Неравенство Коши

При фиксированной температуре мы получим теперь В совместных уравнений, которые должны быть разрешены относительно Л равновесных степеней полноты реакций. Интересно отметить, что любое предварительное упрощение этих уравнений путем возведения их в различные степени и умножения друг на друга эквивалентно линейному преобразованию исходной системы реакций. Таким образом, как и следовало ожидать, эквивалентные системы реакций приводят к одним и тем же равновесным составам. Можно показать, что эти уравнения всегда имеют единственное решение, так как их якобиан существенно положителен. Общее доказательство этого утверждения связано с применением неравенства Коши однако в случае двух реакций доказательство элементарно и будет дано ниже как упражнение. Поскольку при расчете равновесия сложного процесса вычисления могут быть громоздкими, важно следить за тем, чтобы число расчетных уравнений было минимальным. Для этого следует рассматривать только независимые реакции и использовать в качестве переменных их степени полноты. [c.58]

Следующее ограничение может быть найдено из неравенства Коши — Буняковского [c.145]

Правая часть (11,213) по неравенству Коши является неотрицательной (скалярное произведение векторов Я/"а и Я, /, не превосходит произведения их норм) и обращается в нуль лишь при условии Н.1 х = ХН / у1, т. е. в силу положительной определенности я/, при условии X = Хг/ , где X — некоторый скаляр. Таким образом, левая часть (11,212) неотрицательна. Покажем, что если р > О, то обращается в нуль лишь при а = О, [c.78]

Величину а можно интерпретировать как множитель, учитывающий вклад произведения У2 в сумме (Ю). Уравнение (10) дает возможность оценить значения а. Действительно, применив к правой части (10) неравенство Коши, имеем [c.134]

Базисные функции х всегда могут быть выбраны нормированными, тогда как ортогональными друг другу они быть не обязаны = 1, и в общем случае 5 О при к I (согласно неравенству Коши -Шварца s 1). Экстремум функционала [ф] - это то же, что и экстремум функции /, и достаточными условиями для его существования будут следующие Э/ / Зс = О и Э/ / дс = О для любого к (если вещественны, то эти два условия совпадают, если же комплексны, то и с"1 можно считать независимыми переменными, поскольку - ib , вещественные величины и Ь [c.147]

Харкер и Каспер [102], используя неравенство Коши [c.196]

Поскольку знак (Угл может быть + или —, очевидно, что, если Ун и /гл велики, величина /гл должна быть положительной. Два других неравенства могут быть получены путем использования неравенства Коши для суммы и разности двух единичных структурных факторов [c.197]

Из последнего равенства сразу же получается в абстрактной форме знаменитое неравенство Коши—Буняковского [c.115]

Сделаем несколько замечаний по поводу вывода формулы (18.2). Он представляет собой замечательный пример разделения труда. Пользователь, которому нужно данное неравенство, может и не подозревать о суш,ествовании гильбертовых пространств ему требуется конкретное неравенство. Зато он знает, что такое интеграл и каковы его свойства. С другой стороны, специалист по гильбертовым пространствам может (по крайней мере теоретически) иметь самое смутное представление об интегралах. Однако ему известно неравенство Коши в абстрактной форме. Схематически их диалог можно представить себе следующим образом. [c.123]

Специалист. Они напоминают абстрактное неравенство Коши. Попробуем определить скалярное произведение двух функций формулой (18.1). Если это удастся, то интегралы в правой части окажутся квадратами норм этих функций и неравенство (18.2) будет частным случаем неравенства Коши. [c.124]

С. Мы должны проверить, обеспечивает ли данная формула все те свойства, которые по определению должно иметь скалярное произведение и которые использовались при выводе абстрактного неравенства Коши. [c.124]

Возводя в квадрат общее уравнение (28) для Аа и используя неравенство Коши - Шварца [c.24]

Соотношение (10) между знаками амплитуд отражений h k l, h k"l" л h + h, k +k", l +Г остается справедливым и при уменьшении значений единичных структурных амплитуд до известных пределов. Установление этих пределов и является ближайшей задачей. Один из возможных подходов состоит в использовании известного математического неравенства Коши —Шварца, при помощи которого можно исключить из выражения (9) синусные члены суммы и связать между собой непосредственно единичные структурные амплитуды U h k l ), U h h l"), U h + h", k + k". I + I") и U h -h", k -k . I -I"). Неравенство Коши —Шварца позволяет записать и ряд других полезных соотношений между единичными амплитудами, разных для разных пространственных групп симметрии (см. 4). [c.249]

Это одно из простейших неравенств Харкера—Каспера, справедливое для любой центросимметрической структуры. Равенство, найденное для случая структуры с одним атомом, заменилось аналогичным неравенством. Подобным же образом можно установить и другие более сложные соотношения между единичными амплитудами, используя, с одной стороны, различные формулы преобразования тригонометрических функций, с другой — алгебраическое неравенство Коши—Шварца. Таковы математические операции, лежащие в основе метода, предложенного Харкером и Каспером в 1948 г. [c.258]

В качестве компонент а,- и неравенства Коши следует взять [c.260]

В качестве компонент a и bj неравенства Коши —Шварца следует взять [c.269]

Принципы, лежащие в основе генезиса неравенств Харкера—Каспера, просты. Схема вывода состоит в комбинировании определенных тригонометрических преобразований с алгебраическим неравенством Коши—Шварца. Вместе с тем этот подход оставляет некоторое чувство неудовлетворенности, так как в каждом конкретном случае заранее неясно, какую именно тригонометрическую формулу следует использовать, как разбить множители на компоненты Uj и Ь,-, сколько всего разных неравенств можно написать для данной пространственной группы и как найти самое сильное неравенство. [c.277]

Из неравенства Коши — Буняковского следует, что при т) Ф т,) всегда К (Е)>" < A i и при КЦ) Ф К 1г, W всегда Аи<<ЛГ(Е)>. [c.139]

На основании неравенства Коши — Буняковского [c.213]

По неравенству Коши — Буняковского для сумм [c.288]

С в не зависит от 8 и х), а также неравенство Коши — Буняковского для [c.289]

Применим к функции V ,. неравенство Коши [c.38]

Кроме того, для любого д справедливо неравенство Коши [c.87]

В силу неравенства Коши (и-Хь) < (1 +Л )g из (56) следует, что течение является сверхзвуковым. Кроме того, из (56) вытекает, что описание решения сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению на плоскости годографа. Оказывается, что последнее сводится к квадратуре. Для вывода этого уравнения надо перейти к полярным координатам (39), в которых величина Л равна [c.235]

Базисные функции всегда могут быть выбраны нормированными, тогда как ортогональными друг другу они быть не обязаны 5 = 1, и в общем случае 5 О при к I (согласно неравенству Коши -Шварца 5 s 1). Экстремум функционала [ф] - это то же, что и экстремум функции /, и достаточными условиями для его существования будут следующие й/ / Эс = О и Э/ / del = О для любого к [c.147]

По определению, (ф, Е)я = (Е, ф)н (Е Я , ф Я+). Очевидно, справедливо следующее обобщение неравенства Коши — Буняковского [c.14]

Для произвольного е > о найдется N (е) такое, что при п, т > > Л/(е) (Лр(/п —/т), /п —/ш)яо<е. Так как фундаментальная последовательность ограничена, то при помощи неравенства Коши — Буняковского получаем для п, т > N (е) [c.57]

Для любых векторов х, у справедливо неравенство Коши — Буняков-ского [c.262]

Легко убедиться, что при w = onst, т. е. в случае равномерного поля скорости в сечении F, величина т равна единице. Во всех других случаях числитель в (4) больше знаменателя и т > 1 (неравенство Коши — Шварца). [c.503]

Порядок связи в нейтральном углеводороде между атомами одного класса (со звездой или без) равен нулю. Проверка справедливости второго и третьего утверждений может быть проведена путем анализа матрицы плотности первого порядка бутадиена (8.79). Из утверждения 2 следует, что порядок связи между соседними атомами не может быть больше 1. Действительно, из неравенств Коши—Буыяковского следует [c.298]

Из утверждения 2 следует, что порядок связи между соседними атомами не может быть больше 1. Действительно, из неравенств Коши—Буыяковского следует [c.298]

К сожалению, любой класс марковских процессов, удовлетворяющих наложенным нами условиям, при V 3 оказывается пустым предложенное определение логически противоречиво, и уравнение (4.56) не является прямым уравнением марковского процесса. Нетрудно указать пробел в определении и в выводе УФП (4.56) из соотношения (4.55), разумеется, следует, что условие а (4.21) выполняется при б = v + 2 (или V + 1, если V нечетно). Кроме того, из соотношения (4.54) тривиально следует, что условия б и в также выполняются. Это означает, что марковский процесс, определяемый (4.54, 55), является диффузионным и его плотность вероятности перехода удовлетворяет УФП (4.45). Но тогда при V 3, таком, что дифференциальные моменты порядка п> V тождественно равны нулю, все дифференциальные моменты Ап Ху8) тождественно равны нулю при п> 2. Павула [4.5, 6] дал изящное прямое доказательство этого утверждения, используя лишь неравенство Коши—Буняков-ского — Шварца для математических ожиданий. [c.112]

Для того чтобы выяснить геометрический смысл левой части уравнения (12), напомним некоторые свойства билинейных форм. Согласно [6], если матрица билинейной формы хВр симметрична и невыроадена, то справедливо неравенство Коши - Шварца [c.50]

Для того чтобы новое соот1юшение могло принести какую-либо пользу, необходимо найти взаимосвязь между этими величинами. Для ее установления проще всего исходить из известного алгебраического неравенства Коши—Шварца [c.257]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология