Дифференциальные уравнения с частными производными Простейшие примеры уравнений с частными производными

Ход физических процессов определяется дифференциальными уравнениями, содержащими производные разных порядков по координатам и времени тех или иных физических величин (температур, плотностей, потенциалов, силовых полей и т. д.), геометрическими размерами области пространства, в которой эти физические процессы происходят, начальными и граничными условиями. Сказанное можно пояснить на простом примере процесса распространения тепла в покоящихся средах, который определяется известным уравнением теплопроводности, являющимся частным случаем уравнения энергии системы (10,1) при равен-, дР [c.122]

Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции и (р) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, I), и подставить в решение х = I. [c.101]

Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (1.29) содержат нелинейные слагаемые (конвективные слагаемые полных ускорений) и поэтому в общем случае не могут быть решены аналитическими методами. Возможны решения лишь для некоторых, предельно простых случаев течения один такой относительно простой пример рассматривается ниже (см. п. 1.8). [c.45]

Общий случай перенапряжения диффузии без наложения химического равновесия в предшествующей или последующей стадии должен связать два рассмотренных выше случая, которые осуществляются при добавлении в раствор избытка постороннего электролита или нри полном его отсутствии. Исследование этого общего случая приводит к системе дифференциальных уравнений в частных производных, которую невозможно решить в общем виде. Поэтому приведенные здесь уравнения следует решать (интегрировать) отдельно для каждого частного случая. Далее на простом примере будет проведено такое интегрирование. При решении не будут учитываться коэффициенты активности, а также влияние ионной силы электролита на величины, входящие в уравнения, например на коэффициенты диффузии. Поэтому вместо активности всюду будут использоваться концентрации с . [c.198]

Седьмая глава является одной из основных глав книги. Здесь на примерах теплообменника и ректификационной колонны показана методика использования численных методов решения задач. Авторы связывают расчетные параметры с изучаемым процессом. Рассматриваются методы преобразования дифференциальных уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и затем в разностные уравнения. Сравнивается использование различных методов (Эйлера, Рунге—Кутта, Крэнка—Никольсона и метода авторов) с точки зрения сходимости, точности и возможности расчета с помощью цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Приводится расчет многокомпонентной ректификационной колонны. В заключение дается обзор численных методов. Следует отметить, что опущены некоторые математические рассуждения, очень простые для математиков и необходимые для понимания химикам-технологам. [c.7]

Подобное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных имеет бесконечное множество решений. Однако физически осмысленные решения могут быть получены лишь при определенных краевых условиях. Рассмотрим это на примере простого механического аналога — колеблющейся в плоскости струны, закрепленной в двух точках. [c.20]

Рассматриваемый пример является отличной иллюстрацией к ранее изложенным соображениям о причинах, которыми обусловлена сложность основных уравнений. С одной стороны, перед нами пр дельно простое по смыслу и форме уравнение сохранения энергии, написанное в количествах теплоты оно выражает не более, чем равенство друг другу двух слагаемых. С другой -- уравнение температурного поля. Как мы уже отметили, даже в самых простых предположениях его удается составить только в форме дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. Таковы последствия перехода от понятия потока энергии к простым первоначальным величинам (температуре, физическим константам). [c.64]

Рассмотрим на простом примере, как будет выглядеть излол<енпый в предыдущем разделе метод отыскания этих функций для нестационарного объекта, когда объект описывается дифференциальным уравнением в частных производных. Пусть уравнение имеет вид [c.97]

Решение волнового уравнения в замкнутом виде можно получить лишь для некоторых частных форм потенциала. Например, нельзя решить волновое уравнение для всех атомов, за исключением водородоподобных, для которых предполагается, что электрон движется в поле эффективного заряда ядра. Это затруднение становится особенно значительным в случае молекул. Сложность волнового уравнения для молекул можно проиллюстрировать следующим простым примером. В молекуле метана СН4 имеются пять ядер и десять электронов, поэтому волновое уравнение содержит 3X15 = 45 независимых переменных. Дифференциальное уравнение в частных производных с таким числом переменных совершенно безнадежно пытаться точно решить даже в том случае, если оказывается возможным несколько уменьшить число независимых переменных в результате учета свойств симметрии системы. [c.67]