако по теореме Лиувилля этим точкам будет отвечать объем ДГ, равный прежней величине ДГ. Поэтому говорят о сохранении фазового объема при движении систем, принадлежащих ансамблю Гиббса, хотя прн таком движении всегда происходит деформация объема ДГ. Сказанное совсем не означает, что плотность вероятности — величина постоянная [c.195]

Микросостояние системы удобно изображать точкой в 2/-мерном евклидовом пространстве, построив 21 осей и откладывая на них значения координат и импульсов. Это пространство называется фазовым пространством, а точка, изображающая микросостояние, —фазовой точкой. С течением времени состояние системы будет изменяться, и фазовая точка будет описывать в фазовом пространстве линию, которая называется фазовой траекторией. Движение частиц происходит в обычном пространстве, а фазовое пространство применяется для графического изображения микросостояния системы. [c.286]

Для систем, изучаемых в статистической термодинамике, фазовое пространство имеет очень большое число измерений. Так, для одного моля одноатомного газа, состояние которого определяется ЗЛ д координатами и ЗЛ/д импульсами, фазовое пространство будет иметь бЛ д, т. е. - 36 10 измерений. Естественно, что для таких систем нельзя ни определить экспериментально положение фазовой точки (микросостояние) в данный момент времени, ни проинтегрировать дифференциальные уравнения механики. Это и вызывает необходимость применения особых методов статистической механики, которые заключаются в рассмотрении множества микросостояний, совместимых с заданными внешними условиями, и вычислении по этому множеству средних значений физических величин. [c.286]

Рис. 4. Критические (фазовые) точки перехода нефтяных систем нз одного состояния в другое, в зависимости от температуры.

В интервале 1 — te система одновариантна, т. е. произвольным изменениям можно подвергнуть либо температуру, либо концентрацию. Если, например, при заданном давлении фиксирована температура, то тем самым определена и концентрация насыщенного раствора (которую, в частности, для идеального раствора можно найти по уравнению Шредера). Этот вывод справедлив по отношению к любым системам, фигуративные точки которых лежат под кривыми ае и Ье. Надо при этом иметь в виду, что любая точка, отвечающая гетерогенным системам (например, точка Шг), не имеет физического смысла (одна. точка не может характеризовать две фазы, отличающиеся по составу), т. е. является не фазовой точкой, а точкой системы. Система, характеризуемая точкой е, безвариантна при заданном давлении ни температура, ни концентрация не могут быть изменены. [c.261]

Для солевых растворов практический интерес представляет также-процесс изотермического испарения. Будем испарять рассол, характеризующийся точкой Р. При концентрации, отвечающей точке I, он станет насыщенным и после отвода 6Q тепла появится кристаллик соли (точка 5). Так как концентрация насыш,енного раствора при данном давлении согласно правилу фаз определяется только температурой, дальнейшее испарение не вызовет изменения состава раствора, т. е. положения точки /. На пути Р[ 1 точки системы совпадают с фазовыми точками начиная с точки /, они будут перемещаться вдоль прямой 1а, в то время как фазовые точки (/ и з) останутся на месте. Соотношения между количествами фаз определяются по правилу рычага. Так, в системе, суммарный состав которой выражается точкой т,, твердой фазы будет примерно вдвое больше, чем жидкой, а количество испарившейся воды определится из соотношения [c.263]

Между обеими кривыми расположена область сосуществования жидкости и пара (влажный пар). Состав равновесных фаз определяется пересечением данной изотермы с кривыми кипения и конденсации, а соотношение между этими фазами в гетерогенной области— по правилу рычага. Так, при нагревании жидкости I или при охлаждении пара V до температуры t первоначально гомогенная система превратится в гетерогенную (точка системы т) и распадется на жидкость (фазовая точка а) и пар (фазовая точка Ь) с соотношением [c.283]

Дальнейшее прибавление С приведет к сближению составов обоих слоев вместе с этим возрастет доля первого раствора. Так, когда будет прибавлено еще 50 г С, точка системы окажется в С2, а фазовые точки соответственно в оз и 2- На рис. 136 отмечены также точки, отвечающие составам системы и сопряженных растворов в тот момент, когда количество С в системе станет 150 г. [c.340]

Допустим, что изображающие точки совокупности одинаковых систем, которые различаются только по микросостояниям (ансамбли Гиббса), представляют системы, имеющие энергию в пределах от Е до Е+АЕ. Это значит, что точки находятся в энергетическом слое Г-пространства. Предположим также, что состояния систем, образующих ансамбль, ограничены условиями пространства, числа частиц и объема. Так как состояние каждой системы, вообще говоря, меняется, то в данный элемент объема Г некоторые фазовые точки входят, другие — выходят из него. [c.301]

Можно доказать теорему, согласно которой плотность фазовых точек сохраняет постоянство, т. е. точки движутся подобно частицам несжимаемой жидкости отсюда следует, что как бы ни изменялось состояние ансамбля изолированных систем, объем, занимаемый фазовыми точками совокупности систем, остается неизменным (теория Лиувилля). [c.301]

При изменении механического состояния системы фазовая точка движется в фазовом пространстве, описывая фазовую траекторию. В случае одномерного движения частицы фазовая траектория ее является кривой на плоскости. Примером может служить линейный гармонический осциллятор, фазовая траектория которого представляет эллипс (рис. II. 1). Уравнение этой траектории р /2т q / 2 /пт )=, где т — масса — энергия осциллятора ю = 2nv—циклическая частота v — частота полуоси эллипса a= 2mS ) и Ь = 2S пиа ) площадь, ограниченная эллипсом, составляет S = nab = /v. [c.75]

Число измерений фазового пространства равно удвоенному числу степеней свободы системы. Заданному механическому состоянию системы, фазе (заданными значениями д .....др, Ръ. .., рр) отвечает точка фазового пространства. Точку фазового пространства, изображающую состояние системы, будем для краткости называть фазовой точкой системы или изображающей точкой системы. [c.34]

Систему координат, в которой определяют пространственное положение частиц, для всех систем ансамбля выбирают аналогичным образом. Предположим, объектом изучения является газ, заключенный в сосуд объема V кубической формы. В качестве осей координат в реальном физическом пространстве, относительно которых определяется положение центров инерции молекул Х , У1, 2 (I = 1,. .., М), можем выбрать, например, три ребра куба. Аналогичным образом выбирают способ отсчета величин Жь г/,, 2г во всех системах ансамбля. Фазовые пространства всех систем ансамбля с заданным значением N могут быть наложены одно на другое так, что оси. .., др, р,, рр к область допустимых значений переменных совпадут. Состояния всех сис-стем ансамбля могут быть представлены фазовыми точками в одном и том же фазовом Г-пространстве состояние одной системы изобразится точкой, состояние ансамбля в целом в данный момент времени — роем точек. Если число систем ансамбля Е, то и число точек Ь. Если механические состояния двух систем совпадают с точностью до интервала ф с1д, то фазовые точки, изображающие состояния этих систем, располагаются в одном элементе объема йТ = йр д. [c.45]

Равенства (III.10) и (III.И) являются условием статистического равновесия ансамбля. Эти равенства равносильны утверждению, что плотность изображающих точек равновесного ансамбля для заданных р W q постоянна число фазовых точек в каждом элементе фазового объема не изменяется во времени 6L = 6L (р, q) —= 0. Предполагается, что ансамбль систем, находящихся в заданных условиях, с течением времени придет в состояние равновесия и установится распределение фазовых точек, согласующееся с условием (III.10). Это допущение, как и допущение о равенстве средних по времени и средних по ансамблю, может быть доказано строго лишь при изучении поведения во времени (т. е. при изучении фазовых траекторий) множества систем, имеющих различные начальные состояния. В 3 будут определены свойства, которыми должны обладать системы ансамбля, чтобы указанные выше допущения выполнялись. [c.48]

Выделим в фазовом пространстве элемент объема ДГ около точки с координатами р я q. Число фазовых точек в нем обозначим AL [c.49]

Механическое состояние каждой системы ансамбля изменяется в согласии с уравнениями движения, и фазовые точки движутся в энергетическом слое, описывая фазовые траектории. Одни точки входят в вы- [c.49]

Производная характеризует скорость изменения плотности фазовых точек при движении их по фазовым траекториям, т. е. изменение плотности в непосредственной окрестности произвольно выбранной движущейся фазовой точки. Из уравнений (П1.27) и (П1.29) вытекает следующее [c.52]

Вероятность того, что фазовая точка наугад выбранной частицы будет находиться в i-й ячейке, равна [c.112]

Вероятность того, что фазовая точка частицы попадет в некоторый элемент объема Ду, пропорциональна величине этого объема и определяется выражением [c.112]

При дальнейшем выпаривании состав системы будет характеризоваться точками, лежащими на продолжении луча испарения АР2. Они уже будут отвечать гетерогенным системам — смесям твердой С и насыщенного ею раствора. В соответствии с тем, что кристаллизация С вызовет обогащение раствора солью В, фазовая точка раствора будет перемещаться из Р2 в е, а точки системы — из Р2 в Pi. Состав системы изображается точкой пересечения прямой испарения с соответствующей соединительной линией, на перемещающемся конце которой лежит фазовая точка насыщенного раствора. Так, в тот момент, когда последняя достигнет Рз, состав системы изобразится точкой т, причем соотношение между количествами раствора и выпавшей соли будет равно mImPs, а соотношение между количествами испарившейся воды и оставшейся смеси — mPilPiA. [c.325]

Как только точка системы достигнет Р , а фазовая точка — эвтонической точки е, раствор станет насыщенным и солью В. После этого начнется одновременное осаждение обеих солей. Они будут кристаллизоваться в том же соотношении, в котором находятся в оставшемся растворе. (В этот момент количество раствора по отношению к количеству выпавшего С будет равно СРц1Р е.) Количество раствора е при неизменном его составе будет уменьшаться. Состав твердой массы будет изображаться точками, лежащими на прямой СВ. Если прекратить дальнейшее обезвоживание в тот момент, когда состав солевой смеси будет характеризоваться точкой R, т. е. соотношение между количеством выпавших солей станет равным RBj R, то точка системы окажется в Шь а доля твердой фазы выразится дробью т еЩе. [c.325]

Отметив на соответствующих ветвях бинодальной кривой точки, отвечающие концентрациям ацетона, укажем фазовые точки двух сопряженных растворов (точки А] и Ь ). Соединив эти точки отрезком прямой, получим конноду аф. Любая точка конноды, например точка с1, отвечает двухфазной системе, состоящей из тех же двух сопряженных растворов (О] и Ь ). При этом массы сопряженных растворов, в соответствии с правилом рычага, обратно пропорциональны расстояниям от фазовых точек этих растворов до точки системы (1 [c.211]

Это уравнение имеет очень простой физический смысл др1д1 может отличаться от нуля в окрестностях заданной точки с координатами ( 1. ...дзкт, р . ..рзит), если прн движении фазовых точек они накапливаются илн уходят нз элемента объема аГ, но сами точки не могут исчезать или возникать, как не могут появляться или исчезать отдельные системы в ансамбле. [c.195]

Теорема Лиувилля — результат приложения законов механики к описанию движения роя изображающих точек ансамбля изолированных систем или систем, находящихся в постоянном внешнем поле. Для каждой системы ансамбля число частиц N, энергия Е и все внешние параметры а ,. .., а, фиксированы. Обычно мы будем рассматривать только потенциал, создаваемый стенками сосуда, и учитывать только один внешний параметр — объем сосуда V. Таким образом, для системы ансамбля заданы параметры Е, N, V. При строгом условии Н (p,q) = Е = onst фазовые точки, изображающие состояния систем, движутся по гиперповерхности постоянной энергии, наблюдается распределение этих точек по поверхности. Чтобы иметь дело с объемным распределением, смягчим условие постоянства энергии и запишем его в виде [c.49]

Дбленный элемент объема А Г, другие — выХоДяТ из него, Так что число фазовых точек в этом элементе объема, вообще говоря, и"зменяется. Скорость изменения величины в данном элементе объема в данный момент времени найдем, продифференцировав выражение (111.16) по времени [c.50]

Найдем изменение во времени объема А Г, занимаемого AL точками, при движении точек пофазовым траекториям. Полагаем, что А Г — очень малый объем, так что внутри него плотность фазовых точек приближенно можем считать постоянной А = ЯАГ. Фиксируем границы фазового объема А Г таким образом, что в этом объеме находится заданное число точек AL, и следим за движением этого объема. Очевидно, [c.52]

Поскольку плотность фазовых точек связана с плотностью распределения вероятностей соотношением (III.8) Р = pL, где L = onst), то теорема Лиувилля определяет изменение р для произвольно выбранной системы ансамбля. Вместо уравнений (111.27), (111.28) и (III.30) можем записать [c.53]

Наиболее вероятное значение Е для системы канонического ансамбля характеризуется тем, что в энергетическом слое Е Н Е АЕ расположено наибольшее по сравнению с другими слоями число фазовых точек. Наличие максимума для числа фазовых точек в слое при некотором значении Е является результатом наложения двух противоположно изменяющихся факторов уменьшения плотности фазовых точек в фазовом пространстве с увеличением энергии (уменьшается число фазовых точек в элементе объема dpdq) и роста сим-батно с энергией величины dV (Е) = g (Е) dE — объема энергетического слоя толщины dE, отвечающего заданной энергии Е, [c.79]

Итак, для идеального газа можно пользоваться статистическим рас-пределе1шем в г-пространстве — фазовом пространстве одной молекулы. В настоящей главе речь будет идти исключительно о распределении в fi-пространстве и будут рассматриваться вероятности различных состояний одной частицы. Индекс частицы при микропараметрах и при обозначении вероятностей в дальнейшем будем опускать. Через р я q в настоящей главе будем обозначать координаты и импульсы частицы. Состояние газа из N частиц представится в .-пространстве роем точек. Плотность фазовых точек п р, q) в заданном элементе объема, по определению, есть [c.89]

Принцип равной вероятности простых состояний является аналогом сформулированного в классической теории принципа равной вероятности равных элементов фазового объема, отвечающих одной и той же энергии. Аналогия становится наглядной при квазиклассическом рассмотрении, когда каждому квантовому состоянию системы мы сопоставляем ячейку объема в фазовом пространстве. Если в энергетическом слое р = onst, то фазовая точка с равной вероятностью может оказаться в любой из ячеек равного объема внутри слоя, что и будет означать равную вероятность квантовых состояний с заданной энергией. [c.163]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология