Решение волнового уравнения. Квантовые числа

V Главное квантовое число. Энергетические уровни. Согласно условиям квантования электрон в атоме может находиться лишь в определенных квантовых состояниях, соответствующих определенным значениям его энергии связи с ядром. Так, волновые функции, получаемые решением волнового уравнения для атома водорода, соответствуют только таким энергиям, которые задаются выражением [c.14]

Решения волнового уравнения. Квантовые числа [c.17]

Физический смысл симметричной и антисимметричной волновых функций можно установить на основе принципа Паули. Согласно этому принципу в атомной или молекулярной системе не может быть двух электронов, у которых все четыре квантовых числа были бы одинаковыми. Поскольку квантовые числа определяют вид волновой функции, характеризующей состояние электрона, то, следовательно, согласно принципу Паули в одной системе не может быть двух электронов в одинаковом состоянии. Так как при перестановке электронов симметричная функция не изменяется, то может показаться, что эти электроны находятся в одном и том же состоянии, а это противоречит принципу Паули. Однако получаемые решением уравнения Шре- [c.83]

Орбитали. Для главного квантового числа п = 3 и при возрастающем значении энергии электрона он может располагаться уже не только на Зз- или Зр-орбиталях, но и на так называемых -орбиталях. Решение волнового уравнения дает нам пять -орбиталей (рис. 4), упрощенное изображение которых приведено на рис. 5. Формально -орбитали напоминают фигуру, образовавшуюся при суперпозиции двух р-орбиталей они имеют четыре области (доли) с чередующимися знаками, которые [c.598]

Хотя квантовые числа могут принимать множество значений, на эти значения налагаются определенные ограничения, обусловленные характером задачи. Приемлемые комбинации чисел п,1ит должны приводить к решениям волнового уравнения, обладающим физическим смыслом. Последнее означает, что электронная волна должна быть непрерывной (волна не может внезапно исчезать с одной стороны от ядра и появляться с другой стороны от него), а полная вероятность обнаружить электрон где-либо в пространстве вокруг ядра должна быть равна единице. Позже [c.74]

Уравнение (1.18) представляет собой обычное волновое уравнение для простого гармонического осциллятора с циклической частотой oj. Допустимое решение характеризуется целым квантовым числом 0. Если обозначить квантовое число для через v , то собственное значение будет определяться соотношением [c.13]

Наличие трех степеней свободы приводит к тому, что в решении уравнения (1.24) появляются три величины, которые могут принимать только целочисленные значения — три квантовых числа они обозначаются буквами п, I и т . Эти величины входят в выран<е-ния как радиальной, так и угловой составляющих волновой функции. В самом общем виде результат решения уравнения Шредингера для атома водорода можно выразить записью [c.21]

Детальное изучение атомных спектров в течение первой четверти двадцатого века привело к выводу, что поведение электрона в атоме может быть полностью описано совокупностью из четырех квантовых чисел. Полное решение волнового уравнения для атома водорода привело к трем из этих квантовых чисел, совершенно идентичным соответствующим эмпирическим квантовым числам старой квантовой теории (за исключением некоторых деталей). Развитие теории показало необходимость введения четвертого квантового числа спинового квантового числа). Четыре квантовых числа определяют не только энергию электрона, но также и характер волновой функции, описывающей его орбиту — ее размер и форму. [c.32]

Создание подлинно фундаментальной теории строения атомов оказалось возможным лишь после того, как было установлено, что элементарные частицы, в том числе и электроны, подчиняются законам не классической, а квантовой (волновой) механики. Решение волнового уравнения для системы, состоящей из протона и электрона, позволило получить точную количественную теорию атома водорода, находящуюся в полном соответствии с экспериментальными данными. [c.27]

Все атомные -орбитали (т. е. решения волнового уравнения при 1 = 0) обладают такой сферической симметрией. По мере того как главное квантовое число п возрастает, наиболее вероятное расстояние электрона от ядра (го) также увеличивается, так что орбиталь становится более размытой. Эти атомные орбитали имеют п—1) сферических узловых поверхностей, т. е. сферических оболочек, где вероятность нахождения электрона (г] ) равна нулю. Радиальное распределение вероятности для атомной 25-орби-тали показано на рис. 1.10, откуда видно, что имеется сферическая узловая поверхность радиуса п. [c.21]

Решение волнового уравнения для атома водорода включает три квантовых числа п, I и nti (ср. с решением для трехмерного ящика), каждое из которых имеет определенный набор разрешенных значений. Решение, найденное для конкретного набора п, I и rni, называется собственной функцией и соответствует одной атомной орбитали водорода. Полное графическое изображение решения волнового уравнения будет, таким образом, четырехмерным, с тремя пространственными координатами (декартовыми X, у. Z или полярными г, 0, ф) и четвертой координатой — функцией Ч . Поэтому волновую функцию Ч часто разделяют на три составляющие, каждая из которых — функция только одной пространственной переменной при использовании полярных координат электрона по отношению к ядру волновая функция принимает выражение [c.26]

При релятивистском подходе решение волнового уравнения дает четыре квантовых числа. [c.35]

Таким образом, соответствующее решение волнового уравнения приводит к дозволенным значениям энергии, которые идентичны значениям, ранее выведенным на основании теории Бора. Целочисленное значение 7г, которое может быть отождествлено с главным квантовым числом атома (см. параграф 1а), является необходимым условием приемлемого решения волнового уравнения, в то время как в теории Бора это принимается в качестве постулата. [c.74]

Связь между квантовыми числами я и I выясняется при решении волнового уравнения с учетом граничных условий. [c.29]

При решении волнового уравнения выясняется, что значения третьего квантового числа т, так называемого магнитного квантового числа, зависят от значения орбитального квантового числа I. Соотношение между значениями / и /п таково, что при данном /, т может принимать нулевое и все целочисленные положительные и отрицательные значения, вплоть до /, т. е. т может принимать значение любого числа в ряду О, 1, 2, 3, ..., /. Так, при /=0, т=0, и других значений у него быть не может при 1=, т=0, или +1, или —1, т. е. у т может быть три зна- [c.30]

Основным содержанием теоретического направления является изыскание методов строгого решения волнового уравнения (III 4 доп, 11) применительно к многоэлектронным системам. Пока такое строгое решение известно лишь для систем с одним электроном (И, Не и др.). Из-за быстро возрастающих с увеличением числа электронов математических трудностей вряд ли его удастся распространить далее немногих простейших молекул. Качественной картиной явлений это направление вообще не интересуется. Можно сказать, что оно полностью работает на себя и для химии практически бесперспективно. Когда химик видит, что после 40 лет блужданий и поисков никто не знает пути к обетованной земле точных решений уравнения Шредингера, он не торопится поверить в единого бога квантовой механики и продолжает поклоняться своим менее великим, но зато более отзывчивым божествам химического опыта и здравого смысла . (Е. М. Шусторович.) [c.93]

Для п = 1 возможно лишь одно решение волнового уравнения, п = 2 — четыре решения, л = 3 — девять решений. В общем для каждого значения п возможны решений, представляющих столько же дискретных состояний ф (т. е. без непрерывных переходов между ними) или столько же орбиталей. Эти орбитали можно представить себе как некоторые области вокруг ядра, форма и энергия которых точно определяются функцией г ). Электроны имеют доступ к этим областям, но не всегда их заполняют. В атоме водорода в основном состоянии электрон занимает орбиталь с низшей энергией, отвечающей квантовому числу л = 1. Поглощая кванты энергии, электрон переходит временно на орбиталь с более высокой энергией. [c.79]

Второе важное обстоятельство, связанное с решением волнового уравнения, заключается в том, что при этом появляются четыре числа, три из них — целые. Их называют квантовыми числами и обозначают буквами п, I, т и та- Первое число п — главное квантовое число, и оно может принимать целые значения 1, 2, 3. .. по мере увеличения энергии. Физический смысл п состоит в том, что оно определяет в основном энергию АО. Действительно, в одноэлектронном атоме или ионе, в которых не имеется межэлектронных отталкиваний, и в отсутствие внешнего магнитного поля величина п полностью определяет энергию электрона. Так, если п имеет малую величину, то вероятность нахождения электрона около ядра очень велика (плотность заряда поблизости от ядра высока), и можно сказать, что электрон занимает АО с низкой энергией. Если же, наоборот, велика вероятность нахождения электрона относительно далеко от ядра, то электрон должен занимать АО с высокой энергией и большим значением числа п. (Следует особо отметить, что все эти рассуждения применимы лишь для случая положения электронов в одном [c.33]

Если перейти к рассмотрению движения электрона в спстеме трех координат х, у, г, то решения волнового уравнения будут похожи на решения для одной координаты, но придется вводить не одно, а сразу три квантовых числа. Каждое из них будет иметь целочисленное значение. Все эти числа получили свои особые названия и соответствующую наглядную интерпретацию. Однако всегда следует помнить, что все они родились (были введены) как константы, необходимые для решения квантового волнового уравнения, определяющего энергию электрона, размазанного вокруг ядра в некоторой области атомною пространства из-за неопределенности в координате. [c.35]

Побочное квантовое число (I) имеет значения от О до (ге—1). Для наглядности его считают ответственным за пространственную форму атомных орбиталей. Решения волнового уравнения при различных значениях квантового числа I обозначаются так, как принято в атомной спектроскопии. [c.35]

Однако макроскопические свойства системы могут быть выведены и иным путем — из анализа микроскопических свойств объектов и сил взаимодействия, существующих между ними. Наиболее простой и бесхитростный способ решения такой задачи состоит в том, чтобы, зная исходные данные (начальные условия), решить соответствующее уравнение связи для каждой частицы. Ситуация при этом носит достаточно общий характер — если объекты системы достаточно велики и подчиняются законам классической физики, то необходимо решать уравнения классической механики (Сравнения Ньютона) при знании начальных координат и импульсов каждого объекта если же речь идет о микрообъектах, подчиняющихся законам квантовой механики, то необходимо решать волновое уравнение Шредингера при знании начальных волновых функций и сил взаимодействия. Единственные затруднения такого прямолинейного анализа состоят в том, что, во-первых, число объектов в реальных системах весьма велико (например, при нормальных условиях Т = = 29.3 К, Р = 1 ат, в 1 см содержится N = 2,7-10 молекул — число Лошмидта, что означает необходимость решения 3-2,7-10 8-10 уравнений при 6-3-2,7 х X 10 5-10 значениях начальных условий) и, во-вторых, точные значения начальных условий неизвестны. Поэтому необходим иной подход [11]. [c.24]

Привести волновое уравнение Шредингера (не для запоминания), дать понятие о волновой функции i (пси), что квадрат этой функции есть вероятность нахождения электрона в данном объеме атома. При решении этого уравнения используется три квантовых числа (для атома водорода) и четыре квантовых числа для более сложных атомов. Так как при изучении темы Химическая связь нужно иметь представление о квантовых числах, то этот материал следует осветить наиболее полно и четко. Говоря о квантовых числах, наибольший упор сделать на пределы их изменений, за какие параметры электрона они отвечают, о скачкообразном изменении их и, соответственно, о скачкообразном изменении параметров, которые они отражают. [c.171]

В отличие от одномерной струны атом имеет три измерения. Решения уравнения Шрёдингера для атома водорода характеризуются тремя целочисленными квантовыми числами п, I и т. Они возникают в ходе решения уравнения для волновой функции у] , аналогичной функции А (х) в задаче [c.363]

Здесь Р/ - оператор проектирования на подпространство сферических функций с заданным /. Он из всей волновой функции вьщеляет составляющую с определенным значением орбитального квантового числа. Функция радиальной переменной V/(r, у) содержит параметры, которые подбирают так, чтобы решение уравнения [c.288]

Волновую функцию задают набором целых чисел, называемых квантовыми числами. Решение уравнения Шредингера приводит непосредственно к трем квантовым числам п (главное квантовое число), I (орбитальное квантовое число), т (магнитное квантовое число) они характеризуют движение электрона не только в атоме водорода, но и в других атомах. Квантовые числа и / определяют функцию радиального (Я) распределения вероятности нахождения электрона в атоме (рис. 3.7). [c.58]

Четыре квантовых числа. Так как волновое уравнение Шредингера имеет ограниченное число решений, то полная энергия атома может иметь лишь некоторые определенные значения. Это согласуется с постулатом Бора, что уровни энергии электрона квантованы. Решение волнового уравнения можно получить, если орбитали охарактеризованы четырьмя квантовыми числами. Первое — квантовое число п, введенное Бором. Второе квантовое число I соответствует квантовому числу, использованному Зоммерфель-дом для описания формы эллиптических орбит. Каждому значению / сопоставляют букву [c.44]

Х п.е кнантово( В ходе решения волнового уравнения появляется чи(, К) третье квантовое число nii. Оно показывает макси- [c.45]

Для решения уравнения Шрёдингера применяется метод разделения переменных, используемый обычно при решении дифференциальных уравнений. Исходное уравнение преобразуют таким образом, чтобы в одной из его частей оставалась всего одна переменная, после чего обе части уравнения полагают равными некоторой постоянной величине. Этот процесс повторяют до тех пор, пока не получится ряд уравнений, каждое из которых содержит всего по одной переменной. Таким образом, приходится ввести всего три постоянные, называемые квантовыми числами и обозначаемые п, I и т. Каждое из этих квантовых чисел может принимать множество различных значений и каждой разрешенной (особыми правилами) комбинации этих значений соответствует одно из решений волнового уравнения (уравнения Шрёдингера), называемое волновой функцией. [c.74]

В последнем разделе предыдущего параграфа было показано, что энергия электрона в одномерном потенциальном ящике квантована, т. с. образует дискретный ряд значений, характеризуемый целочисленным числом п, называемым квантовым числом. При этом нужно обратить внимание, что получаемое решение во многом аналогично решению волнового уравнения для колеблющейся струны, закрепленной по концам. Это решение храктеризуется, таким образом, одним параметром — квап- [c.189]

Для каждого приемлемого решения волнового уравнения волновая функция записывается через численные параметры с целыми или полуцелыми значениями, называемыми квантовыми числами. Через эти квантовые числа можно выразить, так же как и в старой квантовой теории, угловой момент и энергию. Имеется, однако, некоторое отличие в деталях. Если записать и решить волновое уравнение для свободно вращающегося тела, то для углового момента получается выражение ]//(/ Ч- 1)-/г/2л , где квантовое число I может быть нулем или положительным целым числом в старой квантовой теории угловой момент выражался просто как 1Н12л. Угловой момент и энергия (полностью кинетическая) вращающейся двухатомной молекулы с моментом инерции/и угловой скоростью ш равны соответственно р = /ш а Е = /со /2, т. е. = р /2/. Поскольку р равен Jh 2n в старой квантовой теории и //(7 + 1)-/г/2л в новой квантовой теории (при использовании символа / вместо / для враш ательного квантового числа), уровни энергии вращающейся двухатомной молекулы выражаются либо как (старая теория), либо как J(J + 1)Н 18п 1 [c.28]

Как уже отмечалось, волновые функции всех -орбиталей сферически симметричны, т. е. не зависят от величин углов 0 и ф. Однако для орбиталей с п = 2 и 1—1 существуют три угловые-функции. Это орбитали 2ро, 2р+1 и 2р 1, где нижний индекс означает возможные зна 1ения квантового числа т при 1=1. Аналогично, для З -орбиталей существует пять угловых функций, соответствующих пяти значениям квантового числа т при / = 2. Математические выражения для этих решений волнового уравнения содержат комплексные функции, которые не легко представить в графическом виде. Поэтому химики предпочитают подбирать линейные комбинации этих функций (также являющиеся допустимыми решениями волновогТ) уравнения), чтобы получить. действительные решения, которые могут быть представлены в виде полярных диаграмм. Этим действительным функциям уже нельзя приписать определенное значение т, но по-прежнему для данного главного квантового числа п всегда должны существовать три р-орбитали и пять -орбиталей. Напомним, что для р-орбиталей п должно быть равно по меньшей мере двум, а для -орбиталей — трем. [c.42]

Решение уравнения Шрёдингера для атома водорода позволяет определить волновые фун1сции у1>(х, у, г) и дискретные энергетические уровни электрона. Волновые функции VI (х, у, г) называются орбиталями. Под орбиталью часто понимают облако плотности вероятности, т.е. трехмерное изображение функции 11/(х, у, г) . При решении уравнения Шрёдингера вводятся три квантовых числа главное квантовое число и, принимающее произвольные положительные целочисленные значения (и = 1, 2, 3, 4,. ..) азимутальное (или орбитальное) квантовое число /, принимающее целочисленные значения от О до п — 1 магнитное квантовое число ш, принимающее целочисленные значения от — / до + /. Энергетические уровни одноэлектронного атома зависят только от главного квантового числа п. [c.376]

Чтобы понять физический смысл симметричной и антисимметричной функций, вспомним принцип Паули. Согласно этому принципу в атомной или молекулярной системе не может быть двух электронов, у которых все четыре квантовых числа были бы одинаковыми. Квантовые числа определяют вид волновой функции, характеризующей состояние электрона. Таким образом, согласно принципу Паули в одной системе не может быть двух электронов в одинаковом состоянии. Поскольку прн перестановке электронов симметричная функция не изменяется, то может показаться, что эти электроны находятся в одном и том же состоянии, а это противоречит принципу Паули. Однако получаемые решением уравнения Шредингера волновые функции атома водорода (1.45), из которых составлена функция (1.48), не учитывают спин электрона. Чтобы электроны в молекуле, состояние которых выражается симметричной (-функцией, отличались по состоянию, они должны иметь различные спиновые квантовые числа, т. е. эти электроны будут иметь противоположно направленные, или антипараллель-ные спины. [c.78]

Следует отметить резкое отличие найденного результата от картины, наблюдаемой для частицы, движение которой описывается законами классической механики. Энергия классической частицы может принимать любые значения. Как видно из уравнения (I, 27), энергия частицы, для которой справедливы законы квантовой механики, может принимать только ряд строго определенных значений, характеризуемых целочисленным коэффициентом п. Таким образом, энергия электрона, движущегося относительно ядра, оказывается квантованной. При этом параметр п может быть отождествлен с главным квантовым числом атома в теории Бора. Введение главного квантового числа и предположение о квантовании энергии является одним из основных постулатов в теории Бора. В квантовой же механике это положение служит необходимым условием решения радиальной части волнового уравнения Шрёдингера. Поскольку в уравнении (1,27) п не может равняться нулю, то =5 0, т. е. минимальная энергия атома водорода отвечает значению п== [c.18]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология