Метод конечных разностей решения кра

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л. С- Лейбензона также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентность газа и т.д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось, что использование функции Лейбензона в форме (6.2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (6.2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтрации во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры. [c.183]

Важный фактор эффективного использования численного моделирования— специально разрабатываемые методы вычислений. Наиболее широкое применение для решения краевых задач подземной гидромеханики получили метод конечных разностей и метод конечных элементов. [c.381]

В этих случаях для решения задач целесообразно использовать метод конечных разностей. Дискретный аналог области, в которой ищется решение, представляется в виде сетки (см. рис. 13.2), поэтому метод конечных разностей иногда называют методом сеток. Отдельные точки сетки называются узлами. Если шаги сетки Ал и Дг постоянны, то сеточная область (сетка) называется регулярной. В общем случае использование регулярной сетки предпочтительно, но иногда целесообразно использовать и нерегулярные сетки с переменными шагами. [c.385]

После дискретизации области и построения дискретного аналога краевой задачи необходимо оценить сходимость конечно-разностного решения к точному решению исходной задачи, а также получить конечно-разностное решение, т.е. решить систему конечно-разностных уравнений. Реализация этих двух этапов представляет основные принципиальные трудности при практическом использовании метода конечных разностей. [c.387]

Метод проб и ошибок наиболее распространен при решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях этот метод поиска начальных условий приводит к задаче с неустойчивым решением. Тогда единственно возможным методом решения краевых задач на АВМ становится метод конечных разностей, приводящий к алгебраическим уравнениям. Моделирование же последних связано с большими трудностями и значительными погрешностями. Поэтому, несмотря на ряд очевидных достоинств, применение аналоговых машин для целей математического моделирования химических процессов из-за указанных причин является весьма незначительным по сравнению с цифровыми вычислительными машинами. [c.12]

По этой причине интегрирование методом конечных разностей вблизи 2 = 0 невозможно, и приходится прибегать к аналитическому решению. В решениях, обычно встречающихся в литературе, [c.213]

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

Созданы и более эффективные, чем такой пристрелочный , методы. В частности, широко используется метод конечных разностей. Проиллюстрируем его на примере решения уравнения второго порядка [c.148]

Для решения уравнений в частных производных одним из широко применяемых методов является метод конечных разностей [12—14]. [c.272]

Для решения системы уравнений (7.83)—(7.96) метод конечных разностей, алгоритм которого рис. 7.12. [c.304]

Комбинируя уравнения (4.28)-(4.29), описывали полный цикл работы колонны. Решение дифференциальных уравнений осуществлялось методом конечных разностей. На рис. 4.13 дано сравнение вычисленных значений общей эффективности ступени для обычного и циклического режима. [c.214]

Решение системы уравнений (92) получено численным методом с использованием метода сеток. При этом дифференциальное уравнение с частными производными заменялись эквивалентными уравнениями в конечных разностях. Решение произведено в декартовых координатах г, х (рис. 90). В этом случае узловые точки, для которых выполнены вычисления, отстояли на равном расстоянии одна от другой во всей вычисляемой области. [c.170]

Вследствие вышесказанного возникает необходимость применения расчетных методов при изучении температурных полей КСП и соды. Данные методы подразделяются на аналитические и численные. Аналитические методы применимы, в основном, для простых тепловых процессов, в которых учитывается небольшое количество факторов. Для сложных тепловых процессов решения можно получить только с помощью численных методов с применением ЭВМ. К числу таких методов относится метод конечных разностей, который получил широкое распространение в последние десятилетия. Он характеризуется относительной простотой получения базовых уравнений и реализации алгоритма решения на ЭВМ. [c.70]

Уравнение (П.6) позволяет вычислить значение X параметра на выходе из буферного сосуда в зависимости от его значения на входе. В общем случае, когда флюктуации не подчиняются какому-нибудь определенному закону, решение можно получить путем последовательных приближений с помощью метода конечных разностей. [c.42]

Полученное значение т заметно отличается от найденной точной величины (стр. 151), что наглядно указывает на приближенный характер решения методом конечных разностей. Однако, пользуясь этим методом, можно получить и значительно более точный результат, если разделить пластину на большее число слоев. [c.153]

Отверждение или плавление листа из полимера (числовое решение методом конечных разностей)................. [c.7]

Ранее было установлено, что теплофизические свойства полимеров (к, р, Ср) существенно зависят от температуры. Следовательно, исходное дифференциальное уравнение (9.3-1) нелинейно. Известно только несколько аналитических решений нелинейного уравнения теплопроводности, поэтому приходится применять численные методы решения (метод конечных разностей и метод конечных элементов). Тем не менее существует некоторое количество приближенных аналитических методов, включая интегральный метод Гудмана [5]. [c.261]

В методе конечных разностей (МКР) дифференциальное уравнение заменяется аппроксимирующими конечными разностями, а область, в которой отыскивается решение, покрывается сеткой дискрет- [c.267]

Для перехода к конечно-разностной формулировке заменим не прерывное пространство набором узловых точек I, как показано на рис. 9.9, с I = 1 на осевой линии в начале координат и i = I на стенке ( -= 1). Расстояние между узлами обозначим Д . Прежде чем продолжить формулирование задачи для решения методом конечных разностей, рассмотрим применение этого метода для сходной задачи, но без фазового перехода и с неизмененными теплофизическими свойствами. Для этого случая уравнение (9.4-8) сводится к виду [c.269]

Так как точное аналитическое решение большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений, даже если они линейны, представляет значительные трудности и едва ли возможно, если уравнения нелинейны, то должны быть использованы приближенные методы решения. Метод конечных разностей позволяет решить эту задачу. Решение задачи нестационарного режима теплопередачи — это, по существу, выбор начальных значений температуры. Иначе говоря, если известна температура 0 в некотором узле / для момента времени т, то определяется температура 0,- того же узла I, ио для времени т -Ь Ат, где Ат— произвольно принятое при- [c.270]

Участок полностью развившегося течения. В процессе заполнения формы большая часть расплава участвует в почти полностью развившемся течении в узком зазоре между холодными стенками полости формы. Характер этого течения определяет время заполнения формы, ориентацию в центральной части изделия, а также условия недолива. Существенный интерес представляет анализ одномерного (радиального или осевого) течения горячего расплава между холодными стенками. Необходимость одновременного решения уравнения движения и уравнения энергии исключает возможность применения аналитических методов и заставляет использовать численные методы, например метод конечных разностей. [c.527]

Метод МКЭ представляет собой разновидность способов приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений движения сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функций, описывающих поле некоторых скалярных или векторных величин (давлений, скоростей). При использовании этого метода непрерывная область или тело подразделяется на конечное число подобластей (рис. 16.5). Каждый элемент может иметь свой собственный размер и свою форму, которые выбирают так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам тела Этот метод МКЭ отличается от метода конечных разностей, при ко тором используется сетка с ячейками одинакового размера, описы ваемыми теми же координатами, что и тело. Точки пересечения кри вых, ограничивающих соседние элементы, называются узлами Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомое решение Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треуголь ную, прямоугольную или четырехугольную форму (см. рис. 16.5) при решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая изменение определяемого параметра. Выбранные аппроксимирующие функции называются пробными функциями или пространственными изменяемыми моделями. [c.596]

Метод конечных разностей применим для решения уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. При этом расчетная область разбивается на счетные ячейки. Производные от функций заменяются конечными разностями с помощью тех или иных соотношений. Этим методом решаются стационарные и нестационарные задачи для дозвуковых, сверхзвуковых и смешанных течений. Предложено большое количество разностных схем для решения конкретных задач, применимых к уравнениям разного тина. [c.267]

Процессы вытеснения нефти растворами двух примесей изучены в работах [17-19] на примере неизотермического полимерного заводнения. В работах [18, 19] строятся решения задач вытеснения нефти горячим полимерным раствором из неразрабатывавшегося пласта, в работе [17] — из обводненного пласта. Интересной особенностью рассматриваемых задач является неединственность решения — в работах получены три решения некоторых задач фронтального вытеснения. Для выбора истинного решения задача решается на ЭВМ методом конечных разностей. [c.179]

Наряду с описанным выше методом конечных разностей и расчетом на ЭВМ представляет интерес, даже в ущерб точности, нахождение аналитического решения задачи. Подробнее решение может быть получено для поверхности с постоянной температурой и для поверхности с такой переменной температурой стенки, когда на всем ее протяжении парциальным давлением рст можно пренебречь по сравнению с давлением в ядре потока Ро. [c.172]

В ряде случаев течения в свободноконвективном пограничном слое точное решение определяющих уравнений методом автомодельности невозможно. Тогда можно обратиться к методам возмущений или локальной автомодельности или к численному решению методами конечных разностей или конечных элементов. В большинстве случаев эти методы достаточно сложны, поэтому в качестве альтернативы можно воспользоваться интегральными методами, дающими простые приближенные решения уравнений пограничного слоя с приемлемой точностью. [c.161]

Гольдштейн и Ло 163] получили методом конечных разностей численные решения для нагретой планки. Предположения теории пограничного слоя не использовались. При 40корреляционная формула для коэффициента теплообмена Nu =0,621 Ra / . Рассчитанные по этой формуле величины всего на 4 % ниже, чем в автомодельном решении Пера и Гебхарта [130]. [c.236]

Наличие поперечной циркуляции жидкости предполагает существование вертикальной составляющей иу скорости потока. Теоретическое распределение скорости Уу можно было бы получить решением уравнения (4.98). Однако неявность вида функций (др1ду)к = (х, у) делает невозможным аналитическое решение указанного уравнения. Поэтому профиль скорости иу находился численным методом (методом конечных разностей) решения уравнения (4.93) с помощью ЭВМ (рис. [c.181]

Это дифференциальное уравнение не поддается аналитическому решению ввиду отсутствия данных о зависимости температур 0 и I2 от длины слоя. Для его рещения Паштори, Шугерл и Бакос воспользовались методом конечных разностей. Слой катализатора был разбит на несколько частей вдоль оси. Тепловой баланс для каждой части имеет вид [c.173]

Для решения уравнений в Частных п )6йзвбдн4лх Одййм Из широко прймбЁяе-мых методов является метод конечных разностей [12—14]. Воспользуемся методом прямых, идея которого состоит в замене частных производных конечными разностями и сведении исходных уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [13]. Решение последней может быть выполнено методом, рассмотренным в примере 6. [c.56]

Эквивалентная задача (впрочем, как и исходная) представляет собой задачу на условный экстремум, для решения которой использовалась условная оптимизация метод уровней и метод модифицированной функции Лагранжа. Для выполнения безусловной минимизации составной функции (нижний уровень оптимизации) применялись методы квазиньютоновского типа — DFP, BFGS, SSVM [см. (III, 81), (111,84)1. Расчет производных минимизируемой функции выполнялся как аналитически — с привлечением сопряженного процесса [3, с. 142], так и методом конечных разностей, что позволило провести сравнение результатов оптимизации по эффективности и точности решения . [c.146]

В 1963 г. авторы [29, 30] с помощью конечно-разностного метода получили решение для двумерной ламинарной естественной конвекции в прямоугольном канале с обогреваемой и охлаждаемой вертикальными стенками и с теплоизолированными или частично теплопроводными горизонтальными стенками. Результаты этого и многих последующих решений, полученных с помощью метода конечных разностей и метода взвешенных невязок, показали их применимость в пределах более широкой области пара-метроЕ. В этой связи эти результаты использовались здесь вместе с экспериментальными данными для оценки корреляционных уравнении. [c.300]

При изложении методов решения рассмотрены следующие вопросы 1) преобразование Лапласа — Карсона, принцип соответствия и его численная реализация 2) вычисление эффективных модулей 3) асимптотические методы механики композитов — метод гомогенизации и метод Бахвалова — Победри 4) метод осреднения в динамических задачах 5) эффекты дисперсии и затухания волн в полимерах и композитах 6) динамические эффекты, связанные с неоднородностью конструкций 7) вариационные постановки краевых и начально-краевых задач и их реализация по методу конечных элементов 8) принципы построения автоматизированной системы научных исследований (АСНИ) на базе метода конечных элементов 9) метод конечных разностей 10) метод характеристик и метод геометрической оптики для слабо неоднородных комнозитов. [c.6]

Аналитические (формульные) решения краевых задач механики полимеров и композитов, примеры которых были приведены в гл. 3, удается получить только при очень жестких предполо-н<епиях относительно свойств матерпала и геометрии конструкции эти решения, как правило, дают только качественное описание исследуемого явления пли процесса. Ужесточение требованпй к уменьшенпю материалоемкости конструкцип при сохранении ее прочностных и жесткостных характеристик приводит на этапе проектирования к необходимости привлекать численные методы и ЭВМ, позволяющие получить подробную численную ппфо1 ыа цию. В настояш ей главе будут затронуты три вопроса, относящиеся к группам численных методов и их реализации иа ЭВМ. Отметим, прен- де всего, что наиболее широко распространенные в настоящее время численные методы по их внутренней структуре, определяющей характер их реализации на ЭВМ, условно можно разделить на две группы. Методы первой группы (методы конечных элементов (МКЭ) и некоторые варианты метода конечных разностей (МКР)) характеризуются тем, что в процессе пх использования формируются матрицы систем уравнений, как правило, большой размерности с применением специальных способов упаковки и хранения, с последующим обращением. Методы второй группы — шаговые, с преобразованием массивов искомых параметров в определенной иоследовательности, без формирования матриц систем, а по существу, с вычислением заново элементов этих матриц на каждом шаге — переходе с одного временного слоя иа другой или от одной итерации к следующей. [c.157]

К методам второй группы относятся явные (полуявные) схемы метода конечных разностей для решения нестационарных задач теплопроводности и распространения волн. Конечно, это раз-биепие методов иа две группы в значительной мере условно, тем не мепее оно позволяет сориентироваться пользователю в выборе метода решения нужной задачи, исходя из имеющихся в его распоряжении машинных ресурсов. Так, методы первой группы требуют больших затрат машинной памяти, но по количеству операций они экономичнее методы второй группы могут быть реализованы на машинах с небольшой оперативной памятью (с многочисленными прерываниями, причем информация в конце каждого шага или этана имеет, как правило, практическую ценность), однако для достижения высокой точности требуются боль- [c.157]

На конечные свойства горячештампованных днищ, применяемых при изготовлении нефтегазохимических аппаратов, оказывает влияние множество факторов, из которых к числу наиболее существенных относятся параметры термического цикла штамповки. Установление закономерностей изменения температурных полей системы заготовка-штамповая оснастка является важным условием при проектировании оптимального технологического процесса изготовления днищ или совершенствовании существующего. Имеются экспериментальные и расчетные методы исследования температурных полей в термических процессах. Экспериментальные методы применяются, чаще всего, для проверки результатов расчета температурных полей. Расчетные методы подразделяются на аналитические и численные. Первые, применимы, в основном, для простых тепловых расчетов, в которых учитывается небольшое количество факторов [1]. Для сложных тепловых процессов решения можно получить только с помощью численных методов с применением ЭВМ. К числу таких методов относится метод конечных разностей [2], который получил широкое распространение в связи с появлением мощных компьютеров. Он характеризуется относительной простотой получения базовых уравнений и реализации алгоритма решения на ЭВМ. [c.280]

В рассмотренных примерах решались задачи теплопроводности в полуограничен-ных телах с разными допущениями относительно теплофизических свойств твердого тела. Хотя решения, которые получены в этих примерах, являются весьма полезными приближениями и ими следует пользоваться при анализе проблемы теплопроводности, во многих реальных случаях плавления и отверждения полимеров положение осложняется тем, что одновременно имеют место как фазовые переходы, так и температурная зависимость теплофизических свойств. В подобных случаях приходится обращаться к численным методам, в частности к методу конечных разностей, рассмотренному в следующем разделе. Дополнительные преимущества численных методов заключаются в том, что они могут применяться при сложной геометрии и различных граничных условиях. Тем не менее многочисленные аналитические решения задач теплопроводности при различных конфигурациях теплового потока и разных граничных условиях вошли в классические труды [9, 10], и хотя большинство решений получено для постоянных теплофизических характеристик, они очень полезны для анализа процессов переработки полимеров. Обзор этих решений и математических приемов, с помощью которых они были получены, выходит за рамки дан- [c.265]

Возвращаясь к угловым головкам для экструзии труб, отметим, что для расчета течения в головке необходимо смоделировать двумерное течение в 2- п 0-направлениях. Это достаточно сложная задача. Впервые модель течения в узких головках была предложена Пирсоном 169]. При моделировании область течения выпрямили и рассматривали двумерное течение в прямоугольных координатах между двумя пластинами. Расстояние между пластинами может изменяться таким образом, чтобы величина расхода оставалась неизменной. Формующая щель головки имеет постоянное сечение и образована двумя концентрическими цилиндрами. Результирующие расчетные уравнения имеют сложный вид, и их решение требует использования ЭВМ. Тем не менее можно получить результаты для изотермического течения как ньютоновских, так и степенных жидкостей. Гутфингер, Бройер и Тадмор 170] решили эту задачу, применив метод конечных разностей (МКР), рассмотренный в гл. 16. Этот приближенный, но сравнительно простой метод очень удобен для решения задачи двумерного медленного течения в узких зазорах. Результаты, полученные при помощи МКР, идентичны результатам Пирсона, но на их получение затрачивается меньше машинного времени. [c.493]

Особенностью метода МКЭ является его гибкость при описании систем со сложной геометрией и смешанными граничными условиями (например, граничные напряжения и скорости в задачах об эластическом восстановлении). Более того, в вычислительном отношении МКЭ очень прост. Он не только позволяет разбить область со сложными границами на хорошо укладывающиеся в ее контуры конечные элементы, но также и использовать конечные элементы с переменными размерами и изменяющейся формой. Этим достигается возможность получать уточненные решения в критических местах (углы, резкие изменения профиля и т. п.), не применяя чрезмерно мелкой сетки в остальных областях, к чему неизбежно приходится прибегать, пользуясь стандартным методом конечных разностей. И наконец, как это указывалось Зенковичем [281, при определенном выборе функций метод конечных разностей можно рассматривать как частный случай общего подхода, развитого в рамках МКЭ. [c.598]

Интегрирование этого уравнения производится одновременно с интегрированием уравнений (16.4-1) и (16.4-2). Граничные условия состоят в постоянстве температуры на входе, которая при. нимается равной температуре поверхности валков. Решение этого уравнения было получено строгим методом конечных разностей (МКР), причем значения и dvJdy определялись посредством МКЭ. По данным авторов, сочетание методов МКЭ и МКР позволяет су-ш,ественно снизить требование к объему памяти компьютера и сократить время счета. [c.604]

Олейник О. А. О решении системы уравнений Прандтля методом конечных разностей,— Прикл. матем. и мехап., 1907, [c.246]

Постараемся описать теплообменник по отдельным зонам и свести решение задачи к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, независимой переменной в которых было бы время. Для этого используем метод конечных разностей, как было показано в предыдуга ем примере. [c.225]

Эти расчеты сравнивались с результатами других исследований, изложенных выше, а также с результатами Меркина [118], полученными методом конечных разностей. На рис. 5.4.5 представлено сравнение различных результатов при Рг = 1,0. На этом рисунке результаты Германна [74] при Рг = 0,733 пересчитаны на Рг = 1 путем интерполяции по данным Мерка и Принса [116]. Видно хорошее согласие результатов, полученных методом локальной неавтомодельности и численным методом конечных разностей. Из решений, найденных разложением в ряды, ряды Блазиуса дают результаты, близкие к двум указанным выше методам. Результаты расчетов Мерка и Принса, полученные интегральным методом, существенно [c.261]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология