Методы решения уравнений математического описания на ЭВМ

Методы решения уравнений математического описания на ЭВМ [c.110]

Типы уравнений. Значительное влияние на выбор метода решения системы уравнений математического описания и решение задач оптимизации оказывает конкретный вид -уравнений математического описания. Для характеристики свойств разных объектов моделирования обычно применяют конечные алгебраические [c.49]

Приведение математической модели ФХС к форме информационного потока в виде блок-схемы является промежуточной стадией между формулировкой уравнений модели и составлением программы счета их на ЭВМ. Именно эта стадия во многом определяет эффективность реализации численного решения уравнений математической модели. В настоящее время задачи этой стадии решаются методами блочно-ориентированного программирования [91. Следует отметить, что существующие методы блочно-ориентированного программирования характеризуются сравнительно невысоким уровнем формализации, требуют наличия полных аналитических описаний всех составных частей системы и эффективность этих методов в значительной мере определяется уровнем квалификации и интуицией исследователя. [c.204]

Расчет электронной структуры соединений, содержащих несколько электронов и ядер, на основе уравнения Шредингера наталкивается на математические трудности его решения. В связи с этим широкое развитие и распространение получили приближенные методы решения уравнения Шредингера. Большие успехи квантовомеханического описания сложных соединений достигнуты в настоящее время вследствие применения полуэмпирических методов, которые основаны на весьма общих теоретических соображениях и включают параметры, оцениваемые экспериментально с достаточной степенью точности. [c.51]

Выбор численного метода. При выборе метода для решения уравнений математического описания обычно ставится задача обеспечения максимального быстродействия при минимуме занимаемой программой памяти. Естественно, при этом должна обеспечиваться заданная точность решения. [c.23]

Число решаемых уравнений равно в общем случае сумме пара-метричностей разрываемых потоков. Если заданная точность решения не достигнута, то необходимо задать новые, уточненные значения x и хР. Так продолжается до тех пор, пока не будет обеспечена необходимая точность. Это приводит к многократному расчету разомкнутой ХТС, соответствующей данной замкнутой. Решение дополнительных уравнений — это своеобразная плата за последовательное решение уравнений математического описания ХТС. Достоинство данного метода состоит в том, что он позволяет рассчитывать стационарные режимы ХТС даже и тогда, когда отдельные ее элементы описываются дифференциальными уравнениями. [c.43]

Теоретический метод состоит в формулировании некоторой гипотезы относительно исследуемого процесса, получении на основе этой гипотезы и основных законов природы уравнений, описывающих этот процесс (так называемого математического описания процесса), и решении уравнений математического описания. Полученное решение, по существу, завершает исследование процесса теоретическим методом. [c.76]

Решение системы уравнений математического описания производится итерационным методом, который заключается в последовательном уточнении концентраций и величин потоков по тарелкам колонны. [c.313]

Для решения системы уравнений математического описания используется итерационный метод поочередного уточнения концентраций и величин потоков пара и жидкости [46]. На каждой итерации температурный профиль по ступеням разделения предполагается неизменным, зависящим от концентрации компонентов, рассчитанной на предыдущей итерации. При таком предположении система уравнений (IV, 187) оказывается линейной. [c.316]

Решение задачи на ЦВМ включает следующие этапы постановку задачи — формулировку модели процесса математическую формулировку задачи — составление математического описания выбор численных методов решения уравнений разработку общего алгоритма программирование выявление ошибок (отладку программы) решение. [c.30]

Современные методы решения задач разделения основываются на одновременном решении всех линеаризованных уравнений математического описания вследствие малой склонности этих методов к накоплению ошибок округления. К тому же при расчете взаимосвязанных систем снимается проблема задания топологии системы - все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений математического описания. Следует при этом отметить, что матрицы коэффициентов, описывающих систему колонн, являются неплотными и применение специальных методов хранения данных позволяет свести к минимуму объем занимаемой памяти. Поэтому разработка эффективной процедуры решения задачи линеаризации системы взаимосвязанных колонн разделения является актуальной. [c.253]

Моделирующий алгоритм в данном случае должен в принципе обеспечивать возможность решения представленной системы уравнений математического описания при любых значениях задаваемых параметров. Наиболее просто эта система может быть решена с использованием метода расчета от тарелки к тарелке , который заключается в последовательном выполнении следующих этапов расчета [c.72]

Таким образом, изложенный алгоритм решения системы уравнений математического описания ректификационной колонны представляет собой итеративную процедуру, в процессе применения которой определяют значение состава кубового остатка, удовлетворяющее общему материальному балансу, причем каждая итерация сопровождается расчетом по всем тарелкам колонны. Разумеется, что эффективность указанного метода решения существенно зависит от того, насколько эффективен способ уточнения состава кубового остатка. [c.73]

В случае решения задач оптимизации многостадийных процессов с сосредоточенными параметрами при применении метода неопределенных множителей наилучший способ не всегда заключается в решении общей системы уравнений (IV, 90), (IV, 92) — (IV, 94). Иногда, используя особенности математического описания оптимизируемого процесса, можно уменьшить порядок решаемой системы за счет соответствующих предварительных преобразований уравнений математического описания и сокращения числа вводимых неопределенных множителей. [c.169]

На этом первый этап решения оптимальной задачи методом динамического программирования заканчивается и дальнейший ход решения состоит в отыскании оптимальных величин 6i для всех реакторов каскада при заданных значениях х№ и < ), причем используется формула (VI, 83) совместно с уравнениями математического описания (VI, 68). [c.289]

Формально математическая задача расчета режима колонны при заданной совокупности внешних условий состоит в решении системы нелинейных уравнений высокого порядка. Прямые методы ее решения, известные из численного анализа, приводят к громоздким вычислениям, доступным лишь вычислительным машинам большой мощности. Поэтому обычно применяют методы, использующие особенности структуры системы уравнений математического описания. [c.259]

Математическое моделирование включает три взаимосвязанных этапа 1) составление математического описания изучаемого объекта 2) выбор метода решения системы уравнений математического описания и реализация его в форме моделирующей программы 3) установление соответствия (адекватности) модели объекту. [c.7]

После составления математического описания и постановки в случае необходимости соответствующих начальных и граничных условий необходимо выбрать метод решения, разработать алгоритм и составить программу решения системы уравнений математического описания. [c.19]

При выборе метода решения системы уравнений математического описания обычно руководствуются требованиями обеспечения максимальной быстроты получения решения, надежной сходимостью алгоритма решения к истинному и минимальной памяти ЭВМ. При этом должна обеспечиваться заданная точность решения. [c.19]

Для оценки коэффициента массопередачи К уа и равновесного состава у используют уже рассмотренные нами эмпирические соотношения. Таким образом, получают замкнутую систему уравнений математического описания процесса абсорбции. Эта система представляет собой краевую задачу, решение которой проводится методом факторизации (прогонки). [c.289]

Решение уравнений математической модели. Для этой цели применяются теоретические (из математической физики) или экспериментальные (из теории моделирования) методы. Последние дают количественную информацию физического или численного происхождения (в зависимости от того, применяется физическое или численное моделирование). В результате искомое решение представляется в виде функциональных соотношений, дающих количественное описание изучаемого явления. [c.8]

В гл. 1 отмечалось, что теория подобия не дает ответа на вопрос о конкретной форме зависимости между описывающими процесс критериями подобия, а только определяет вид критериев подобия из уравнений соответствующего математического описания и устанавливает принципиальную возможность взаимозависимости между выведенными критериями подобия. Поэтому можно сказать, что проведение опытов по теплоотдаче соответствует как бы экспериментальному решению (интегрированию) дифференциальных уравнений математического описания, которые не могут быть проинтегрированы аналитическими методами. [c.237]

Для проведения анализа периодических процессов в неподвижном слое используются численные методы решения системы уравнений математического описания, как правило, без учета эффектов продольного переноса массы и теплоты в основных дифференциальных уравнениях и в граничных условиях. [c.529]

При описании нелинейных случайных процессов с помощью функционального метода возникают серьезные трудности, связанные с новизной математического аппарата и с отсутствием не только общих методов решения уравнений в вариационных производных, которым подчиняются характеристические функционалы, но и самих формулировок задач. По существу, до недавнего времени была сформулирована лишь начальная задача о характеристическом функционале, описывающем турбулентное течение несжимаемой жидкости в безграничном пространстве. Между тем особенности [c.204]

Необходимо иметь в виду, что нельзя противопоставлять физическое и математическое моделирование. Совсем бессмысленно считать, что одно из них лучше или хуже другого. Для нас важно решить задачу, и мы на каждом этапе должны применять тот метод, который окажется более эффективным. Выше рассказывалось о задачах, в которых нельзя (или по крайней мере весьма трудно) построить модель, подобную оригиналу. Разумеется, здесь необходимо моделирование математическое. С другой стороны, всей мощи современной машинной математики недостаточно для решения уравнения Навье — Стокса в сколько-нибудь сложных случаях — здесь без теории подобия не обойтись. Во многих случаях физический эксперимент просто оказывается дешевле сложного расчета, хотя возможно и то, и другое. И наконец, необходимо иметь в виду, что, как правило, теория дает общий вид уравнений математического описания, а численные коэффициенты этих уравнений, [c.23]

Наличие математического описания процесса ректификации,, пусть даже с максимальной степенью точности отражающего основные его закономерности, еще не определяет возможности решения общей задачи математического моделирования, под которой понимается исследование процесса в широкой области изменения его режимных параметров. Математические описания процесса многокомпонентной ректификации представляют собой системы нелинейных алгебраических (для тарельчатых колонн) уравнений, аналитическое решение которых в общем виде получить невозможно. Для решения таких систем уравнений обычно используются итерационные методы, в соответствии с которыми решение определяется в виде сходящейся последовательности приближений. Разработка устойчивых итерационных схем решения систем уравнений математического описания и специальных методов обеспечения ускорения сходимости решения являются основными проблемами математического моделирования процессов разделения многокомпонентных смесей. [c.46]

Алгоритмически задача выбора технологической схемы состоит в разработке или выборе методов ее анализа, оценки, оптимизации и синтеза. На этапе анализа составляются уравнения математического описания, задаются переменные процесса и схемы, и в результате решения получается информация о потоках, температурах, давлении, составах, размерах и т. д. Оценка состоит в совмест-ном использовании информации с предыдущего этапа и экономических данных для определения целевой функции. Оптимизация состоит в поиске наилучшего набора переменных процессов. Традиционно разработка технологических схем проводится на основании итерационного выполнения указанных этапов, и лишь в последнее время стало уделяться внимание этапу синтеза, который призван объединить в себе все предыдущие этапы на основе некоторого метода. Известно большое число методов синтеза [4, 52], основанных на различных подходах, и многим из них присуща необходимость использования некоторого метода решения систем нелинейных уравнений или метода оптимизации. Последние используются для сведения материального и теплового баланса схем. Задачи решения систем уравнений и минимизации некоторого функционала взаимосвязаны и могут быть сведены одна к другой. Например, условием минимума функции Р х) является равенство нулю частных производных дР1дх1 = О, 1 = 1, 2,. . ., п, а система уравнений f х) = О, I = 1, 2,. . ., п, может быть решена путем минимизации соответствующим образом подобранного функциона- [c.142]

В частности, методы разделяются по количеству иерархических уровней (одноуровневые и многоуровневые), по порядку производных, используемых в процессе поиска решения и т. д. Наиболее широкое распространение в задачах анализа и синтеза ХТС находят методы нулевого (без вычисления производных) и первого порядков. Наряду с ними все более широкое применение получают и многоуровневые методы (в частности, двухуровневые), в основе которых лежит идея декомпозиции исходной задачи на ряд подзадач меньшей размерности. Использование линеаризации уравнений математического описания на первом уровне позволяет эффективно применять хорошо разработанный аппарат линейной алгебры. На первом уровне подсистемы рассчитываются независимо друг от друга, а второй уровень служит для координахщи оптимальных решений с целью достижения общего оптимума системы. Стратегия координации решений в целом может осуществляться с использованием алгоритмов явной или неявной декомпозиции. Одно из важных преимуществ метода многоуровневой оптимизации заключается в том, что с его помощью можно существенно сократить время решения общей задачи и требуемый объем оперативной памяти. Сокращение времени расчета может быть достигнутю за счет одновременной оптимизации подсистем с помощью параллельна работающих продессов ЭВМ. Однако следует отметить, что мыо-гоуровневые методы обеспечивают сходимость итерационного процесса только при определенных условиях, налагаемых как на целевую функцию и математическое описание, так и на декомпозицию исходной ХТС на подсистемы (4, 53]. К тому же доказательств условной сходимости многоуровневых методов практически нет. [c.143]

Таким образом, математическое описание азеотропдой и. экстрактивной ректификаций с расслаиванием по жидкой фазе включает Л (ЗА + 4) уравнений (7.241), (7.242), (7.116) — (7.118) и М 6к + 4) неизвестных переменных ЪНк мольных долей компонентов в паре и жидких фазах, ЪЫ значений потоков пара и жидкости, а также N значений температуры по высоте колонны. Система уравнений математического описания является нелинейной и для ее решения воспользуемся методом Ньютона—Рафсона. С этой целью запишем уравнения (7.241) в виде [c.357]

В общем случае зависимость скоростей стадий сложной реакции от концентраций реагентов и температуры нелинейна. По этой причине системы уравнений математического описания реактора идеального смешения также являются нелинейными, и их решение, как правило, требует применения соответствующих численных методов. [c.396]

Как указывалось выше, большинство уравнений математического описания представляют собой дифференциальные уравнения с краевыми условиями, заданными на разных границах слоя катализатора. Вообш,е говоря, решать такие уравнения можно как начальные задачи, подбирая ряд условий на одной границе, чтобы в результате расчета выполнить их на другой. Однако подбор краевых условий ( пристрелка ) связан с значительным числом решений одной задачи и поэтому не всегда целесообразен. Кроме того, описанный метод из-за возможной неустойчивости не всегда позволяет получить решение. Более эффективным методом решения стационарной краевой задачи является переход к сложной нестационарной. Оказывается, что при усложнении исходной системы уравнений нахождение решения в стационарном режиме значительно упрощается. В этом случае трудности, связанные с заданием краевых условий, отпадают, поскольку анализируется переходный процесс одновременно во всем слое катализатора из начального состояния в конечное стационарное, определяемое заданной исходной системой уравнений. При помощи рассмотренного метода удается создать общий подход к использованию численных методов, применение которых не зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса и знания приближенного решения. Помимо этого достигаются простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограничение объема перерабатываемой информации, быстрая сходимость расчетов и т. п. Решение нестационарных задач дает также возможность рассчитывать переходные режимы и влияние различных возмущений на течение процессов. [c.486]

Наконец, вычислительный аспект есть метод и алгоритм решения системы уравнений математического описания,, реализованные как моделирующая программа на одном Из язьп<ов программирования. [c.11]

Численное решение дифференциальных уравнений математического описания позволяет получать конечные данные при менее строгих ограничениях, при которых аналитические методы не могут быть использованы. Методика анализа математического описания конкретных процессов с помощью ЭВМ называется методом математического моделирования и широко применяется для расчета процессов при конкретных числовых значениях исходных данных. При этом результат получается в виде конкретных чисел (в известном намл1римере - для ДР . ) при конкретном наборе исходных данных ( 7, й, Ь, ц, р). Изменяя значения исходных параметров, путем численного решения дифференциальных уравнений математического описания полз чают зависимость конечного результата от исходных данных. Эти данные, как правило, представляются в виде аппроксимационных зависимостей, которые в дальнейшем могут быть использованы в качестве расчетных формул. Соответствие полученных с помощью математического моделирования результатов реальному процессу зависит от точности исходного математического описания. Примеры таких численных решений обычно рассматриваются в курсах вычислительной математики в данном курсе о численных методах говорится, в частности, в гл. 1, 3, б и др. [c.77]

Основным толчком к быстрому развитию методов математического моделирования химических процессов явилось бурное развитие электронной вычислительной техники. Математическое описание химических процессов представляется системой нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Аналитическое их разделение в настоящее время невозможно. И до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) приходилось прибегать к различным упрощениям при составлении математического описания, чтобы полученные уравнения можно было использовать при расчетах. Зачастую эти упрощения приводили к грубым несоответствиям модели и процесса. Развитие ЭВМ позволило избежать этих трудностей, тематическое описание стало более сложным, но более точно описывающим процессы, происходящие в химических аппаратах. Сейчас, имея, с одной стороны, математическое описание почти всех явлений, происходящих в каталитических процессах, и, с другой стороны различные типы ЭВМ и тенденции в их развитии, можно говорить о требованиях, предъявляемых к средствам математическото моделирования. Вопросам выбора средств математического моделирования каталитических процессов посвящен настоящий доклад. Полученные выводы основываются, с одной стороны, анализом уравнений математического описания каталитических процессов о точки зрения их численного решения, и, с другой стороны, опытом работы Института катализа СО АН СССР и других организаций по использованию ЭВМ различного типа при моделировании и расчетах достаточно большого числа каталитических процессов. [c.494]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология