Фокус

Рис. 1-2. Фазовые траектории динамической системы второго порядка в окрестности фокуса.

Положение равновесия называется фокусом. Вид фазовой плоскости в окрестности фокуса показан на рис. 1-2. Все фазо- [c.30]

Если а > О и соответственно а < О, то с ростом т изображающие точки удаляются от положения равновесия положение равновесия будет неустойчивым фокусом. [c.31]

Если а < О и, следовательно, о > О, то с ростом т изображающие точки приближаются к положению равновесия (как на рис. 1-2), стремясь к нему при т- оо. Положение равновесия будет устойчивым фокусом. [c.31]

Рассмотрение осциллограмм л и у показывает, что когда изображающая точка приближается к устойчивому фокусу, в системе происходят затухающие колебания. В случае устойчивого узла процесс приближения к положению равновесия будет апериодическим. [c.31]

Если фокус неустойчив, то при удалении от него изображающей точки в системе происходят нарастающие колебания. Отсюда, однако, не следует делать вывод о том, что при наличии неустойчивого фокуса система входит в колебательный режим. Исследование типа и устойчивости положения равновесия дает нам информацию о поведении системы внутри достаточно малой области, окружающей положение равновесия, но ничего не говорит о поведении [c.31]

Вид фазовой плоскости в окрестности сложного фокуса ничем не отличается от изображенного на рис. 1-2. [c.32]

Второй случай. Один из корней характеристического уравнения действительный, а два других — комплексные сопряженные числа, причем знак их действительной части совпадает со знаком действительного корня положение равновесия называется фокусом (рис. 1-7). Через положение равновесия проходит поверхность, расположение фазовых траекторий на которой такое же, как в окрестности фокуса на фазовой плоскости двумерных систем. О прочих фазовых траекториях можно сказать следующее две из них, расположенные по разные стороны от вышеупомянутой поверхности, стремятся к положению равновесия с определенной общей касательной, все остальные являются спиралями. [c.35]

При ЭТОМ положение равновесия будет устойчивым фокусом. Стрелки на фазовых траекториях рис. 1-7 соответствуют устойчивому фокусу. [c.35]

Отметин общую черту узла и фокуса, заключающуюся в том, что всякая траектория, попавшая в достаточно малую окрестность положения равновесия, стремится к нему (при т— -Ьоо, [c.35]

В этом случае положение равновесия называется седло — фокус (рис. 1-9) через него проходит сепаратрисная поверх- [c.36]

Рис. 1-9 соответствует такому расположению фазовых траекторий, при котором на сепаратрисной поверхности имеется устойчивый фокус, а сепаратрисы являются линиями, выходящими из седла — фокуса. [c.37]

Поскольку через положение равновесия проходит интегральная прямая и фазовые траектории не могут пересекаться, положение равновесия не может быть фокусом. [c.71]

Так как через исследуемую точку проходит интегральная прямая у = О, то эта точка не может быть фокусом. [c.73]

Таким образом, положение равновесия является узлом или фокусом. Его устойчивость зависит от знака о используя выражения для Оц и Й22, полу- [c.74]

Если положение равновесия единственное, то оно является узлом или фокусом, устойчивым или неустойчивым. При наличии трех положений равновесия среднее из них будет седлом, а два других — узлами или фокусами, каждый из которых может быть как устойчивым, так и неустойчивым. [c.78]

Рассматривая рис. 111-12, можно убедиться, что индекс Пуанкаре для узла (рис. 111-12, а) и для фокуса (рис. 111-12,6) равен +1 для седла (рис. 111-12, в) индекс равен —1. [c.79]

Следствие 3. Если внутри замкнутой фазовой траектории находятся только простые положения равновесия, то их число всегда нечетное, причем число седел на единицу меньше числа узлов и фокусов. [c.80]

Химические реакторы непрерывного действия, описываемые обобщенной моделью (при соблюдении сформулированных выше условий), могут иметь лишь нечетное число стационарных состояний (простых положений равновесия). При этом число седел всегда на единицу меньше числа узлов и фокусов. [c.83]

Области 1 и 2 соответствуют одному положению равновесия типа узел или фокус в области 1 это положение равновесия устойчиво, в области 2 — неустойчиво. [c.98]

Если система обладает тремя положениями равновесия, то среднее из них —седло, а два других —узлы или фокусы. [c.99]

Нетрудно убедиться в том, что исследуемая модель, так же как и ряд других моделей, рассмотренных в этой главе, является частным случаем обобщенной модели (111,30) реактора непрерывного действия. Это приводит нас к выводу о том. что если положение равновесия — единственное, то оно является узлом или фокусом. Вывод же, относящийся к случаю нескольких положений равновесия, можно сформулировать так. [c.106]

Области 1 к 2 соответствуют одному положению равновесия типа узел или фокус / — устойчивому, 2 —неустойчивому. Области 3—6 соответствуют трем положениям равновесия пронумеруем их в порядке возрастания ординаты. Среднее из них, т. е. 2-е, как было показано выше, является седлом. В области 3 1-е и 3-е положения равновесия устойчивы, в области 5 —неустойчивы. В области 4 устойчиво 1-е положение равновесия и неустойчиво 3-е, в области 6 устойчиво 3-е и неустойчиво 1-е положение. [c.109]

Особые траектории разделяют всю фазовую плоскость на отдельные области — ячейки, заполненные неособыми траекториями, характер поведения которых одинаков. Каждая ячейка грубой динамической системы содержит элемент притяжения— устойчивый узел (фокус) или устойчивый предельный цикл, к которому стремятся все фазовые траектории, заключенные в данной ячейке. Иными словами, каждая ячейка является областью притяжения или областью устойчивости в большом (в общем случае частью такой области) для какого-либо положения равновесия или предельного цикла. [c.122]

Как было показано А, А. Андроновым , математическим образом автоколебаний на фазовой плоскости являются предельные циклы — изолированные замкнутые фазовые траектории, к которым изнутри и снаружи приближаются фазовые траектории, имеющие форму спиралей. Такие предельные циклы называются устойчивыми. На рис. 1У-7 изображен устойчивый предельный цикл, охватывающий неустойчивое положение равновесия типа фокуса. [c.134]

Если система обладает единственным неустойчивым положением равновесия типа узла или фокуса, а бесконечность неустойчива или существует цикл без контакта, охватывающий положение равновесия и притом такой, что все фазовые траектории входят в ограниченную циклом область, то положение равновесия окружено по крайней мере одним устойчивым предельным циклом. [c.136]

Рождение предельного цикла из сложного фокуса [c.139]

Как было сказано в главе I, при а = О, Д > О положение равновесия является либо центром, либо сложным фокусом. Если осуществляется вторая возможность, то при переходе через бифуркационное значение параметра вокруг фокуса появляется предельный цикл или, наоборот, предельный цикл, окружавший положение равновесия, стягивается в него. [c.139]

Вернемся теперь к задаче 9.3. Ролик покрыт тонким и легко деформирующимся слоем электропроводного материала. Идеально было бы после каждого оборота — на ходу — снимать деформированный слой и наносить новый слой ровный, неде рмированный. Два противоположных действия, для выполнения которых нужен инверсный биэффект электролитическое растворение и электролитическое же осаждение (а. с. 872165). При решении этой задачи часто выходят на идею электролиза. И останавливаются перед психологическим барьером электролитическое осаждение металла на неровную поверхность только увеличит степень ее неровности. Весь фокус в том, что нужен эффект-антиэффект сначала удаление неровностей, потом нанесение нового слоя. [c.165]

В заключение приведем разбиение плоскости Л, а на области, соответствующие различным типам простых положений равнавесия (рис. 1-5). Из предыдущего явствует, что уравнение границы между узлами н фокусами имеет вид [c.33]

Согласно этой теореме, на любой из главных изоклин системы, имеющей только простые положения равновесия, чередуются положения равновесия, для которых Д<0 (седла), с положениями равновесия, для которых Д > О (узлы или фокусы). Теорема Пуанкаре справедлива, если изоклина Р(х,у) = = 0 [или Q(x,y) =0] не имеет особых точек, т. е. таких точек, в которых одновременно равны нулю обе частные производные дР/дх и дР/ду (или соответственно dQldx и dQ/dy). [c.67]

В разбиении плоскости Д, а (см. рис. 1-5) на области неиз-менТюй топологической структуры фазового портрета кроме прямой Д = О участвует полупрямая А > О, с = О, при переходе через которую происходит смена устойчивости фокуса. На плоскости других пара.метров ей соответствует кривая, уравнение которой может быть получено из условий а = О, Д > 0. [c.139]

Диффузия и теплопередача в химической кинетике (1987) -- [ c.434 ]

Устойчивость химических реакторов (1976) -- [ c.58 , c.72 ]

Пестициды и регуляторы роста растений (1995) -- [ c.195 ]

Диффузия и теплопередача в химической кинетике Издание 2 (1967) -- [ c.434 ]

Образование структур при необратимых процессах Введение в теорию диссипативных структур (1979) -- [ c.53 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология