Векторы столбцы и строки

Второй тип произведения векторов называют по-разному прямым произведением, внешним произведением или тензорным произведением. Оно представляет собой произведение вектор-столбца и вектор-строки и обычно обозначается как а Ь. Его результатом является матрица, или тензор второго ранга. Размерности перемножаемых векторов не обязательно должны быть одинаковыми. Если они неодинаковы, то результирующая матрица не является квадратной. Число ее строк соответствует размерности вектор-столбца, а число ее столбцов — размерности вектор-строки. Элементы этой матрицы равны [c.405]

Матрица, содержащая одну строку, т. е. размерности 1 X и, называется вектор-строкой, а матрица размерности и X 1, т. е. состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом. [c.229]

X — векторы-столбцы размерностей т X I и п X i соответственно) если тп = i, то вектор-строка /д. есть градиент / (х) АВ=С — произведение матриц А (размерности тп X р) я В (размерности р X [c.131]

Итак, решение задачи о собственных значениях матрицы ЬР можно искать с помощью собственных векторов х, т. е. столбцов матрицы преобразования X или векторов гу -строк матрицы = X L . С этой целью матрица ЬР умножается на л справа или на ге> слева. Собственное значение матрицы ЬР в обоих случаях остается тем же самым. [c.249]

В матричных операциях векторы основного процесса х, у, z, и,. .. рассматриваются как векторы-столбцы, а векторы сопряженного процесса fx, X, v,. .. — как векторы-строки. [c.131]

Внутренние произведения двух матриц либо вектора и матрицы основаны на скалярных произведениях. Результат должен представлять собой матрицу или вектор, но каждый элемент этого результата является скалярным произведением. Если вектор стоит слева в произведении, то результатом последнего является вектор-строка. Если слева стоит матрица, то она рассматривается как столбец из вектор-строк. Вектор, стоящий в произведении справа, должен быть вектор-столбцом. Матрица, стоящая в произведении справа, рассматривается как строка из вектор-столбцов. Число столбцов у левого сомножителя должно совпадать с числом строк у правого. Результат произведения М = АВ, состоящего из /гХр-матрицы А слева п — число строк) и рХ -матрицы В справа, представляет собой пу т-матрицу М, элементы которой определяются следующим образом [c.407]

Внешнее произведение. Произведение двух векторов, матриц или тензоров, ранг которого выше, чем ранги сомножителей. Например, для двух векторов (тензоров первого ранга) оно представляет собой произведение вектор-столбца и вектор-строки, результатом которого является матрица (тензор второго ранга). Возбужденное состояние. Состояние системы с энергией выше основного (низшего энергетического) состояния. [c.459]

Симметрическая (перестановочная) группа (степени п). Совокупность всех п перестановок в системе из п объектов. Скалярное произведение (векторов). Произведение вектор-строки и вектор-столбца, результатом которого является скаляр. То же самое, что внутреннее произведение. [c.461]

В прямоугольной матрице [А] каждая строка описывает атом, а каждый столбец— молекулу (с.м. табл. 4.1). В векторе-столбце [5] число элементов равняется числу столбцов в матрице [А] и каждый элемент представляет собой [неизвестный] стехиометрический коэффициент соответствующей молекулы в уравнении, описывающем суммарное преобразование. Условно считают, что эти элементы положительны для продуктов и отрицательны для реагирующих веществ. В дальнейшем матрица [А] будет называться стехиометрической. [c.153]

Все функции, фазовые переменные основного процесса и управления будем считать векторами-столбцами, а переменные сопряженного процесса — векторами-строками. [c.235]

Матрицу — прямоугольную таблицу из т X п элементов — будем обозначать прямой прописной буквой, нанример В = ДЦ. Матрица, состоящая из одного столбца или одной строки, может рассматриваться как вектор. В дальнейшем мы будем оперировать в основном с векторами-столбцами. [c.38]

При равенстве т = п имеем квадратную матрицу п-ного порядка. Определителем ее а называют сумму произведений элементов, взятых по-одному из каждых строки и столбца, составленную по соответствующим правилам. Определитель — количественная расшифровка отвечающей ему квадратной матрицы. Матрицу, состоящую из одной строки или из одного столбца, называют, соответственно, вектор-строкой или вектор-столбцом. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме расположенных по главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, а если все эти диагональные элементы одинаковы — скалярной матрицей. [c.143]

В современной математике (векторной алгебре) такой упорядоченный набор величин или чисел называется вектором. а сами величины или числа — компонентами вектора. Различают вектор-строку (компоненты записываются в виде одной строки) и вектор-столбец (компоненты записываются в виде одного столбца). Условимся в дальнейшем при обозначении вектора-строки набор его компонентов заключать в угловые скобки < >, а вектора-столбца — в прямые [ ]. Например, вектор-строку начальных вероятностей можно записать так [c.39]

Соотношение (4.13) связывает элементы трех вектор-столбцов матрицы А, причем коэффициенты в этом соотношении не зависят от номеров строк в А. В подобных случаях говорят, что вектор-столбцы А линейно зависимы и их линейная зависимость выражается линейным однородным соотношением типа (4.13) с постоянными коэффициентами. [c.44]

Пример 4. Множества вектор-столбцов (матриц размера тХ1), либо вектор-строк (матриц размера 1хп), определенных, например, над полем вещественных чисел, также образуют векторные пространства. Элементы этих пространств мы будем просто называть векторами, особенно в тех случаях, когда ясно, о каких именно вектор-строках или столбцах идет речь. Операции сложения и умножения на число для векторов — те же, что и для матриц. Например, пусть [c.48]

Определенная система всегда совместна. При добавлении к квадратной неособенной матрице А определенной системы вектор-столбца У ее ранг не изменится, она перейдет в матрицу размера лХ(п+1), минор п-ного порядка которой (составленный из элементов ее п строк и первых п столбцов) будет отличен от нуля. Систему АХ=У можно умножить слева на А-, пользуясь тем, что матрица коэффициентов — неособенная [c.73]

Рассмотрим А как вектор-строку, составленную из вектор-столбцов Aj и поделим каждый вектор-столбец на его длину (Ау, Ау) /2. Тогда получим матрицу, состоящую из единичных векторов А/= Ау/(Ау, определитель которой, как можно [c.145]

Величины г находим в результате умножения третьей строки обобщенной матрицы базисных векторов СУП ,264) на векторы-столбцы матрицы (VIII,267) [c.466]

Перемножая элементы первой строки матрицы А на соответствующие э шмснты вектора-столбца V и суммируя произведения, получаем производ-сгиснную программу по воде, т. е. задание для цеха, № 1 [c.186]

Здесь в скобках представлена полиномиальная модель Оо — константа (скаляр) а, Ь, с — вектор-столбцы постоянных коэффициентов Хреж — вектор-строка наблюдаемых режимных координат и показателей качества сырья и я — вектор-строки управляющих воздействий Ф —фактор, учитывающий необратимую потерю активности катализатора с учетом периодических добавок [ом. выражения (111-54), (111-55)]. [c.121]

Исходя из технологического содержания рассматриваемой задачи, необходимо отметить, что зависимость между строчными элементами вектора ограничений Ь = й, не наблюдается. Это обусловлено тем, что ресурсы сырья и компонентов ввиду их поступления из различных источников между собой независимы, плановые задания устанавливаются в соответствии со спросом и потребностями народного хозяйства, а мощности технологических установок определяются в отдельности, исходя из требований регламента и в зависимости от времени работы в плановом периоде. В пределах одной технологической операции или установки (вектор-столбца возможна корреляция между находящимися в разных строках варьируемыми технологическими коэффициентами. Эта связь в оптимизащюнной модели учитывается при помощи балансовых вероятностных ограничений, описывающих взаимные переходы и взаимовлияния смежных продуктов в пределах одного способа производства. [c.69]

Вычислим значения г умножением четвертой строки обобщенной матрицы базисных векторов (VIH,245) на векторы-столбцы (VIII, 248) [c.459]

Вектор О записан здесь в виде вектора-столбца с компонентами каждый матричный элемент <ф. О ф > также представляет собой вектор-столбец, при умножении которого на вектор-строку <ф I I ф > получается матрица 3-го порядка, элементы которой определяют вероятности переходов при той или иной поляризации световой волны. Следовательно, переход при комбинационном рассеянии будет возможен, лишь если отличны от нуля одновременно матричные элементы <ф О ф > и <фJDJф >. Однако, поскольку здесь ведется суммирование по к, то среди возбужденных состояний, как правило, найдется такое состояние, для которого матричные элементы одновременно отличны от нуля. [c.229]

Введем нек-рые понятия матричной алгебры, используемые при получении оценок зависимостей и определении их точности. Матрицей А называют нек-рую таблицу чисел порядок, илн размер, матрицы тхп определяют число ее строк т и число столбцов п. Элементы матрицы А обозначают через 2, , где первый индекс указывает на его принадлежность к /-й строке, второй ->му столбцу (для матрицы В-элемеиты 6., для матрицы D-d, и т.д.). Матрицу, состоящую из одного столоиа. называ1Йт вектором а, матрийу, содержащую одинаковое число строк и столбцов (при т = и), - квадратной матрицей. Элемент матрицы, у к-рого значения индексов равны (/ = ), называют диагональным. Матрицу, все элементы к-рой. кроме диагональных, равны нулю, называют диагональной если все ее диагональные элементы равны I, матрицу называют единичной и обозначают через Е. Матрицу, у к-рой строки заменены столбцами, а столбцы -строками, называют трансцонированной и обозначают через А . Если А = А, такую матрицу называют симметричной. Сумма двух матриц А и В одинакового порядка т х и-матрица О = А + В того же порядка, для к-рой /. = д. + 6,. [c.324]

Выражение (6.2.10а) можно рассматривать как произведение вектор-строки, содержащего частоты и ширины линий, относящиеся к периоду регистрации, суперматрицы Z и вектор-столбца, содержащего частоты и ширины линий, характеризующие период эволюции [c.350]

Таблица 5 четко разделяется на две части А а В. Они различаются только знаком единичных векторов у тройного произведения Х1Х2Х3. При этом оказывается, что часть вектор-столбцов половины А имеет одинаковый порядок чередования знаков (4-) и (—) по строкам. Так, чередование знаков в столбце 3 совпадает с чередованием знаков в столбце 8 аналогично [c.113]

Пусть / (ж, у) — векторная функция векторных аргл ментов х, у /, X, у-векторы-столбцы размерностей А% т и п соответственно. Тогда д дх есть матрица частных производных дfJдx (индекс 7 пробегает номера столбцов матрицы дЦдх, а индекс г —номера строк) размерности кхт (А —число строк, 7 г —число столбцов [c.235]

Прямую, проходящую через элементы а , . ., ац,. . называют главной диагональю матрицы, а лежащие на ней элементы— диагональными. Матрицы меньшего размера, получаемые из данной матрицы А вычеркиванием произвольного числа строк и столбцов, называют ее подматрицами. Строки и столбцы матрицы рассматривают как векторы, поэтому одностолбцовую матрицу Ащхх называют вектор-столбцом, а однострочечную Ах п — вектор-строкой. Векторы (строки, столбцы), в которых хотя бы один элемент отличен от нуля, называют ненулевыми. [c.205]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология