Нелинейные системы и линеаризация

Рис. 7Л0. Появление параллельных ка-йалов регуляции прн линеаризации исходной нелинейной системы. При линеаризации СЛОЖНОЙ зависимости у от вектора переменных приращение Ау определяется суммой приращений компонент с соответствующими коэффициентами передачи 1 = , 2, т

Нелинейные системы и линеаризация [c.105]

В предыдущих главах рассматривались линейные модели систем автоматического регулирования и управления. Такие модели получаются в результате линеаризации уравнений, описывающих различные физические процессы в устройствах, входящих в систему. Если при линеаризации характерные черты физических явлений сохраняются, то благодаря развитой теории линейных дифференциальных уравнений имеется возможность сравнительно просто решать задачи устойчивости и качества регулирования, причем, как было показано, разработанные в теории автоматического регулирования и управления методы позволяют проводить не только анализ, но и синтез линейных систем. Однако не всегда допустима указанная идеализация реальных систем, так как при замене нелинейных уравнений линейными может не только уменьшиться точность расчетов процессов регулирования, но и исказиться или даже исчезнуть качественные особенности процессов, возникающих в нелинейных системах. Последнее связано с наличием в системе элементов с существенно нелинейными характеристиками, к которым относят характеристики, не линеаризуемые при переходе к малым отклонениям переменных. Многие существенные нелинейности, встречающиеся в системах автоматического регулирования и управления, могут быть представлены кусочно-линейными характеристиками. [c.168]

По-видимому, наиболее универсальным и удобным для применения ЭВМ является модифицированный метод Ньютона — Рафсона [123], сочетающий преимущества метода касательных и способа логарифмической линеаризации нелинейной части системы. В [26 ] предложена иная организация расчета, состоящая в том, что решение ищется не относительно самих неизвестных, а относительно поправок к ним До = которые и прини- [c.153]

Таким образом, интегрирование системы дифференциальных уравнений в соответствии с формулой (5-48) сводится к решению линейных алгебраических уравнений. Для решения систем алгебраических уравнений используется итерационный метод, описание которого приведено на с. 301. Заметим, что метод позволяет решать как линейные, так и нелинейные системы. Поэтому для решения систем линейных дифференциальных уравнений можно применить формулу (5-45) без линеаризации (5-42). [c.336]

При исследовании устойчивости в малом процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, обычно используется система уравнений, полученная линеаризацией в окрестности стационарного режима первоначальной нелинейной системы. При этом необходимо решить две задачи 1) найти критерий устойчивости нулевого решения линеаризированной системы 2) показать, при каких условиях из устойчивости нулевого решения линеаризированной системы следует устойчивость стационарного режима первоначальной системы. Ниже обсуждается только первая задача в предположении, что за исключением каких-либо критических случаев, по-видимому, для большинства физических систем при изучении устойчивости в малом достаточно ограничиться исследованием первой задачи. Конечно, это не снимает необходимости строгого решения второй задачи. [c.230]

Линейная система устойчива, если действительная часть всех ее собственных значений отрицательна. Такое определение неверно для линейных систем, где возможных форм решения бесконечно много тем не менее линеаризация может служить звеном между линейными и нелинейными системами, если она применяется с должным пониманием ограничений. Этот вопрос мы будем рассматривать в основном в гл. IV. [c.71]

Изложенные выше рассуждения окажутся неверными, если линеаризованная система имеет равные нулю собственные значения. Этот предельный случай не может быть, строго говоря, назван неустойчивым. Однако теперь (IV, 29) удовлетворяется только при ц = 0. Следовательно, у-область по (IV, 33а) оказывается равной нулю. Полная нелинейная система может быть в этом случае устойчивой или неустойчивой, ее нельзя исследовать С помощью линеаризации. Таким образом, нелинейная система (IV, 23) имеет устойчивое в малом стационарное состояние, если решение аппроксимированного уравнения (IV, 22) асимптотически устойчиво и если применимо условие (IV, 24). [c.81]

Математическая сущность метода Брауна достаточно полно и ясно изложена в работе [279], поэтому опишем кратко лишь его основную идею. Метод заключается в последовательной линеаризации каждого из уравнений исходной нелинейной системы, получении из этого линеаризованного уравнения явного выражения очередной переменной и подстановки ее во все нелинеаризованные уравнения. И так до тех пор, пока не будет получено выражение для последней переменной, в котором она уже не зависит от других переменных. Далее осуществляется обратный ход (как и в методе Гаусса) для получения искомых значений всех переменных. [c.121]

Опишем процесс линеаризации для системы нелинейных уравнений состояния (5.36). Обозначим в исходной нелинейной системе векторы переменных входа, выхода и состояния прописными буквами X, У, V, соответственно. Тогда [c.139]

Для предварительного формирования замкнутого контура регулирования МЭЗ значительный интерес представляет линеаризованная модель электрохимической ячейки, дающая возможность судить о устойчивости и качестве регулирования нелинейной системы в малом. Линеаризация уравнений (25)—(27) может быть проведена путем их разложения в ряд Тейлора с последующим отбрасыванием членов второго и более высоких порядков малости. [c.125]

При анализе систем нелинейных дифференциальных уравнений используется техника квазилинеаризации [3], базирующаяся на линеаризации правой части системы (3.78) по зависимым переменным и замене однократного решения исходной системы нелинейных дифференциальных уравнений многократным решением модифицированных систем линейных дифференциальных уравнений. [c.211]

Перемещение изображения участка микрошкалы с помощью отклоняемой пластины (или зеркала) связано с дополнительной погрешностью, обусловленной нелинейным характером зависимости между перемещением изображения и углом поворота делительного устройства. Для исключения или уменьшения погрешности, обусловленной нелинейностью указанной зависимости, в конструкции отсчетных устройств вводятся системы линеаризации. [c.43]

Уравнения, описывающие процессы в физических полях, зачастую бывают нелинейными. Однако при аналитическом исследовании там, где этО возможно, их линеаризуют, что дает возможность воспользоваться преимуществами метода суперпозиции. Линеаризация представляет собой некоторое приближение, и поэтому следует ожидать, что линеаризированное решение достаточно хорошо описывает истинное поведение только в случае малых нелинейностей системы. Иными словами, если нелинейности велики, то для правильного объяснения поведения системы их необходимо учитывать. Такой системой из области механики является, например, жесткая или мягкая пружина. В качестве примера из гидродинамики можно привести задачу о росте пограничного слоя и задачу о распространении ударных волн. [c.41]

Отметим, что линеаризация проведена только для сокращения объема вычислений разработанные методы [158, 159] позволяют интегрировать нелинейные системы типа (2.117) при условии конечности полных сечений рассеяния [153—155]. [c.86]

Посмотрим теперь, каким может быть диапазон изменений величины коэффициента I в исходной нелинейной системе на рис. 9.3. Легко видеть, что введенный в модель механизм теплоотдачи работает только при V < 37. При изменении значения температуры среды 1 1, при котором происходит линеаризация, значение коэффициента [ в линеаризованном уравнении (9.16), обеспечивающее инвариантность переменной х, должно меняться. Например, при XI = 37, 35 это значение оказывается равным / = 1/( 1 — К,) = 0,500. Таким образом, диапазон изменения /, обусловленный одним лишь нелинейным характером исходной системы (9.15), существенно превышает взятую выше величину 0,1, так что изменение температуры X при постоянном значении коэффициента I только из-за изменения температуры среды может составить один-два градуса. [c.279]

У — выходная переменная, вектор выходов в нелинейной системе до линеаризации, [c.297]

Система (5.222) может быть названа линеаризованной по сравнению с нелинейной системой (5.31), так как она получена из нее путем линеаризации, заключающейся в игнорировании величин второго (и вьше) порядка малости. [c.523]

Математическим описанием колонны является система уравнений, включающая уравнения баланса общего и покомпонентного, уравнения для фазового равновесия. Уравнения покомпонентного материального баланса тарелок можно рассматривать как систему нелинейных разностных уравнений первого порядка. Неизвестными здесь будут составы и отношение потоков пара и жидкости. Линеаризация системы уравнений производится разложением в ряд Тейлора до членов первого порядка. Для системы нелинейных разностных уравнений первого порядка [c.329]

Уравнения (1.21) и (1.11) можно назвать линеаризованными по сравнению с нелинейной системой (1.5), так как оно получено из нее путем линеаризации, заключающейся в отбрасывании малых второго и выше порядков. Необходимо исследовать, всегда ли допустима такая операция. [c.15]

Распространенным способом решения системы нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона — Рафсона, в основе которого используется линеаризация исходной системы в окрестности некоторого начального приближения с последующим уточнением решения. Линеаризация производится разложением функции в ряд Тейлора до членов первого порядка включительно. [c.301]

Мембраны в общем случае следует рассматривать как распределенные системы, кинетическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями (1.26) или (1.27). В таких системах вдали от равновесия возмущения, являясь функцией времени и координаты, могут развиваться, конкурируя со стабилизирующими их диссипативными эффектами, обусловленными нелинейностью химических реакций. Анализ устойчивости подобных систем методом линеаризации достаточно сложен. В частности, для однородных в пространстве, но периодических во времени распределений концентраций в одномерной системе с одной переменной х получено следующее решение [4] для возмущения [c.37]

Алгоритм основан на матричном представлении математического описания, заданного в виде дифференциальных или алгебраических уравнений, с последующей линеаризацией нелинейных зависимостей. Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида [c.336]

Первая охватывает все случаи, когда для представления поведения ФХС (в общем случае нелинейной) достаточно выполнить процедуру линеаризации и исследовать движение системы в окрестности заданного установившегося режима. [c.343]

Заметим, что описанный прием линеаризации для конструирования нелинейных фильтров не всегда эффективен. Так, если начальные оценки слишком грубы или если возмущения настолько велики, что линеаризация приводит к неадекватному описанию системы, то резко повышается вероятность получить расходящееся решение. [c.456]

Чтобы в деталях проследить процесс линеаризации и исследования устойчивости конкретной системы, рассмотрим вывод критерия устойчивости в малом нелинейных моделей проточных реакторов с перемешиванием. Отправной точкой исследования является уравнение (III, 40), из которого следует, что собственные значения для системы второго порядка оба отрицательны, если (и только если) [c.83]

Методы решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, использующие идею локальной линеаризации, имеют два аспекта 1) локальная линеаризация, т.е. способ приближения нелинейной систе мы ОДУ на шаге интегрирования линейной, и оценка величины возникающей при этом ошибки 2) выбор способа решения линейной системы. [c.142]

Полученная система состоит из нелинейных дифференциальных уравнений, решение которых возможно либо путем их линеаризации, либо численными методами. [c.157]

В системах регулирования в большинстве случаев нет линейной зависимости выходной величины каждого звена от входной. Однако для упрощения решения систем дифференциальных уравнений и их анализа производят линеаризацию уравнений звеньев. Для этого разлагают уравнение движения звена в ряд Тейлора и ограничиваются двумя первыми членами разложения. В тех случаях, когда требуется большая точность расчетов или когда система находится на границе устойчивости, число членов разложения увеличивают. Линеаризованные уравнения достаточно точно описывают поведение системы. Если функции, описывающие движение звеньев, не могут быть разложены в ряд Тейлора, то система регулирования называется нелинейной и способ ее решения будет в каждом отдельном случае различный. [c.282]

Оценка точности воспроизведения нелинейных зависимостей ограниченным числом членов ряда Тейлора. Сосредоточенная математическая модель поверхностного конденсатора и технологического комплекса была получена линеаризацией системы уравнений в предположении возможности представления приращения нелинейных функций линейной формой ряда Тейлора. Используемый прием является общепризнанным в практике математического моделирования объектов управления, когда колебания режимных параметров не превышают 10 % отклонения от их номинальных значений. В то же время линеаризованные функциональные связи между параметрами Q< >, [c.181]

Одним из основных методов линеаризации уравнений является метод, основанный на описании элементов и систем в малых отклонениях переменных от тех значений, которыми определяются невозмущенные, в частном случае равновесные, состояния элементов и систем. Метод состоит в следующем. Предположим, что выходная у и входная и величины элемента или системы связаны нелинейным уравнением [c.29]

Математическое описание процессов, возникающих в реальных элементах и системах, обычно приводит к более сложным уравнениям, чем уравнение (2.3). Однако, несмотря на сложность изучаемых процессов, уравнения динамики почти всегда удается линеаризовать путем перехода к малым отклонениям переменных, в тех случаях, когда входящие в них нелинейные функции раскладываются в ряд Тейлора в окрестности выбранной точки линеаризации. Если такое разложение невозможно, то полученная матема- [c.32]

Из приближенных методов наиболее широко используется метод гармонической лннеар>1зацни, который близок к методу гармонического балажа Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, а по результатам к методу малого параметра Б. В. Булгакова. В методе гармонической линеаризации по сути дела распространены частотные методы исследования линейных систем на нелинейные системы. [c.174]

Предлагается новый метод определения р (0), свободный от указанных недостатков и не использующий в процессе принятия решения о численных значениях 0 процедуру линеаризации исходной кинетической модели. Суть метода состоит в построении выборочной плотности распределения параметров нелинейной модели в виде разложения по биортогональной системе полиномов Чебышева—Эрмита. Причем необходимые для расчетов коэффициентов разложения выборочные реализации случайного вектора наблюдений генерируются с использованием метода статистиче ского моделирования [24, 25]. [c.184]

Проиллюстрируем второй метод дискриминации конкурирующих моделей на простом числовом примере, рассмотренном ранее (рис. 4.2—4.4). Дополнительно полагаем следующее. Заданы две конкурирующие модели для системы двух необратимых мономолекул ярных реакций. В качестве первой выбрали нелинейную кинетическую алгебраическую модель этих реакций, в качестве второй — полученную в результате линеаризации по параметрам первой модели. Причем линеаризация проводится в окрестности истинных значений параметров. Следовательно, при проведении дискриминации этих конкурирующих моделей будет выявляться влияние линеаризации уравнений на вид выборочной плотности распределения отклика (что характеризует пригодность модели для целей последующего моделирования и управления изучаемого [c.199]

В качестве одной из возможных конструкций фильтра для данной системы может служить модификация линейного фильтра, рассмотренного выше. Смысл модификации состоит в том, чтобы линеаризовать нелинейные функции л g . ж затем вместо матриц А (А ) и С к) в соотношения линейного фильтра подставлять линейные члены разложений соответствующих рядов Тейлора в окрестности решения задачи оценки. Эту линеаризацию можно выполнить двояко либо относительно номинальной траектории системы, либо от шага к шагу относительно текущих оценок, начиная с априорных оценок, т. е. выполняя непрерывную релинеаризацию. [c.455]

Функциональный оператор адсорбера А 1вх(0> вх(0. G t), 0свх(О, ф(0 0i- p(O. 0с вых (О , очевидно, является нелинейным, поскольку в уравнения (5.3.1) — (5,3.3) входят нелинейные члены произведения входных, выходных и внутренних параметров и нелинейная функция х((5,ф). Произведем линеаризацию системы уравнений (5.3.1) — (5.3.3). В предыдущем разделе была подробно описана процедура линеаризации системы уравнений, описывающих процесс ректификации на отдельной тарелке ректификационной колонны. Метод линеаризации математической модели процесса адсорбции в общих чертах совпадает с аналогичным методом, использованным при линеаризации математической модели процесса ректификации. В связи с этим в настоящем разделе процедура линеаризации системы уравнений (5.3.1) —(5.3.3) будет изложена более сжато, без подробного разъяснения каждо- [c.237]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Оптимальное периодическое управление можно попытаться определить на основе прямого расчета исходного математического описания, основываясь на интуитивных соображениях и хорошо понимая особенности исследуемой системы. Так было сделано, на-пржмер, в работах [И, 12]. При эффективных циклических режимах, близких к оптимальным, достаточно часто линейная составляющая математической модели имеет решающий вклад. Такое преобладание линейной части перед нелинейными составляющими модели, решенпе которой представляется в виде соответствующей суммы, может являться достаточным качественным условием применяемости метода гармонической линеаризации для оценки основных среднепнтегральных характеристик оптимального управления [13]. [c.133]

Существует два основных подхода к расчету статических режимов с. х.-т. с. Первый подход, восходящий к Нагиеву [66], заключается в линеаризации моделей блоков и решении системы уравнений относительно параметров всех потоков схемы. Второй подход (который может быть назван декомпозиционным) основан на выделении множества потоков (обычно при этом стремятся получить потоки с минимальной суммарной размерностью), позволяющего разорвать все обратные связи в схеме и решать систему нелинейных уравнений относительно параметров выделенных потоков (см. главу IV). Программа РСС базируется на втором подходе. [c.270]

В случаях, когда решаемая численно система жестких обыкновенных дифференциальных уравнений существенно нелинейна, наиболее оправданным, по-видимому, является применение разностных методов, из которых в настоящее время наиболее эффективным является метод Гира. В случаях, когда спектр якобиана содержит большие положительные собственные значения, целесообразно использовать методы локальной линеаризации. [c.147]

В общем случае дис[)ференциальные, интегральные и алгебраические уравнения, описывающие процессы в системах автоматического регулирования и управления, являются нелинейными. Однако если ограничиваться рассмотрением малых отклонений переменных величин относительно значений, соответствующих установибшемуся состоянию системы, то открывается возможность линеаризации нелинейных уравнений с последующей заменой их приближенными линейными уравнениями. При этом нели- [c.24]