Система уравнений линейно независимая

Практически интегрировать приходится систему меньшего числа дифференциальных уравнений. Дело в том, что не все правые части полученной системы дифференциальных уравнений линейно независимы. Поскольку все правые части представляют собой линейные комбинации величин число линейно независимых правых частей равно числу линейно независимых строк матрицы а,-,, . Это число — ранг матрицы — совпадает с числом линейно независимых столбцов той же матрицы. Но каждый столбец матрицы аг,т 1 представляет собой совокупность стехиометрнческих коэффициентов какой-либо из элементарных стадий, составляющих суммарный химический процесс. Следовательно, число q линейно независимых столбцов равно числу линейно независимых стехиометрнческих уравнений, описывающих рассматриваемый химический процесс. Поэтому в полученной системе п дифференциальных уравнений для п компонентов реакции п—д правых частей могут быть представлены как линейные комбинации д остальных. Для этих п—д компонентов соответствующие им дифференциальные уравнения могут быть приведены к виду [c.146]

Система I уравнений полностью описывает кинетику процесса. При этом, в отличие от замкнутых систем, в которых число линейно независимых дифференциальных уравнений равно числу линейно независимых химических реакций (см. гл. IV, 2), в случае открытых систем все I дифференциальных уравнений линейно независимы. [c.380]

Однако в отличие от закрытых систем для определения скорости реакций в открытой системе недостаточно знать характеристики изменения объема открытой системы во времени и концентрации вещества в системе. В частности, при постоянном объеме открытой системы скорость реакции не может быть определена непосредственно графическим дифференцированием кинетической кривой накопления данного реагента. В отличие от закрытых систем, в которых число линейно независимых дифференциальных уравнений равно числу линейно независимых химических реакций, для открытых систем все дифференциальные уравнения линейно независимы. [c.138]

Действительно, если бы имело место равенство 5 = Р, то (У.130) представляло бы собой 5 однородных линейных уравнений с 5 неизвестными величинами. Так как все уравнения линейно независимы, то определитель 1 I этой системы уравнений не равен нулю. Но такая система уравнений, как известно из линейной алгебры, имеет только тривиальное решение VI = V2 =. .. = = 0. Это значит,, что составление итогового уравнения, не содержащего активных промежуточных частиц, невозможно. В то же время хотя бы одно такое уравнение, описывающее итог сложного химического процесса, должно существовать. Поэтому 8 > Р. [c.291]

Если контроль проводится при п значениях обобщенного параметра, то можно составить 2п уравнений, связывающих параметры объекта и сигнала. Если эти уравнения линейно-независимы, то они позволяют определить 2п параметров объекта. Обычно эти уравнения считают линейными, что справедливо при малых вариациях параметров объекта (чувствительности к параметрам объекта постоянны). Система уравнений решается вычислительным устройством либо в виде микроЭВМ, либо в виде аналогового сумматора с масштабными коэффициентами на входах. Коэффициенты обычно определяют экспериментально с помощью набора стандартных образцов так, чтобы на выходе сумматора подавить влияние какого-либо фактора. При изменении номинальных параметров объекта необходимо полностью перестроить аналоговый вычислитель. Использование микроЭВМ или микропроцессоров позволяет решать не только линейные, но и нелинейные системы уравнений, а также легко изменять прОфамму при изменении параметров объекта. [c.412]

Ранг матрицы а равен 4. Ранг расширенной матрицы, получающейся при добавлении строки 1 к а, также равен 4. Поэтому система (1.5) совместна. Выбирая в этой системе 4 линейно-независимые уравнения, найдем [c.226]

Одно из них содержит числа х, отвечающие связям а и р, а второе — связям а и 7. Покажем, что существует четыре таких вида связей, числа х для которых встречаются только в четырех уравнениях системы (И,28), причем эти уравнения линейно независимы. [c.87]

Ру). Если у нас V уравнений, то получаем систему линейных неоднородных уравнений, число уравнений которой (7) равно числу неизвестных. Если все эти уравнения линейно независимы, система имеет единственное решение. Другими словами, в этом случае мы сможем получить единственный набор постоянных Рь Рг, , Ру Если число уравнений больше числа неизвестных, то постоянные Р,- отыскиваются методом наименьших квадратов. В этом случае также пОлу- [c.93]

Для системы, состоящей из уравнений типа (107), можно составить матрицу стехиометрических коэффициентов, пользуясь которой легко решить вопрос о числе линейно зависимых уравнений в системе. Число строк в такой матрице соответствует числу уравнений системы. Число линейно независимых уравнений равно числу линейно независимых строк. Определения линейно зависимых и линейно независимых строк формулируются так же, как и для соответствующих уравнений. [c.32]

Система однородных линейно независимых уравнений [c.108]

Если при всех х>0 выполнено (42), то из представления (41) непосредственно вытекает положительность оператора Ь. М. Г. Крейн установил [53 (1)] обратное предложение если оператор Ь положителен, то существует система п линейно независимых попарно сопряженных решений уравнения (36), для которой условие (42) выполнено при всех х > О, так что мультипликативное представление (41) также имеет место при всех > 0. Ниже приводится доказательство этой теоремы, а также доказательство М. Г. Крейна теоремы Фробениуса. Переход от конечного интервала, рассматривавшегося в [53(1)], к полуоси >0 почти не требует внесения в [53(1)] каких-либо изменений. [c.214]

Теорема 13 [99]. Если вронскиан некоторой системы п линейно независимых и попарно сопряженных решений уравнения (36) в некотором интервале [а, р] имеет п нулей, то вронскиан любой другой системы п попарно сопряженных решений этого уравнения имеет в этом интервале по крайней мере один нуль. [c.219]

Теорема 14. Если вронскиан какой-нибудь системы п линейно независимых попарно сопряженных решений уравнения (36) имеет конечное число нулей на полуоси х >0, то отри- [c.219]

Затем удовлетворим тому же уравнению условиями на стенке ска. 2, мы получим еще одно уравнение с теми же неизвестными и Т. д. Удовлетворяя последовательно уравнению (253) условиями иа стенках скважин, начиная скв. 1 и кончая скважиной +1, получим систему ( +1) уравнений с 2 +1 неизвестными т . Приняв же в соображение равенства (254) и (255) и исключив из всех уравнений рь придем к системе п линейных независимых уравнений с п неизвестными е (х=1, 2, 3, п). [c.288]

Уравнения, определяющие процесс регулирования для двух первых случаев, почти всегда являются линейными. Однако поскольку дифференциальные уравнения объекта могут быть нелинейными, то и решаемая система уравнений тоже будет нелинейной. Для последних же трех типов систем уравнения процесса обычно нелинейны и, независимо от сложности самого технологического процесса, требуют применения более сложных методов расчета. [c.111]

Таким образом, (3.43) есть система уравнений, содержащая В неизвестных XJ. Вычислив и через I линейно-независимых уравнений системы (3.44), их затем можно исключить подстановкой Х] в оставшиеся (Д — I) уравнения. Пусть I линейно-независимых уравнений [c.147]

Строго говоря, получение точных решений уравнений (68) предполагает бесконечный базис функций, т. е. требует решения бесконечной системы уравнений. Но, как показал Рутан и как подтверждает обширная расчетная практика, удовлетворительного приближения можно достичь и при конечном базисе АО. При этом многое зависит от выбора базиса — его размеров и качества. Расширяя базисный набор путем добавления новых линейно-независимых функций, можно достичь такой ситуации, когда вычисляемые характеристики системы (орбитальные энергии, наборы коэффициентов и т. д.) окажутся нечувствительными к дальнейшему расширению базиса. В этом случае говорят о достижении хартри-фоковского предела. Предельный базисный набор АО дает очень точные результаты, почти такие же, как при численном интегрировании уравнений Хартри — Фока. Однако увеличение числа АО в базисе сопровождается существенным возрастанием вычислительных трудностей. Поэтому в реальных расчетах, особенно сложных многоатомных систем, используют базисы укороченные по сравнению с предельными. [c.180]

Может оказаться, что коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (XI. 15) пе являются независимыми величинами и даже очень большой экспериментальный материал не гарантирует достаточной обусловленности матрицы А, т. е. четко выраженной линейной независимости ее столбцов в предельном случае ее ранг может оказаться меньше числа оцениваемых параметров, т. е. имеет место избыточность принятой модели по отношению к имеющимся экспериментальным данным. Последняя может быть объяснена либо недостаточностью экспериментальных данных, либо избыточностью принятого механизма реакций относительно истинного. [c.446]

Одним из способов решения задачи является метод независимого определения концентраций, согласно которому система (6-10)—(6-11) приводится к линейному виду заменой. в (6-10) концентраций паровой фазы с помощью соотношений (6-11) в пред положении, что начальные профили концентраций по пару и жидкости известны. В этом случае система уравнений (6-10) принимает вид [c.385]

Таким образом, для любой ХТС система уравнений балансов как совокупность линейных независимых уравнений имеет следующий общий матричный вид [c.42]

Изложенная схема расчета интеграла состояний системы не содержит ограничений на природу и величину потенциальной энергии межчастичного взаимодействия. Это позволяет определить аксиоматику построения математической модели состояния равновесной системы. Равновесный состав должен удовлетворять 1) уравнениям ЗДМ, описывающим образование молекулярных форм, приводящих к эффективному уменьшению экстремума свободной энергии Гиббса [5] 2) максимальному числу линейно-независимых стехиометрических уравнений закона сохранения вещества и заряда 3) уравнению связи измеряемого свойства системы с равновесными и исходными концентрациями составляющих частиц. Термодинамика не дает априорных оценок предельных концентраций компонентов системы, допускающих указанные приближения структуры жидкости. Состоятельным критерием возможности применения модели идеального раствора для комплексов, по-видимому, может служить постоянство констант химических равновесий при изменении концентраций компонентов системы, если число констант, необходимых для адекватного описания эксперимента, не превышает разумные пределы. [c.18]

Из анализа матрицы (7) легко видеть, что ее ранг равен 4, так как последние две строки представляют собой линейную комбинацию второй, третьей и четвертой строк (как уже ранее отмечалось, элементные балансы по углероду и водороду содержатся в покомпонентных балансах метана, этана и пропана). Следовательно, в данной системе уравнений материального баланса только четыре уравнения независимы. [c.48]

Из рассмотрения матрицы (9) очевидно, что ее ранг равен 6, так как седьмая и восьмая строки представляют собой линейные комбинации трех строк соответственно первой, третьей, пятой и второй, четвертой, шестой. Независимыми в данной системе уравнений будут уравнения (1)—(6) или (1) — (5) и (8) — и т. д. [c.50]

Авторы стремились также по возможности четко разграничить рассмотрение кинетических уравнений и уравнений кинетических кривых, Это объясняется тем, что вид кинетических уравнений и значения входящих в них кинетических параметров одинаковы для процесса в замкнутой и открытой системе, т. е. кинетические уравнения значительно бо.тее универсальны, чем уравнения кинетических кривых. Кроме того, в случае полного экспериментального описания процесса (измерения всех независимых концентраций и скоростей) эти уравнения линейны относительно кинетических параметров,что облегчает их определение. [c.5]

Это соотношение служит основой для перехода от весовой функции к дифференциальному оператору динамической системы. Здесь число п, т. е. порядок искомого дифференциального уравнения, определяется числом линейно независимых функций в разложении (г, х). [c.294]

Обычно говорят о константах равновесия процессов, соотнося между собою уравнения химических реакций и закона действующих масс. Однако в результате исследования равновесных состояний в принципе нельзя раскрыть действительный механизм химических превращений, т. е. такие исследования не несут никакой информации о характеристиках и последовательностях элементарных актов, определяющих химическое превращение. Кроме того, используемые уравнения реакций, правильно передавая стехиометрические взаимосвязи между химическими формами, могут не иметь ничего общего с реакциями, реально протекающими как при подходе к равновесию, так и после его достижения (равновесие динамично). А так как в равновесии вообще нельзя провести различий между начальными и конечными реагентами, совершенно безразлично, какой из формально возможных наборов процессов (точнее, наборов уравнений реакций) используется для последующей записи взаимосвязи между равновесными концентрациями реагентов (согласно ЗДМ). Необходимо только, чтобы список уравнений реакций был полным, т. е. отражал бы взаимосвязи между всеми представленными в равновесной системе формами. На математическом языке задача сводится к выбору подходящего базиса линейно-независимых уравнений реакций. Максимальное число таких уравнений равно числу сложных химических форм. [c.7]

Анализ сложной реакции с линейными кинетическими уравнениями весьма эффективно проводится путем диагонализации матрицы кинетических констант [11], после чего система распадается на независимые подсистемы, описывающие протекание [c.48]

Эта система однородных линейных алгебраических уравнений относительно восьми неизвестных 1, (Х2.. . ., Й8 имеет ровно четыре независимых решения, если только ранг матрицы се коэффициентов равен т (здесь т =А). Практически именно гак всегда и бывает. Эти четыре решения соответствуют четырем безразмерным комплексам [c.106]

Равенство (1.30) выполняется при обращении в нуль коэффициентов при линейно-независимых комбинациях величин и, и, го, т, i. Это приводит к системе уравнений [c.22]

Следовательно, система п дифференциальных уравнений сводится к системе д дифференциальных уравнений. Как будет показано ниже на конкретном примере, обычно существующие линейные связи между концентрациями легко находятся непосредственно из условий материального баланса. Поэтому можно сформулировать следующее общее положение число дифференциальных уравнений, необходимых для описания кинетики сложного химического процесса, равно числу линейно независимых стехиометрических уравнений, необходимых для описания схемы процесса. [c.146]

Таким образом, число линейно независимых уравнений, описывающих кинетику реакций в открытой системе, равно числу компонентов в системе. Это связано с тем,что в открытых системах оказываются неприменимыми соотношения (Х.4) или какие-либо другие соотношения материального баланса. [c.380]

Рассмотрим общие уравнения динамики. Будем предполагать, что поля деформаций и температуры не связаны друг с другом и могут быть определены независимо. Рассмотрим сначала случай, когда однородная изотропная линейно упругая среда заполняет все пространство применим к левой и правой частям системы уравнений движения в перемещениях (в векторной форме, вытекающей из (1.85) при Y = 0) [c.23]

Для значения Еп, отвечающего т вырожденным функциям система т линейно независимых частных рещеннй уравнения (30) всегда может быть выбрана так, что каждая Уп имеет вид [c.91]

Теорема 10 [98]. Для каждой системы п линейно независимых решений 01)1 ( ), 0)2 ( ),. .., уравнения (36), удовле-творяющих при х>0 условию [c.214]

Обратно, если отрицательная часть спектра 3 1) есть конечное множество, то вронскиан любой системы п линейно независимых попарно сопряженных решений уравнения (36) имеет Лишь конечное кисло нулейх [c.219]

Приведенна,я система уравнений линейна, что связано с отсутствием учета взаимного влияния частиц в отвечающей ей модели. В этом случае извлечение каждого класса флотируемости можно рассчитать независимо и использовать сепарационную характеристику для описания процесса флотации. Если результаты процесса зависят от нескольких параметров (интенсивностей субпроцессов К 1 и / 21, времени флотации и гидродинамических условий), то сепарационная характеристика является функцией многих переменных. [c.193]

Разрабо тан принципиально новый одноконтурный метод расчета сложных ректификационных систем с закрепленными отборами продуктов раздел( ния. Разлагая в ряд Тейлора значения энтальпий //у и /Гу в окрестности 1] и офаничиваясь при этом линейными членами, осуществляется переход от 2п независимых переменных (7), ) к п независимым переменным TJ ) к линеаризация системы уравнений общего материального и теплового балансов. Температуры на тарелках 7 определяются по уравнениям изотерм паровой или жидкой фаз, соотно шени 1 гготоков и сами потоки определяются решением системы линейных уравнений общего материального и теплового балансов. [c.98]

В последние годы нашего века нелинейные явления вызывают особый интерес у специалистов самых различных областей знаний [1-5]. Как правило, внимание исследователей сосредоточено на термодинамическом и математическом аспекте проблемы. Например, применяют теории бифуркаций, нелинейных колебаний, методы неравновесной термодинамики. Парадокс изучения не слишком далеких от равновесия сложных физико-химических и технических систем (СФХТС), по моему мнению, заключается в том, что с усложнением системы усиливается ее линейность. В самом деле, основные законы природы линейны, либо описываются простыми уравнениями, в которых степень аргумента не выше четвертой. Сложные уравнения функциональных связей в природе скорее исключение, чем правило. Фундаментальные уравнения физики обычно имеют показатель степени при независимой переменной от 1 до 3. Законы типа Вина или Стефана-Больцмана встречаются крайне редко. Из теории планирования эксперимента известно, что Ф ТС описываются уравнениями линейного и квадратичного типа. [c.68]