Векторы, линейное пространство, базис

В предыдущей главе было показано, что каждому веществу А (1=1, 2,. .., М) системы может быть сопоставлен вектор линейного пространства 31 . Выберем в качестве этих векторов, например, вектор-строки Рс атомной матрицы р, ранг которой равен т. Пространство 31 при этом образуется линейными комбинациями т линейно независимых вектор-строк, составляющих базис, так что для любого Рс справедливо равенство [c.192]

Пусть построены п сопряженных направлений (11,20). Согласно доказанному, эти векторы линейно независимы. Следовательно, они образуют базис в п-мерном пространстве и любой вектор, в частности, вектор может быть выражен линейно через них [29, с. 581 [c.38]

Метод с циклическим изменением базиса. В соответствии с условиями (П1, 15) на 1-том шаге (1 < п) вектор р должен быть ортогонален I векторам у ,. .., т. е. п компонент вектора Р1 удовлетворяют I линейным соотношениям. Это значит, что соотношения (111,15) неоднозначно определяют вектор рг и имеются [п— ) степеней свободы. В связи с этим можно потребовать, чтобы вектор р, удовлетворял некоторым дополнительным условиям. Остановимся на одном способе построения р . Обозначим через О линейное пространство, натянутое на векторы Уо, , У1—1, а через С его ортогональное дополнение (С О, С X О = "). Согласно условиям (III, 15) вектор Р1 должен лежать в пространстве С. Помимо этого потребуем, чтобы направление р для 1 являлось проекцией —на С [31 ]. В качестве рд возьмем — (,. Такой выбор р1 приведет к тому, что угол между антиградиентом и направлением поиска будет наименьшим. Это будет способствовать устойчивости поиска. При таком построении г, = р / р, будет направлением наискорейшего убывания функции ( (х) в пространстве С, т. е. г = г будет давать решение задачи [c.84]

Матрица в фигурных скобках выражения (IV, 55) представляет собой проекционный оператор [сравните с формулой (111,38)], переводящий векторы из пространства Ер в подпространство, натянутое на векторы столбцов дцч дх матрицы 1 -. Так как, по предположению векторы 5фг/( х, г = 1, р линейно-независимы, т. е. образуют базис в пространстве Е , упомянутый проекционный оператор является тождественным преобразованием [и ( / 7) = 7 ] пространства Е в себя и формула (IV, 55) принимает вид [c.120]

Любые п линейно независимых векторов n-мерного пространства можно принять в качестве базиса и любой другой вектор этого пространства W можно единственным образом представить в виде линейной комбинации векторов базиса, т. е. [c.568]

Следовательно, для всех возможных линейных комбинаций (в том числе и с бесконечным числом членов) функции Ч Дл ) образуют своего рода базис, в котором и записываются эти линейные комбинации. По аналогии с обычными векторными пространствами (например, в трехмерном случае, когда любой вектор Ь записывается в виде (bi + e i + Ь)а), функции Р (х) называют базисными, либо говорят о них как о базисных векторах (по своей роли аналогичных векторам i, j и к, только в бесконечномерном пространстве). На этом языке формула (12) интерпретируется следующим образом все возможные (конечные или бесконечные) линейные комбинации базисных векторов Р (х) образуют линейное пространство 8,, в котором любой вектор /(л ) может быть представлен в виде (12). [c.51]

Как видно из матрицы, векторы Р , Р , Р являются единичными. Добавив к ним один искусственный вектор Pg, у которого первый компонент есть 1, а остальные—нули, получим совокупность четырех линейно независимых векторов, которые образуют базис данного пространства решений. [c.97]

Каждый столбец матрицы системы уравнений (IX. 30) есть вектор. Поскольку система (IX. 30) содержит семь уравнений, то интересующее нас пространство решений семимерно. Это означает, что существует 7 линейно независимых векторов, через которые однозначно выражается любой вектор рассматриваемого пространства и, в частности, может быть выражено и решение. Векторы Р , Р , - -, Яд, соответствующие переменным х , х , , Хд, являются единичными векторами. Добавив к ним искусственный вектор 101 у которого первая компонента есть 1, а остальные нули, мы получим совокупность семи линейно независимых единичных векторов, т. е. получим единичный базис семимерного пространства. [c.242]

Определение 3. Базисом и-мерного линейного пространства называется любая упорядоченная система п линейно независимых векторов этого пространства. [c.317]

Теорема о представлении вектора через базис. Если множество векторов е, , г = 1,..., и - базис в п-мерном линейном пространстве, то любой вектор х выражается единственным образом как линейная комбинация базиса этого пространства, т. е. [c.317]

В самом деле, линейная оболочка Q реакций, каждая из которых представима ТУ-мерным вектором стехиометрических коэффициентов, образует стехиометрическое пространство 5. Базис его состоит из Н векторов Р1, Р2> где (11т 5 = / и равно числу независимых реакций. Так как 1, Ра м Ря — система базисных векторов, то любой другой вектор из 8 представляется в виде линейной комбинации векторов из Р , Рз,. . ., Ря . Это утверждение, конечно, справедливо и для Рд+1, Рд+2> ч Ро-Отсюда [c.244]

Определение 7. Совокупность п линейно-независимых векторов п-мерного векторного пространства Р" называется базисом. [c.16]

Процедура Мильнера упрощена, если рассматривать механизмы в виде векторов. Они принадлежат действительному векторному пространству, имеющему базис последний включает каждый возможный процесс столкновения или стадию, которые могут происходить при данных условиях в химической системе. Другими словами, механизм представляется линейной комбинацией с действительными коэффициентами. [c.473]

Характерной особенностью эрмитовых и вещественных симметричных матриц является то, что их собственные векторы образуют полный набор, т.е. для этих матриц порядка п, действующих на векторы л-мерного пространства, число линейно независимых собственных векторов также равно п. Следовательно, собственные векторы могут быть выбраны в качестве базиса в 91. К тому же они и ортогональны, так как для двух собственных векторов X и у с собственными значениями и Х справедлива цепочка равенств [c.13]

Пусть теперь задано линейное векторное пространство 91 размерности пг, на котором определено представление Г. В этом пространстве имеется ортонормированный базис из векторов, которые будем записывать в виде строки (е,, е2,...,е ), тогда как произвольный вектор х есть произведение этой строки на столбец из проекций вектора х на базисные векторы [c.201]

Переход от одного вектора А векторного пространства Я к другому вектору В того же пространства при заданном базисе осуществляется линейным преобразованием координат [c.676]

Определение. Система п линейно-независимых векторов га-мер-ного пространства называется базисом этого пространства, или системой базисных векторов. Базисные векторы будем обозначать — [c.50]

Так как базисные векторы независимы, то 0 = 0 при кф1 и ац — 1 (/=1, 2,...,п). Следовательно, А есть единичная матрица, а В — обратная к С В = С . Мы пришли к выводу, что в линейном л-мерном пространстве Эг переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью неособенной матрицы С (5.16) [c.54]

Это равенство играет большую роль во многих задачах линейной алгебры. Оно позволяет при переходе от одного базиса к другому выяснить, как связаны в этих базисах матрицы любого линейного преобразования векторов пространства Преобразование вида (5.27) носит название преобразования подобия. [c.59]

Систему заданных в определнном порядке и линейно независимых векторов /1, /2,. .., fn и-мерного пространства назьшают базисом этого пространства. Любой вектор пространства единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных векторов [c.5]

В случае линейного самосопряженного оператора L с чисто дискретным спектром все пространство Ж можно представить в виде прямой суммь одномерных инвариантных относительно L пространств. Это означает, что можно ввести такой ортонормированный базис, в котором матрица оператора L будет диагональна. Элементами этого ортонорми-рованного базиса являются собственные вектора оператора Ь, а элементами диагональной матрицы собственные числа оператора L. [c.9]

Известно что для самосопряженного линейного оператора, каким является матрица В, существует система линейно независимых, попарно ортогональных и единичных по норме собственных векторов [е — ор-тонормированный базис евклидова пространства заданной размерности. [c.138]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология