Волновые функции зависимость от времени

Для описания свойств электрона используют волновую функцию, которую обозначают буквой (пси). Квадрат ее модуля вычисленный для определенного момента времени и определенной точки пространства, пропорционален вероятности обнаружить частицу в этой точке в указанное время. Величину 1)з называют плотностью вероятности. Наглядное представление о распределении электронной плотности атома дает функция радиального распределения. Такая функция служит мерой вероятности нахождения электрона в сферическом слое между расстояниями г и (л + с1г) от ядра. Объем, лежащий между двумя сферами, имеющими радиусы г и (г + йг), равен 4пг с1г, а вероятность нахождения электрона в этом элементарном объеме может быть представлена графически в виде зависимостей функции радиального распределения. На рис. 1.2 представлена функция вероятности для основного энергетического состояния электрона в атоме водорода. Плотность вероятности гр достигает максимального значения на некотором конечном расстоянии от ядра. При этом наиболее вероятное значение г для электрона атома водорода равно радиусу орбиты ао, соответствующей основному состоянию электрона в модели Бора. Различная плотность вероятности дает представление об электроне, как бы размазанном вокруг ядра в виде так называемого [c.13]

Химическая связь, как показали в свое время на примере молекулы водорода Гейтлер и Лондон, образуется за счет увеличения (но сравнению с невзаимодействующими атомами водорода, находянщмися на том же расстоянии, что и в молекуле) электронной плотности между атомами. Это увеличение в расчетах по методу МО учитывается с помощью так называемых интегралов перекрывания. Электроны в основном состоянии молекулы занимают орбитали с наи-низшей энергией. На каждой орбитали может находиться по два электрона с нротивополоншыми спинами. Здесь к этой общеизвестной школьной модели добавляется одна тонкость. Вследствие электростатического взаимодействия электроны отталкиваются, в результате чего даже два электрона, находящиеся на одной и той же молекулярной орбитали, имеют тенденцию двигаться по возможности на большем удалении друг от друга. Решение уравнения Шредингера для атома водорода облегчается тем, что единственный электрон 1 этого атома обладает сферической симметрией. В атоме гелия атомная орбиталь вследствие взаимного отталкивания двух электронов 1 уже не обладает сферической симметрией, и с этим связаны трудности в расчетах распределения электронной плотности в атоме гелия. Энергия корреляции движения электронов может достигать примерно 20% общей электронной энергии молекулы и в расчетах учитывается с помощью интегралов электрошого отталкивания . Кроме того, в молекуле существует еще конфигурационное взаимодействие — взаимодействие между самими молекулярными орбиталями. Волновая функция, учитывающая конфигурационное взаимодействие, аналогична по своей записи уравнению для волновой функции, приведенному в 1 этой главы, однако вместо <рг волновых функций атомных орбиталей в ее выражение входят Ф, — волновые функции атомных или молекулярных конфигураций . Под конфигурацией понимается способ распределения электронов по атомным (в атоме) или молекулярным орбиталям (в молекуле). Поясним это понятие на простом примере атома лития, имеющего 1 и электрона. В зависимости от того, находится ли атом в основном или в возбужденном состоянии, электроны по-разному располагаются на двух орбиталях 1 22х и 1 2 2. Таким образом, полная волновая функция, учитывающая конфигурационное взаимодействие, для атома лития будет иметь вид [c.91]

Резкое расширение в последнее время интереса к соединениям тяжелых элементов ставит неотъемлемой задачей учет релятивизма. Наиболее совершенные релятивистские методы основываются на релятивистском аналоге уравнения Шредингера — уравнении Дирака. Главное отличие этих уравнений заключается в том, что оператор релятивистской одноэлектронной кинетической энергии, учитывая зависимость массы электрона от его скорости, совершенно отличается от соответствующего нерелятивистского оператора. При этом гамильтониан Дирака содержит матрицы четвертого порядка в отличие от скалярного вида гамильтониана Шредингера. Решение уравнения Дирака является четырехкомпонентным вектором, называемым четырехкомпонентным спинором. Спинорная природа волновых функций приводит к тому, что в определенных состояниях, например, р"-спин-орбиталь может смешиваться с р - или р -спин-орбиталями. Это вызывает смешение электронных состояний различных симметрии и спина. [c.87]

Если сопоставить уравнение (1.64) с ур нением (1.32), вытекающим из теории Гейзенберга, то можно убедиться, что в подходе Гейзенберга зависимость от времени приписывается самой наблюдаемой величине, в то время как в подходе Шредингера эта зависимость приписывается волновой функции. [c.23]

При записи уравнения в форме (61,1) время выделено явно и основным оператором является оператор Гамильтона Нв- Такая форма записи называется гамильтоновой формой. Она особенно удобна при исследовании стационарных состояний квантовых систем. В стационарных состояниях зависимость волновой функции от времени выражается формулой [c.266]

В соответствии с соотношением неопределенности для получения точно определенных значений Е необходимо, чтобы // и о] не зависели от времени. Такие состояния с неизменной энергией называются стационарными состояниями. Выше была приведена запись волнового уравнения для стационарного состояния. Решение этого уравнения именуется стационарной волновой функцией Она представляет собой зависимость от пространственных координат. всех электронов и в то же время не зависит от времени. Поэтому гр не содержит информации [c.29]

Для некоторых переходов в одновалентных атомах лития и натрия расчеты сил осцилляторов и вероятностей переходов проделаны ) с применением волновых функций, полученных численным интегрированием уравнений самосогласованного поля с обменом. Сравнение результатов расчета с опытом показывает большие расхождения в абсолютных значениях сравниваемых величин. Относительный ход вероятностей переходов вдоль серий линий теория предсказывает достаточно хорошо. Интересно, например, что зависимость вероятности переходов от квантового числа п в главной серии лития пр—>-2sV, в отличие от всех остальных щелочных атомов, имеет немонотонный ход 2). Оказалось, что вычисление с применением табличных функций самосогласованного поля с обменом приводит к точно такому же относительному ходу зависимости вероятности перехода от п для лития, в то время как применение функций самосогласованного поля без обмена не дает максимума на кривой указанной зависимости. Для натрия же в согласии с опытом теория предсказывает монотонную кривую. [c.426]

В табл. 3 [28] показано, насколько велика зависимость относительных интенсивностей от /гv. Рост относительной интенсивности второго уровня 2 по сравнению с первым уровнем 2 для спектров Не (II) молекул СО и N2 отражает, в частности, рост сечений ионизации 25-электронов по сравнению с сечением ионизации 2р-электронов. Как отмечалось в работе [29], в настоящее время расчет относительных интенсивностей для данного /IV еще недостаточно точен, чтобы на этом основании проводить интерпретацию спектров, однако зависимость относительных интенсивностей от /IV удовлетворительно передается теорией. Тем самым, экспериментальное и теоретическое изучение тенденции изменения относительных интенсивностей в зависимости от /IV позволяет получить дополнительные сведения о характере волновой функции изучаемого уровня. Вопрос об относительных интенсивностях фотоэлектронных спектров соединений с открытыми оболочками рассмотрен в работах [32—34]. [c.18]

Очевидно также, что картина электрона в стационарном состоянии (т. е. квантованный энергетический уровень) резко отлична от нашей обычной картины движущегося тела, в том смысле, что существует вероятность нахождения электрона в различных точках, расположенных на протяжении пути от одной стенки ящика до другой, и согласно которой движение электрона вообще не выявляется при рассмотрении самих волн. Однако можно воспроизвести кажущееся движение электрона с помощью волн, и мы кратко наметим способ, каким это может быть сделано. Как было отмечено выше, для наших целей обычно можно пренебречь зависимостью волновой функции от времени, но для описания движущегося электрона необходимо принимать во внимание эту зависимость. Не входя в детали, мы можем отметить, что это осуществляется умножением на рд — энергия состояния nkl, t — время и i = V . Согласно хорошо известной теореме теории функций [4], [c.51]

X еще остается решением волнового уравнения для системы, и если х не должно изменяться при перемене мест электронами 1 и 2, то сама % во время этой операции должна умножаться или на +1, или на —1. В случае электронов требуется умножение на —1, и поэтому, чтобы удовлетворить этот принцип антисимметрии, X должна изменять знак всякий раз, когда координаты электронов взаимно меняются. Следовательно, или пространственная часть, или спиновая часть функции х должна быть антисимметричной по отношению к электронному обмену, но не обе части одновременно. Рассмотрим сначала пространственную часть. Имеются две возможные функции, или х-в зависимости от знака, который берется в уравнении (1.41). [c.32]

При больших концентрациях электронных спинов в растворах становятся важными обменные эффекты (для случая радикал-ради-кальных столкновений эти эффекты наблюдаются более часто) следовательно, появляется больше возможностей для перекрывания электронных волновых функций. Во время таких столкновений электростатическая энергия hJSl S2 может создать условия для спинового обмена между радикалами и состояние перейдет в ра этот эффект в зависимости от условий может привести либо к уширению, либо к сужению линий спектра ЭПР. В идеальном случае, когда отсутствуют сверхтонкое взаимодействие с ядрами и магнитное дипольное взаимодействие между различными электронными спинами, обмен не влияет на спектр ЭПР. Обмен между двумя электронными спинами не изменяет общего магнитного момента образца, который является величиной, измеряемой в ЭПР. Однако обменные силы приводят к тому, что электрон с определенным спином, например а, может быстро перейти от одной молекулы к другой. Эти силы влияют на усреднение электронного диполь-диполь-ного взаимодействия, которое в противном случае приводило бы к очень широкой линии. Этот эффект называют обменным сужением, он бывает очень существен в парамагнитных кристаллах. Например, радикал дифенилпикрилгидразил (ДФПГ) [c.261]

Данные методы, полученные с их помощью результаты и объяснения некоторых расхождений между численными результатами рассмотрены, например, Зауэром и Вудвордом [9]. Несколько ранее Будро [11] попытался непосредственно рассчитать полную (электронную) энергию (цепи ПЭ) в зависимости от формы атомов. С помощью своих расчетов молекулярных орбиталей методом самосогласованного поля (МО—ССП) он получил необходимый набор чисел, которые при использовании их в качестве коэффициентов расчета соответствующих атомных орбиталей позволяют оценить приближение к волновой функции и минимизировать полную энергию . Хан и др. [14] в настоящее время исследуют модель, в основе которой лежит упругое взаимодействие, по существу, жестких валентных 5р -орбиталей, имеющих выступы с четырех сторон (оболо-чечная модель). [c.127]

Рис. 9 отражает зависимость АжгМг от г. Как видно, электрон любой орбитали определенное время находится в области, близкой к ядру. При этом вероятность нахождения вблизи ядра при данном значении главного квантового числа для -электрона наибольшая, меньше — для р-электрона, еще меньше — для -электрона и т.д. Электронная плотность по орбиталям распределяется неравномерно. Нулевые положения на кривой называются узлами. Они отвечают изменению знака волновой функции (см. рис. 5). [c.26]

О возможных методах уточнения расчетов. Изложенные выше методы расчета основывались на приближении полного разделения электронных переменных. Естественно, напрашиваются два способа уточнения расчетов неполное разделение переменных и многоконфигурационное приближение. Как показывают специально проведенные расчеты, использование многоконфигурационного приближения в некоторых случаях может изменить величину / на несколько десятков процентов. Отказ от полного разделения переменных, т. е. учет зависимости волновой функции от также приводит к улучшению результатов ). К сожалению, оба метода требуют весьма трудоемких вычислений и поэтому вряд ли могут быть использованы в настоя1дее время для проведения систематических расчетов сил осцилляторов. [c.418]

В то время как измерением положений линий в спектре определяют расположение уровней энергии, измерения времен жизни возбужденных состояний молекул — удобный источник получения информации о силе осцилляторов молекулярных переходов и факторах Франка — Кондона. В некоторых случаях они помогают провести чувствительную проверку молекулярных волновых функций, а также их зависимости от межъ- [c.292]

Хотя на первый взгляд кажется, что существует различие между теориями Плачека и Олбрехта, в действительности это не так. Тензор поляризуемости связан с электронными волновыми функциями системы, а их зависимость от нормальных колебаний осуществляется косвенным путем (через зависимость от а), в то время как в модели вибронного взаимодействия Олбрехта эта зависимость выражается непосредственно. Вибронные волновые функции используются затем для получения выражения для элемента тензора рассеяния. Матричный элемент(ф(0) +, (От) Х [c.119]

В настоящее время еще недостаточно экспериментальных данных для установления детальной зависимости экспериментальных величин р от характера волновой функции уровня и энергии фотоэлектрона. На основе полученных данных возможно следующее обобщение [40]. Величина р для уровней соединений, содержащих элементы одной и той же группы периодической системы, больше для соединений тяжелых элементов. Обнаружены, в частности, следующие ряды роста Р Хе>Кг>Аг Л>Вг>С1>Р 5>0. Например, для уровней 1Ьи 2а1и1 2вН20 величины р равны 1,0, 0,3 —0,1, а для этих же уровней в НгЗ 1,6, 1,1, 0,9. В этой же работе [40] показано, что величина р обычно постоянна для всех максимумов колебательной структуры фотоэлектронной полосы, хотя в некоторых случаях, наблюдаются заметные изменения р. [c.20]

Сказанное означает, что соблвдение уравнения (I) дает в наше распоряжение как наиболее точные, с точки зрения вычисляемых энергий, одноэлектронные волновые функции ддя мно-гоэлектронных атомов, так и значения потенциальной энергии соответствувщЕХ электронов в поле всех остальных электронов, размещенных до этого в соответствии с принципом построения. Одновременно дается зависимость этого потенциала от величины заряда ядра в то время, как константа экранирования в соответствии со своей физической сущностью, от заряда ядра не зависит и одноэлектронная водородоподобная волновая функция может быть записана в общем виде так, что заряд ядра вкшчен в нее в качестве переменной. [c.133]

Наиболее детальный анализ этого соотношения был сделан Эва>1сом и По.тяни 581], однако их вывод нельзя считать безупречным. Чтобы получить соотношение (10. 12), эти авторы постулируют, что теплота реакции и энергия активации линейно зависят от некоторого параметра %. Этот параметр по своему смыслу должен отражать особенности молекулярного взаимодействия в некотором ряду реакций в зависимости от структурных характеристик реагентов. Однако весьма сомнительно, чтобы в общем случае удалось найти параметр, который удовлетворял бы это.му требованию и в то же время имел столь простую связь с теплотой реакции и энергией активации. Если, например, в качестве параметра % выбрать значение потенциала поля в некоторой точке вблизи одной из молекул, то, поскольку в соответствующее волновое уравнение этот потенциал входит как функция координат, зависимость собственной энергии системы от X, вообще говоря, получится сложной. Получить при этом линейную связь между энергией и % можно было бы только в рамках теории возмущений. Излагаемый ниже вывод соотношения (10.12) по существу эквивалентен применению этого метода. [c.145]

Если в разделительную колонку с помощью системы с цилиндрическим поршнем (волновой генератор) вводить смесь газ-носитель — проба в режиме, соответствующем синусоидальной функции, выражающей зависимость концентрации от вре-мени, то для каждого компонента смеси будут получены коле-бания концентрации со сдвигом фаз, определяемым временем прохождения компонента в разделительной колонке. Частота для каждого компонента во время прохождения колонки сохраняется. Общий сигнал является результатом суммирования отдельных колебаний всех компонентов. [c.383]

Хьютмейкер и Голлаб [177] также изучали экспериментально различные режимы конвекции. Использовалась та же рабочая жидкость и круглый резервуар с Г = 14. Автоматическая обработка теневых изображений позволила детально исследовать поля локальных волновых векторов к(х) и функцию распределения волновых чисел f(k). В зависимости от относительной надкритичности s наблюдались режимы трех типов. Если < 0,2, то по крайней мере в течение времени 50гь наблюдается непериодическое движение, связанное с перестройками дефектов. При 0,2 < < 3,5 по истечении достаточного времени формируются стационарные сложные текстуры. При > 3,5 течение вновь оказывается нестационарным — время от времени в фокусах на наружной стенке образуются новые валы в центральной части резервуара валы, подвергаясь сжатию, образуют перетяжку и порождают пару дислокаций — при этом [c.106]

Эксперименты с образцами различной толщины подтвердили это предсказание [46] (рис. 5.3.11). При очень малых дх, флуктуации подавляются граничными эффектами и тг резко возрастает. При больших дх, становится линейной функцией по углу наклона этой функции может быть определено кп/ц. Как и следовало ожидать, этот коэффициент сравним с таким же коэффициенто.м для нематика (2-10 ед. СГС). Время релаксации Тс линейно убывает с уменьшением толщины образца, как и предсказывает соотношение (5.3.33), и зависимость волнового вектора дс от й меняется также в согласии с теорией. Измерения дают значение %, которое находится в разумном соответствии с значением, полученным из (5.3.15). [c.319]

Аналогия между гамильтоновой механикой и геометрической оптикой заключается в формальном тождестве между гамильтоновой характеристической функцией и эйконалом. Из этой связи следует, что волновая скорость и обратно пропорциональна импульсу р. Хотя эта аналогия первоначально использовалась, чтобы продемонстрировать связь между классической и волновой механикой см. [101), она также может быть использована, чтобы связать проекцию луча с импульсом. Это проиллюстрировано на рис. 1.6. Прямая линия обозначает луч, определенный как нормаль к фронту волны, а пунктирные линии обозначают фронт волны. Расстояние между фронтами равной фазы — длина волны X, пропорциональная скорости волны и. Из рисунка видно, что длина волны в направлении, отличном от направления распространения волны, меняется обратно пропорционально косинусу угла между ними, так что равно Я/созЭ. Если, однако, мы можем связать проекцию луча с импульсом, тогда проекция импульса р os 0 меняется в. зависимости от угла обратно пропорционально изменению скорости. Далее будет проведена параллель между механикой и геометрической оптикой и показано, что такую связь действительно можно осуществить. Тогда можно использовать в оптике все понятия преобразования фазового пространства. Применим также некоторые простые свойства оптических линз, соответствующие преобразованиям фазового пространства в динамических системах. Хотя будет использовано только несколько примеров из оптики, ясно, что вся теория, развитая в этой работе, годится для решения задач оптики. Методы динамики частиц в оптике будут очень тесно связаны с содержанием гл. 3, где динамические системы близки к оптическим. В статической электронной оптике, в которую время явно не входит, очень полезны оптические аналогии. [c.21]