Матрицы операторов

Пример. Пусть / = 1. В этом случае 2/ + 1 = 3 и матрицы операторов углового момента при использовании формул [c.104]

Прямым произведением X (х) В операторов А и В является оператор, матрица которого есть произведение матриц операторов А и В [c.23]

Для того чтобы записать дифференциальное уравнение для Y, согласованное с численным решением, необходимо использовать якобиан приближающей системы дифференциальных уравнений. Тогда получится матрица оператора Y, состоящая из производных численного решения по вектору начальных условий. [c.83]

Матрицы операторов з+, 8 и 82 в каноническом базисе есть [c.21]

О /2 / Отсюда получаем матрицы операторов в каноническом базисе о/с [c.21]

Величина А определяется вырождением основного или возбужденного электронного состояния, т. е. связана с эффектом Зеемана первого порядка. Коэффициент В существует для любого перехода и не зависит от вырождения, так как определяется смешением электронных состояний в магнитном поле. Эта величина включает только недиагональные элементы матрицы оператора магнитного дипольного момента. Коэффициент С не равен нулю только при вырождении основного электронного состояния, особенно для нечетного числа электронов в молекуле. Этот терм определяет зависимость МКД от температуры, поскольку заселенность расщепленных в магнитном поле уровней будет различной. [c.258]

Вектор X, сохраняющий с точностью до знака свое направление при действии на него матрицы (оператора) А, но, быть может, меняющий свою длину [c.13]

Аналогично можно найти и матрицу оператора импульса р [c.56]

Вращение в плоскости ху на угол ф задается ортогональной матрицей (оператором) [c.212]

Следовательно, матрица оператора Гамильтона будет иметь вид, представленный на следующей странице. Символами представлений здесь обозначены те блоки, которые содержат матричные элементы на функциях, базисных для этих представлений. [c.225]

Чтобы доказать неотрицательность матрицы T( j j) k k) по парам индексов, взятых в скобки, покажем, что она является матрицей оператора вида I РуТ) ф) ф, где ф) Е М М имеет вид ф) = Ej li) 0 j)-Действительно, [c.182]

Это требование в физике было закреплено в так называемом принципе соответствия Согласно этому принципу любая физическая теория сейчас и в будущем может оперировать любыми понятиями как имеющими смысл материальных объектов окружающего мира, так и искусственными, абстрактными, пользоваться любой математикой (действительными или комплексными числами и переменными, так называемыми матрицами, операторами и т д), но всегда должна иметься возможность с помощью этих понятий и математических преобразований получать такие величины, которые могут быть прямо сопоставлены с реальными, опирающимися на органы чувств человека экспериментами [c.101]

Блочная структура матрицы оператора Ж- Оператор Гамильтона в базисе мультипликативных функций характеризуется матрицей 8X8, имеющей блочную структуру. Блоки, или подматрицы, имеют следующие размерности [c.53]

В этой программе мы сохранили блочный принцип формирования матрицы оператора Ь с той лишь разницей, что индекс не используется и, следовательно, ранг матрицы существенно ниже. Поэтому в этой программе в оперативной памяти хранятся все необходимые матричные элементы. [c.231]

Ранг матрицы оператора Ь равен 7 г= Д[ЗЛГ 2Ь К)- -4 Ь- -+Л )]+2=1022 при Ь=К=20. [c.231]

Соответствующая матрица оператора примет вид [c.68]

Что же касается элементов матрицы оператора 6, то из сравнения матрицы с ее алгебраическим дополнением, принимая во внимание, что элементы последнего должны быть почленно равны элементам матрицы, можно видеть, что, поскольку [c.70]

Аналогично матрица оператора 4 будет иметь вид [c.70]

Описаше электронных характеристик молекулы предусматривает анализ структуры ее волновой функции. Последняя определяет значения различных физико-химических величин, для которых возможно сопротивление экспериментальных и теоретических значений, позволяющее установить качество найденных волновых функций. Это важно для дальнейщего теоретического изучения таких характеристик системы, о которых можно судить по имеющимся экспериментальным данным лищь косвенным путем. Прежде всего это относится к химическим реакциям, протекающим в тех или иных условиях (в газовой фазе, растворах, на границе раздела двух сред и т.д.). В подобных задачах изучение электронного строения отдельных подсистем молекул является первым этапом. В каждом конкретном случае прежде всего оценивают, какой квантово-химический метод окажется в условиях данного эксперимента достаточно информативным. Методы квантовой химии подразделяют на две основные группы неэмпирические и полуэмпирические. Имея в виду изучение начал квантовой химии, в данной главе рассматриваются лищь неэмпирические методы и близкий к ним метод псевдопотенциала. Причиной тому являются следующие соображения. В полу-эмпирических методах матрицу оператора энергии упрощают приравниванием к нулю предположительно малых матричных элементов, общее число которых достаточно большое. Возникающая отсюда ошибка может быть частично скомпенсирована введением в оставшиеся матричные элементы феноменологических параметров, т.е. полуэмпирические методы представляют собой метод эффективного оператора энергии, в качестве которого выступает матрица энергии. В остальном в полуэмпирических методах повторяется логика неэмпирических, см. [2], [23], [27], [38], [41]. [c.184]

Таким образом, как было впервые показано Холлом и Леннард-Джонсом [8], наилучшими орбиталями для описания иона, получившегося из системы с замкнутой оболочкой, являются те орбитали молекулы, которые диагонализуют матрицу оператора ССП для этой системы. [c.137]

В случае линейного самосопряженного оператора L с чисто дискретным спектром все пространство Ж можно представить в виде прямой суммь одномерных инвариантных относительно L пространств. Это означает, что можно ввести такой ортонормированный базис, в котором матрица оператора L будет диагональна. Элементами этого ортонорми-рованного базиса являются собственные вектора оператора Ь, а элементами диагональной матрицы собственные числа оператора L. [c.9]

Аналогично вводится и функция от матрицы. Если L — матрица оператора L в базисе ej,. .., е , то преобразованием подобия (1.21) она приворлтся к диагональному виду L, затем строится диагональная матрица ль ), элементами которой являются, и преобразованием подобия, обратным (1.21), матрица приводится к исходному базису [c.11]

Как в п1тп1х]-, так и в и//шу] -представлении матрица оператора возмущения К = с + (У,,, имеет блочно-диагональный вид. Каждый диагональный блок соответствует определенному значению MJ. Матричные элементы между определителями с различными Л// равны нулю. Утверждение очевидно оператор коммутирует с оператором Лг, а базисные системы состоят из собственных функций последнего. Так, на примере -конфигурации секулярная матрица будет состоять из пяти блоков, так как Л// может принимать пять значений М/ = 2,1,0, -1, -2. Размеры этих блоков равны числу определителей, отвечающих данному значению Л//, т.е. 2, 3, 5, 3, 2 соответственно. Таким образом, секулярная матрица имеет вид, изображенный на рис. 4. Крестиками обозначены [c.132]

В этом случае минимизация функционала по отношению к неизвестным коэфф). i сводится к алгебраич. задаче на собств. значения НС = eS .. Здесь С — вектор, составленный из чисел j, Н — матрица оператора Гамильтона Н системы, составленная иэ чисел (т. н. матричных элем.) Hij = (Ф НФ dt, S— матрица перекрывания, составлен- [c.94]

Иапример, как будет выглядеть матрица оператора, схема которого изображе-рисунке Попробуйте также поме-нять базис в другом бите. [c.72]

Оператор плотности системы коммутирует с гамильтонианом и не изменяется под действием гамильтониана. Когерентность отсутствует. Однако оператор плдтности эволюционирует под действием супероператора релаксации Г и стремится к тепловому равновесию. Матрица оператора плотности в собственном базисе гамильтониана диагональна [см. (2.1.10)]. Это состояние получило название неравновесного состояния первого рода [4.131]. [c.207]

ЮТСЯ корнями соответствующего секулярного уравнения. При рещении уравнений ЛКАО с использованием вычислительной мащины поступают следующим образом. Сначала составляют матрицу оператора Н. Она имеет такой же вид, как и детерминант секулярного уравнения, различаясь лищь тем, что в ней опущены неизвестные значения орбитальных энергий. Затем эту матрицу диагонализуют путем некоторого унитарного преобразования. Диагональные элементы диагонализованной матрицы являются корнями секулярного уравнения. Столбцы матрицы унитарного преобразования, при помощи которого достигается диагонализация, состоят из коэффициентов разложения ЛКАО для молекулярных орбиталей, которым отвечают соответствующие энергии. [c.251]

Матрица оператора —(L гГ) аппроксимируется тридиагональ-ной матрицей в соответствии с алгоритмом Ланцоша(З) последующим рекуррентным формулам [c.225]

В этом случае оператор Ь представляет собой комплексную самосопряженную матрицу. Оператор Г диагоналеп, поэтому матрица оператора —(Ь + гГ) не является ни эрмитовой, ни симметричной. Для эффективной работы алгоритма Ланцоша необходимо преобразовать оператор —(Ь + гГ) к симметричному виду, что достигается приведением оператора Ь к форме действительной симметричной матрицы. Для этого используется переход в новый базис в пространстве угловых переменных, определяемый соотношениями [c.226]

Следующим важным этапом на пути алгоритмизации задачи расчета ЭПР-спектра является выбор структуры данных, с которыми предстоит работать вычислительной машине. Использование алгоритма Ланцоша для решения задачи на отыскание собственных значений оператора —(Ь+гГ) позволяет выбрать любой компактный способ хранения матричных элементов, поскольку в процессе вычислений исходная матрица не изменяется. В наших программах применен "блочный способ формирования и хранения матрицы оператора Ь матричные элементы оператора Г хранятся в оперативной памяти отдельно в виде вектора. [c.228]

В процессе работы алгоритма Ланцоша (на каждом его шаге) вычисляются необходимые матричные элементы и индексы, соответствующие положению этих элементов в исходной матрице оператора L. Мы используем версию алгоритма Ланцоша, в которой требуется хранение в оперативной памяти трех комплексных векторов, равных по размерности рангу исходной матрицы. Разно мерность всех необходимых массивов в программе зарезервирована для использования максимальных индексов L—K—2i и предусмотрена возможность выбора исходного базиса с К L. [c.230]

Ранг матрицы оператора L равен N= /2i K [2L—K)- -iL- --Ь4ЙГ 1=2844 (при L—K=24). Для хранения матричных элементов [c.230]

Хранение матричных элементов требует 70 кб, а хранение векторов Ланцоша — 35 кб памяти (при Ь=К=2Ъ). Для сравнения отметим, что при хранении матрицы оператора Ь в ленточном виде, как это предусмотрено в программе Фрида из работы [2], необходимо примерно 4,3 Мб оперативной памяти (при ,=ЛГ=24). [c.232]

Оператор иСв.в ) для рассматриваемой задачи является известным, хорошо определенным оператором, явный вид которого непосредственно следует из формул (2)-(3) и выбранного способа цродолжения. Для частного случая линейного по в гамильтони -ана оказалось возможным построить явный вид матричных элементов как для невырожденного, так и дата вырожденного гамильтонианов. (В отсутствие вырэддения результат совпадает с полученным обычным дифференцированием). Для вырожденного линейного гамильтониана матрица оператора в базисе из электронных собственных функций является диагональной [c.215]

Здесь /и (гг)—матрнца Якоби для вектора-функции и) нрн и = и, а (/ц (м)) — транспонированная ей матрица. Операторы Ь ж Ь рассматриваются в пространстве (О <С сс < 1)-Так как коэффициенты 5фавнений (1.5) н (1.7) зависят только от иеремеппой х и граничные условия не зависят от неремеиных х2, хз), собственные функции операторов Ь п Ь могут быть найдены методом разделения переменных п имеют вид [c.98]

Операторы 2, 3, 4, 6, 1 в трехмерное пространство из двумер ного перейти не могут, ибо в двумерном пространстве не первичны. В трехмерном пространстве их считают составными операторами, отвечающими совокупному действию двух или более других переходных операторов. Они могут быть представлены как составные операторы и в двумерном пространстве, но не все, поскольку в двумерном пространстве понятия центра инверсии и оси 2 совпадают, поэтому понятия осей 3, 4, 6 отсутствуют. Для записи матриц операторов трехмерного пространства, переходящих в него из двумерного, можно воспользоваться матрицами второго порядка. Составим матрицы операторов 6 к 4. Нетривиальные корни оператора 6 составляют ехр 2яг/6 и ехр—2л1/6. Характеристическое уравнение [c.69]

Указанные вычисления должны проводиться методом последовательных приближений, поскольку заранее пе известны операторы и зависящие от искомых орбиталей ф и ф +1. В качестве исходного приближения для орбиталей ф и ф +1 можно взять, например, высшую занятую и низшую незанятую орбитали среди стандартных ССП-орбиталей. Диагонализуя матрицы операторов (17) и (18), находим новые орбитали ф и фд+1, вычисления следует продолжать, пока не будет достигнуто самосогласоваиие. [c.140]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология