Функционалы вариации

Поскольку вариация функционала есть главная линейная часть разности соответствующих величин, то [c.226]

Для решения задачи линейного программирования (4.3.12) — (4.3.14) в [64] применяется специальная итерационная процедура, нестандартность которой заключается в том, что она требует задания такого набора векторов, выпуклая комбинация которых хорошо аппроксимировала бы множество допустимых вариаций OU. Кроме того, необходимо задание ограничений на коэффициенты линейной комбинации, аппроксимирующей вариацию управления ou t), i T. Значения этих коэффициентов определяют также окрестность управления u t), t .T, в которой линеаризованная задача (4.3.9) — (4.3.11) является допустимым приближением исходной задачи, т. е. линейные члены разложения функционала остаются главными. [c.196]

В настоящее время не существует общего метода решения задач циклической оптимизации. Все используемые алгоритмы основаны на классических понятиях вариации функционала и модифи- [c.52]

Воспользовавшись формулами (87)—(89), приведенными на стр. 238, найдем выражение для вариации 6/цр и подставим его в формулу (VI,15). Отсюда получим выражение для функционала 6/ [c.165]

Воспользовавшись приведенными на стр. 238 и 239 формулами (87) и (89) и учитывая, что в данном случае Т3+1 = т, Тр = О и Ьu = О, найдем выражение для вариации функционала (VI, 50) [c.173]

В. Вывод формулы для вариации вспомогательного функционала [c.235]

Приведем выражение для вариации следующего функционала [c.238]

При вычислении первой вариации функционала Г необходимо учесть следующее. Сумма первых двух членов в (3.2), как это следует из (3.3), является функцией от координат хь и у/, точки Л. Величина уь задана, и вариация от нее равна нулю. Вычисления дают [c.90]

При вычислении первой вариации функционала [c.139]

Остальная часть подынтегрального выражения в (6.21) совпадает с подынтегральным выражением вариации функционала (3.34) при 2 -Л2, 3 = Лз, 4 = Л4, 5 = Л5. Эти равенства выполняются, если в задаче 3 за исходную взята характеристика /с. Исключая величины Л4, Л5 из уравнений (3.37), (3.39), (3.43), получаем [c.152]

В осесимметричном случае решение, определяемое уравнениями (7.10), существует не при всяких величинах Шоо, X, У. Искомая линия аЛ может состоять из двух участков аг и гЛ. На участке ог(0 X < X,, Уа < у < ул) реализуется двусторонний экстремум, а участок гЛ(хг < х х/,, /(х) = У) допускает одностороннюю вариацию < 0. В этом случае функционал 3 следует записать в виде [c.171]

Первая вариация этого функционала равна [c.171]

Воспользуемся малостью 6/, оставим в выражении для SIV только члены первого порядка по 5/ и представим вариацию функционала в виде [c.43]

Таким образом, зная функционал, можно получить уравнение для функции, на которой он достигает экстремума, и обратно, имея некоторое дифференциальное уравнение для функции и рассматривая его как уравнение Эйлера вариационной задачи, можно построить соответствующий функционал. При этом появляются дополнительные возможности для приближенного решения задачи. Например, можно сузить класс пробных функций, ограничившись функциями определенного вида с параметрами. Подбирая значения этих параметров из условия экстремума функционала, найдем и приближение к искомой функции, и приближение к искомой величине — значению функционала. При этом если погрешность в функции будет порядка Д, то погрешность в значении функционала будет порядка Д , так как вследствие (1.106) вариация функционала не будет содержать линейных слагаемых по б/. [c.43]

Приращение функционала бФ(бф) представлено в виде произведения вектора —/-ф на приращение аргумента — вариацию бф, т. е. производная функционала может быть вычислена по формуле , [c.248]

Что касается измерителей то измеримые величины системы являются отображениями вида П = где — линейный функционал в пространстве С(. ) всех непрерывных функций на У. Согласно теореме представлений Риса в функциональном анализе, каждый линейный функционал в С(.У) может быть представлен интегралом Стилтьеса от некоторой функции а ограниченной вариации. Следовательно, можно альтернативно постулировать, что данному ферменту соответствует функция а ограниченной ва- [c.510]

Величина б/, равная произведению / (0)е, представляет собой дифференциал функции 7(е) при е = 0, который в вариационном исчислении называют, первой вариацией функционала/. Поскольку можно положить [c.212]

Теперь условие того, что функция x(t) есть экстремаль функционала /, может быть сформулировано как требование равенства нулю первой вариации функционала б/ (V, 64), откуда также следует найденное выше уравнение Эйлера. [c.212]

Понятие вариаций функционала в вариационном исчислений аналогично понятию дифференциала в обычном анализе. Подобно тому, как в анализе дифференциал функции dx характеризует приращение функции x(t) при изменении независимой переменной t на бесконечно малую величину dt, первая вариация функционала б/ определяет приращение функционала /при бесконечно малом варьировании функции x(t). [c.213]

Найдем теперь для функционала (V, 48) первую вариацию 61, которая должна обращаться в нуль, если функция x(t) является экстремалью функционала. [c.215]

Для анализа искусственно создаваемых нестационарных режимов в условиях, когда существенную роль играют динамические свойства объекта, целесообразно пользоваться я-критерием [61, 64, 65]. Этот критерий основан на анализе поведения целевого функционала при малых синусоидальных вариациях, стационарного значения. Прп этом предполагается, что оптимальное стационарное управление существует и является внутренней точкой множества допустимых управлений. В таком случае первая вариация критерия качества (7.5а) обращается в нуль и исследуется вторая вариация целевого функционала около оптимального статистического управления. В стационарных условиях при V (i) = = и = onst значения переменных процесса находятся из системы (7.3а) и в случае единственности его решения однозначно определяют значения критерия (7.5а). [c.291]

Если теперь x(t) является экстремалью функционала (V, 48), то его первая вариация (V, 82) должна обращаться в нуль. При этом интеграл в выражении для вариации обращается в нуль вследствие того, что, экстремаль x(t) удовлетворяет уравнению Эйлера и, следовательно, обращает в нуль подынтегральное выражение. [c.217]

Задача оценки значения функции критерия для управления, лежащего в окрестности оптимума, сводится, таким образом, к вычислению второй вариации функционала Р у (т)] при у у. Для рассмотренной нами ранее задачи об оптимальной температурной последовательности — см. формулы (7) — интеграл в (14) равен [c.230]

Найдем теперь для функционала (У,48) первую вариацию б/, кото[)ая должна обрагцаться в нуль, если функция х (1) является экстремалью функционала. [c.204]

Если для случая, изображенного на рис. У-15, а, решение урав-пеЕ1ия х ) --- О и имеется, хотя и не включает граничные точки, го для случая, изображенного на рис. У-15, б, ренгения уравнения х 1) --= О нет вообще. Последний случай и соответствует невозможности написания уравнения Эйлера, так как не существует экстремали, на которой пе15вая вариация функционала обращалась бы в пуль. [c.242]

В настоящее время нет общего метода решения задач циклической оптимизации. Все используемые алгоритмы основаны на классических понятиях вариации функционала и модифицированного принципа максимума. Наиболее общим и обоснованным является градиентный метод, основанный на вариационном исчислении. Суть этого метода была изложена еще в работе [7]. Задается фиксированная продолжательность периода с и определяется (численно) соответствующее ему оптимальное управление, затем задается другое значение периода и определяется соответствующее ему другое оптимальное управление. После этого сравнивают значения целевых функционалов и с помощью направленного поиска определяются значение оптимального периода. Конечно, такой подход требует больших затрат машинного времени. В работе [72] разработан другой численный алгоритм. Здесь не использовались условия цикличности. Оптимальное управление определялось на достаточно большом отрезке времени с произвольными начальными условиями. [c.292]

Аналогично легко вывести формулы для производных д11дх .. Проварьировав на участке р<з+1 переменную х . на величину бх . нетрудно показать, что выражение для вариации функционала [c.167]

Обозначим через х и у переменные x и г/,., соответствующие проварьированпым управлениям и = и 1, т) при I = 1,. . , г. Вариация функционала (VI,6), вызванная вариацией параметра т , составит [c.169]

Вычислим первую вариацию функционала I. При этом необходимо учесть следующее. Первый интефзл в (2.20) есть функция от ус. Вариации Рс, бфс, бус связаны, поскольку характеристика ас задана. Вариации буь и бфь равны нулю, поскольку величины уь и фь фиксированы. Учитывая все это, получаем [c.71]

Вычислим первую вариацию функционала (2.31). Отметим важное различие между вычислением вариации исходного функционала (2.20) и записанного здесь функционала (2.31). В первом случае варьирование производилось без учета офа-ничений, налагаемых на функции класса dI- Во второй случае искомая функция а у) уже не свободна на участке h. [c.76]

Вариация функционала включает в себя вариацию коэффициентов Ср волновой функции (4.51) и вариацию орбитальных функций В заданном атомном базисе вариация 6(р сводится к вариации ко )фициен-тов ср. в выражении = 2 ср.Хр. Полагая коэффициенты Ср и ср. вещественными, запишем вариацию энергии [c.253]

Вариационный метод Розена 1 ]. Розен установил, что если собственное значение Л единственное и первая вариация некоторого функционала от т равна нулю, то должно удовлетворяться уравнение (42), а численное значение функционала должно быть равно А. Следовательно, в этом случае для приближенного определения А можно воспользоваться методом Рэлея — Ритца подбирая соответствующие пробные функции т, содержащие варьируемые константы, значения которых определяются из требования о том, что функционал должен иметь стационарное значение. Основные особенности метода Розена излагаются ниже. [c.165]

Условия, определяющие экстремумы функционалов, очень похожи нате, которые имеются для обычных функций. Для функций достаточным условием экстремума служит обращение первой производной в некоторой точке х в нуль. Для функционалов также рассматриваются их приращения при изменениях тех функций, на которыхони определены. Если функция ф(х) получает приращение 8ф(л ), то функционал [ф(дс)] получает приращение [ф(х) + бф(х)] - [ф(х)]. Главная линейная по 5ф часть этого приращения обозначается как 6 [ф(х)] и носит название (первой) вариации функционала , тогда как бф называется вариацией функции ф. Для того, чтобы функционал Р достигал экстремума на функции ф, достаточным условием служит обращение его вариации в нуль ЬР = 0. [c.141]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология