Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона (метод касательных) [c.117]

Рис. 1.45. Геометрическая интерпретация метода Ньютона (касательных) для поиска корня функции у=[ (х)

Метод Ньютона — Рафсона является распространением метода касательных на функции нескольких переменных, например 11 х,у) = 0 и 12 х,у) =0. Последующие значения аргументов Хд+1 и уд+1 определяют, решая следующую систему уравнений [c.92]

По-видимому, наиболее универсальным и удобным для применения ЭВМ является модифицированный метод Ньютона — Рафсона [123], сочетающий преимущества метода касательных и способа логарифмической линеаризации нелинейной части системы. В [26 ] предложена иная организация расчета, состоящая в том, что решение ищется не относительно самих неизвестных, а относительно поправок к ним До = которые и прини- [c.153]

Очень эффективен с точки зрения скорости сходимости метод касательных, или метод Ньютона. Расчет нового п ближения корня из предыдущего ведется по формуле [c.73]

Метод Ньютона (метод касательных) дает формулу [c.92]

Метод Ньютона (метод касательных).Но этому методу предлагается следующая интерполяционная формула [c.155]

Для численного решения уравнений существует много различных методов метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод, комбинированный из хорд и касательных, метод итераций и др. Обилие методов своим происхождением обязано желанию получить возможность вычислить корень с заданной точностью при наименьшем количестве вычислений. [c.211]

Метод касательных метод Ньютона). Пусть / (а ) на интервале а, Ь) имеет простой корень, а / (х) и f" (х) ф О, т. е. в интервале а, Ь) первая и вторая производные функции / (ж) сохраняют постоянные знаки. [c.191]

Метод касательных метод Ньютона) [c.66]

Метод касательных клиньев (конусов) менее удобен, чем формула Ньютона, так как в общем случае зависимость давления на клине от его угла представляется в неявной форме, а на конусе она определяется лишь численными методами. [c.120]

Метод Ньютона — Рафсона является распространением метода касательных на систему уравнений с несколькими переменными, например, (х, г/) = О ш (х, у) = 0. Последующие значения аргументов и у + определяют, решая следующую систему уравнений [c.155]

Поскольку методы сопряженных направлений за К шагов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона, они, вообще говоря, обладают квадратичной скоростью сходимости. Однако это их свойство проявляется лишь в достаточной близости к экстремальной точке. В случае расчета стабильных структур использование известной структурной информации позволяет достаточно хорошо выбирать начальное приближение. Известные значения силовых постоянных (из эксперимента или из родственных расчетов) можно использовать при задании начального приближения для матрицы А (A 5iG ) в методах переменной метрики. Интересной особенностью градиентных методов сопряженных направлений является их эквивалентность в случае выпуклой квадратичной функции [234], когда они приводят к одной и той же последовательности сопряженных направлений. Но для произвольных функций, особенно вблизи точек перегиба, разные методы приводят к разным результатам. Наибольшей устойчивостью, по-видимому, обладают методы переменной метрики, но в задачах с очень большим числом переменных необходимость работы с матрицей высокого порядка может приводить к затруднениям тогда следует пользоваться более простыми методами параллельных касательных или сопряженных градиентов. Предварительно полезно улучшить начальное приближение с помощью метода скорейшего спуска. [c.116]

Метод параллельных касательных, обходясь без дорогостоящего вычисления вторых производных, практически не уступает в скорости сходимости методу Ньютона — Рафсона, но... нет метода без недостатков. Скорость сходимости резко уменьшается, если минимумы на направлениях вычисляются неточно, особенно в процедуре (2.121). С другой стороны, точное определение минимума на прямой обходится слишком дорого — для этого уже недостаточно описанной выше квадратичной интерполяции. [c.134]

Какой же из методов лучше всего использовать для определения оптимальных конформаций молекул По-видимому, нужно иметь комплекс программ, который непременно должен включать метод скорейшего спуска и квадратичный метод, желательно метод Ньютона — Рафсона или метод параллельных касательных. Если неизвестно, близко ли к минимуму находится нулевое приближение, то сначала следует сделать три — четыре градиентных спуска, а затем перейти на квадратичный метод. [c.135]

Укажем здесь три метода приближенного решения конечного уравнения (3. 7) метод половинного деления (или метод направленного перебора), метод хорд и метод касательных (или метод Ньютона). [c.64]

Для решения этой задачи можно воспользоваться методами сканирования, половинного сечения, хорд (секущих), Ньютона (касательных) и др. [c.77]

Однако в этом методе точность определения vo весьма существенно зависит от точности построения касательной и обычно невелика. Более точные результаты дают аналитические методы, хотя технически они немного сложнее. Один из наиболее простых аналитических методов, основанный на экстраполяции, по Ньютону — Грегори, состоит в следующем [1]. [c.64]

В свою очередь изменение давления, вызванное отклонением внешнего потока под воздействием тела увеличенной вследствие нараста ния пограничного слоя толщины, можно вычислить с помощью уточненной формулы Ньютона (46) плп по методу касательных клиньев пли конусов. [c.129]

Для приближенного решения уравнений используют различные методы метод проб, метод хорд, метод касательных етод Ньютона), метод итераций [46, 47]. Оценивая достигаемую эффектнвнЛть использования методов приближенного решения уравнений, следует отметить, что наиболее эффективным, и потому наиболее распространенным, является метод Ньютона. Его применяют для решения любого уравнения с одним неизвестным, но он особенно удобен при решении многочленных уравнений высоких степеней. Правда, эффективное использование этого метода требует предварительного знания приближенного значения корня или хотя бы порядка его величины. Метод хорд менее Эффективен, но его удобно использовать для решения уравнений, когда порядок величины корня неизвестен и за начальное приближение корня берут одно из крайних значений интервала изоляции корня. Метод пробных подстановок является самым простым из рассмотренных, и при удачном выборе последовательных приближений он тоже может оказаться достаточно эффективным, но все же этот метод целесообразен лишь для определения порядка величины корня. Очень эффективен комбинированный метод, основанный на совместном использовании различных методов приближенного решения уравнений. Например, если применять совместно метод хорд и метод касательных, то интервал изоляция будет сужаться с обоих концов и это ускоряет процесс вычисления корня с заданной точностью. С достаточной эффективностью можно сочетать метод проб с методом Ньютона или методом хорд. [c.20]

Преихмущества и недостатки каждого из четырех методов — скорейшего спуска (СС), сопряженных градиентов (СГ), Ньютона — Рафсона (НР) и параллельных касательных [ПК1 и ПК2 в соответствии с выражениями (2.120) и (2.121)] — хорошо видны на примере поиска минимума трех функций [c.135]