Область притяжения

Особые траектории разделяют всю фазовую плоскость на отдельные области — ячейки, заполненные неособыми траекториями, характер поведения которых одинаков. Каждая ячейка грубой динамической системы содержит элемент притяжения— устойчивый узел (фокус) или устойчивый предельный цикл, к которому стремятся все фазовые траектории, заключенные в данной ячейке. Иными словами, каждая ячейка является областью притяжения или областью устойчивости в большом (в общем случае частью такой области) для какого-либо положения равновесия или предельного цикла. [c.122]

Штриховкой на рис. 1У-4 показана часть области притяжения положения равновесия А, содержащаяся в прямоугольнике без контакта. Если возмущения привели к уходу системы из стационарного режима, соответствующего точке Л, но изображающая точка осталась в области, расположенной под сепаратрисами, входящими в седло (сепаратрисы проведены на рисунке жирными линиями), то все фазовые траектории стремятся к положению равновесия А. Часть же фазовой плоскости, расположенная выше сепаратрис, входящих в седло, является областью притяжения положения равновесия В. [c.130]

В нижней части изображенного на этом рисунке прямоугольника без контакта заштрихована содержащаяся в нем часть области притяжения поло.жения равновесия / в верхней части то [c.132]

Неустойчивые предельные циклы, так же как и другие особые фазовые траектории, участвуют в разделении фазовой плоскости на области притяжения того или иного устойчивого положения равновесия или устойчивого предельного цикла. Например, в случае, показанном на рис. 1У-8, неустойчивый предельный цикл является границей области притяжения устойчивого положения равновесия (на р сунке эта область заштрихована). [c.135]

В этом случае неустойчивый предельный цикл является границей заштрихованной на рисунке области притяжения устойчивого предельного цикла. [c.135]

Представим себе, что устойчиво как положение равновесия А, так и В, и начальные условия соответствуют точке, находящейся в области притяжения положения равновесия А. При этом осуществляется нижний температурный режим (рис. 1У-21, точка О). При постепенном увеличении параметра уо в точке Е происходит бифуркация изображающая точка на фазовой плоскости, находившаяся в малой окрестности положения равновесия А, перескакивает к положению равновесия В (рис. 1У-21, точка Р)-, в системе скачкообразно устанавливается верхний температурный режим. [c.149]

Как мы уже отмечали, существует Х р такое, что для О < Я, < Х р существуют два стационарных решения 0<7 i, Г, <Г2 для 0 < <1. Функции То, 0<Го<Гг для S < 1, ВХОДЯТ в область притяжения решения T . Для к >-кр устойчивых стационарных решений нет, при X = единственное стационарное решение полуустойчиво , для 0< o 2 i решение Г( , t)- Ti, для To>T при 1<1 Til, разрушается за конечное или бесконечное время. Как мы уже отмечали, устойчивых в hp решений задача ни при одном р не пмеет. [c.98]

Вообще говоря, было бы достаточно сдвинуть в левую полуплоскость лишь одно собственное значение, так как для интересующих нас режимов имеется лишь по одному положительному собственному значению. Но сдвигая влево два или более собственных значений, мы увеличиваем скорость сходимости в окрестности стационарного режима, а также, как показывают расчеты, увеличивается его область притяжения, т. е. область допустимых возмущений, не уводящих систему к другому стационарному решению. [c.125]

Если применить для минимизации таких многоэкстремальных функций метод градиента или наибыстрейшего спуска, то поиск может окончиться в одном пз локальных минимумов, если начальная точка не лежит в области притяжения [c.71]

Проанализируем для примера одномерную функцию, имеющую два минимума (рис. 21). Если начать спуск из точки М , то при помощи локального метода можно найти минимум в точке М , хотя глобальный минимум находится в точке Мз. Область притяжения глобального минимума будет правее точки М[. [c.71]

Возвращаясь к разделу Функция Ляпунова (гл. IV), заметим, что доказательства устойчивости в малом основывались на том, что ни одна траектория не может пересечь и-контур во внешнем направлении (см. рис. 1У-2). Если это так, то можно предположить, что площадь на фазовой плоскости, ограниченная и-контуром, будет областью устойчивости, за пределы которой ни одна траектория не может выйти. Далее, поскольку функция Ляпунова устанавливает асимптотическую устойчивость в малом, таким способом можно получить область асимптотической устойчивости. Различие между областью устойчивости и областью асимптотической устойчивости можно установить только в том случае, когда существует траектория, вдоль которой и = 0. Если с целью такого разграничения вместо неравенства (IV, 11 в) используется (IV, Пд), то полученный ряд условий будет достаточным для установления области устойчивости (но не асимптотической устойчивости). Область асимптотической устойчивости иногда называют областью притяжения. Когда такая область распространена на весь диапазон возможных траекторий, то систему называют устойчивой в целом (или полностью устойчивой). [c.91]

Минимизация функционала (3.124) должна вестись методом, приводящим к "ближайшему" минимуму, т.е. траектория спуска не должна уходить из области "притяжения" минимума Ф, связанного с перевалом поверхности и ц). Таким свойством обладают процедуры поиска минимума функционала на траекториях решения градиентной системы дифференциальных уравнений [c.86]

На рис. 8.16 приведены примеры систем с одним (а) и с двумя (б) предельными циклами (особая точка — в начале координат). Неустойчивый предельный цикл (пунктир на рис. 8.16, б) является границей между областью притяжения траекторий к устойчивой точке, с одной стороны, и к устойчивому предельному циклу — с другой (зто сепаратриса на фазовой плоскости). [c.235]

Первый интеграл определяет площадь под кривой распределения, отражающей потенциальную энергию отталкивания молекул. Ее значение равно единице, как и в предыдущем случае. Второй интеграл определяет площадь, которая соответствует области притяжения молекул. Следовательно, [c.51]

Рнс. IX. 3. Области притяжения многоэкстремальной функции. [c.221]

Недостатком градиентного поиска является то, что при его.использовании можно обнаружить только локальный минимум целевой функции. Для того чтобы найти у функции другие локаль-. ные минимумы, необходимо производить поиск из других начальных точек. Таким образом, с помощью метода градиента каждый локальный минимум целевой функции можно охарактеризовать некоторой областью притяжения, обладающей тем свойством, что при задании начального состояния в границах этой области метод градиента всегда приводит в один и.тот же локальный минимум. [c.493]

Общий недостаток градиентных методов в оптимизации, за исключением, может быть, метода тяжелого шарика , состоит в том, что все они застревают в ближайшем локальном оптимуме, в область притяжения которого попадает выбранная начальная точка спуска. В отличие от этих методов метод сканирования никак не связан с наличием локальных оптимумов целевой функции. Поэтому его можно использовать иногда для предварительного грубого установления границ областей притяжения указанных оптимумов, после чего могут уже применяться градиентные методы спуска для измерения точной глубины каждого локального оптимума. . [c.508]

Рис. 32. Уравнение для макроскопической скорости в бистабильных системах. На рисунке показаны также области притяжения

Потеря устойчивости, таким образом, характеризуется переходом системы от области притяжения одного аттрактора к другому. Термин бифуркация в наиболее значимом его смысле, — пишет [c.175]

Из теоремы о невозможности устойчивого равновесия зарядов под действием только электростатических сил [77] следует, что если при Д = До частицы-отталкиваются, то они отталкиваются и при всех Д > До, и наоборот, если при Д = До частицы притягиваются, то они притягиваются и при всех Д < До. Эта теорема позволяет для любого отношения радиусов частиц к разделить плоскость ХОЕ на области притяжения и отталкивания частиц. Обозначим через %(До, к) отношение /<72 такое, что при Д = До и заданном значении х выполняется условие р22 = 0. Тогда при Д > До частицы отталкиваются, а при Д < До — притягиваются. Сказанное позволяет найти уравнения кривых, разделяющих плоскость XOZ на области притяжения и отталкивания [c.312]

На рис. 12.12 показаны области притяжения и отталкивания [c.312]

Рис. 12.12. Области притяжения и отталкивания (заштрихованная область) одноименно заряженных частнц на плоскости (х, Д)

Рис. 12.14. Области притяжения н отталкивания (заштрихованная область) частиц с различными значениями к на плоскости (х, Д)

СИЛЫ, т. е. является ли она силой притяжения или отталкивания для различных значений отношений радиусов частиц к. Оказывается, что для различных к области притяжения и отталкивания в плоскости (%, А) могут быть совмещены при переходе от X к новому параметру [c.314]

В плоскости (Х, а) области притяжения и отталкивания для частиц с различными значениями к совпадают (рис. 12.14). [c.314]

Теорема 6 полностью решает вопрос об устойчивости стационарных решений, включая критические случаи. Следующая теорема показывает, насколько большими могут быть взяты отклонения от устойчивого стационарного решения, чтобы построенные по таким данным решения стабилизировались к нему же. Будем предполагать выполненным условие А. Пусть щ имеет ограниченную производную и удовлетворяет соответствуюпцш граничным условиям. Будем говорить, что Un Miv), где Miv) — область притяжения стационарного решения v, если решение и х, t) соответствующей задачи для уравнения (19) с начальными данными uix, 0) = Utiix) существует ии(х, t)—>. v x). Справедлива [c.96]

Для поиска точки перевала воспользуемся геометрическими соображениями. Структура ППЭ, перевал которой мы ищем, характеризуется наличием двух локальных минимумов, соответствующих конфигурации стабильной молекулы и продуктам реакции. Перевал разделяет эти два минимума. Надо найти такую точку на поверхности и ц), которая лежит в области притяжения минимума функционала (3.124), определяющего перевал поверхности и ц). Проведем луч, соединяющий области двух минимумов. Точку на луче, в которой поверхность достигает максимума, выбираем в качестве начальной точки спуска, если квадратичная форма, аппроксимирующая (У(д) в этой точке, знакопеременная. Знакоперемен-ность квадратичной формы, по-видимому, должна указывать на то, что точка находится в области притяжения перевала. [c.86]

Рисунки За и ЗЬ иллюстрируют фазовые траектории системы уравнений (21) -(25), которые определяют области притяжения для каждого стационарного состояния Следует отметить, что при увеличении Ре0 при прочих равных значениях макрокинетических и кинетических параметров, имеет место сближение стационарных состояний. [c.114]

На рис. 10.17 приведены зависимости величин Еот и Е р от расстояния между коллоидными частицами. Как видно, результирующая энергия взаимодействия (кривая 3 на рис. 10.17) приводит к притяжению (Е в < 0) на очень м 1лых и отталкиванию (E b > 0) на больших расстояниях. между частицами. Решающее значение для устойчивости дисперсных систем имеет величина потенциальног о барьера отталкивания (Е акс), которая, в свою очередь, зависит от хода кривых Еот и Е р. При больших значениях этого барьера коллоидная система устойчива. Слипание коллоидных частиц возможно лишь при достаточном их сближении. Это требует преодоления потенциального барьера отталкивания. Прн некоторых небольших положительных значениях Емакс (кривая 3) преодолеть его могут лишь немногие коллоидные частицы с достаточно большой кинетической эиер-гией. Это соответствует стадии медленной коагуляции, когда только пебо.ш.шая часть соударений коллоидных частиц приводит к их слипанию. При медленной коагуляции со временем происходит некоторое уменьшение общего числа коллоидных частиц в результате образования агрегатов из 2—3 первичных частиц, но коагулят не выпадает. Подобную коагуляцию, не сопровождающуюся видимым изменением коллоидного раствора, называют скрытой коагуляцией. При Дс1льнейшем уменьшении потенциального барьера скорость коагуляции, характеризуемая изменением числа частиц в единицу времени, возрастает. Наконец, если потенциальный барьер переходит из области отталкивания в область притяжения (кривая 4 на рис. 10.17), наступает быстрая коагуляция, когда каждое [c.309]

Значительное уменьщение макс происходит в результате изменения потенциальной энергии электростатического отталкивания (т. е. хода кривой 1), вызванного добавлением электролитов к коллоидному раствору. С увеличением концентрации любого электролита происходит перб стройка двойного электрического слоя, окружающего коллоидные частицы все ббльщая часть противоионов вытесняется из диффузной в адсорбционную часть двойного электрического слоя. Толщина диффузной части двойного электрического слоя (слой 4 на рис. 10.14), а вместе с ней и всего двойного электрического слоя (слой 2 на рис. 10.14) уменьщается. Поэтому кривая потенциальной энергии электростатического отталкивания снижается более круто, чем показанная на рис. 10.17 кривая 1. В результате этого потенциальный барьер отталкивания ( 5макс) уменьщается и смещается в сторону меньщего расстояния между коллоидными частицами. Когда двойной электрический слой сжимается до толщины адсорбционного слоя (слой 3 на рис. 10.14), то вся кривая взаимодействия дисперсных частиц оказывается в области притяжения (кривая 4 на рис. 10.17), наступает быстрая коагуляция. Такое измерение устойчивости коллоидного раствора происходит при добавления любого электролита. [c.310]

Понятие фазового пространства можно использовать для определения устойчивости в большом и малом. Систему называют устойчивой в малом, если не все фазовое пространство является областью притяжения единственной особой точки. Систему называют устойчивой в большом, если все фазовое пространство является областью притяжения единственной особой точки. Задача об устойчивости в малом и большом возникает только при исследовании нелинейных систем, так как линейная система либо устойчива, либо неустойчива во всем фазовсм пространстве. [c.185]

Действительно, из рис. 32 видно, что имеется большая область притяжения Лд, такая, что каждое решение ф(/) с принадлежащим Ф (0) стремится к фд. Два макросостояния, начинающихся в двух соседних точках Од и Ад, сначала удаляются друг от друга, а затем начинают приближаться до тех пор, пока оба не окажутся в фд. Это видно из рнс. 28, б, а также из уравнения для вариаций (9.3.5). Соответственно флуктуации относительно такого ф(0 сначала нарастают , а затем снова убывают. В таком случае их все чаще можно описать с помощью 2-разложения, а это значит, что связь между макросостояниями и соответствующим образом выбранными мезосостояниями сохраняется. [c.278]

Рассмотрим случай, когда эта система имеет два устойчивых стационарных состояния - бистабильную систему, или триггер. Если а2 aj/e, т.е. скорость р-ции 8 2 8j очень велика по сравнению со скоростью р-ции 8о, а 8, и скоростью ферментативной р-ции, то [82] постоянна и равна [802]. В этом случае поведение системы описывается только одним ур-нием (3.1). Зависимости doijdx от Ст[ при разных значениях а показаны на рис. 1,а. Пунктирные кривые соответствуют бифуркац. значениям параметра а - a i и а", а кривые, заключенные между ними, трижды пересекают ось абсцисс. Точки пресечения соответствуют стационарным состояниям ai . l и ст , среднее из к-рых ст неустойчиво и разделяет области притяжения устойчивых состояний ст [c.429]

Нредполагая, что водород и гелий оргисьшаются уравнением Ван-дер-Ваальса, найдите параметры потенциала Сазерленда для этих I амов. Считайте, что в области притяжения и(г) кТ. Параметры уравнения Ван-дср-Ваальса а) Нг - л = 0.194 атм-.и -мо.пь" , Л = 0,()22 Л-М0Л1. б) iie - а = 0.035 а гм-, Г Моль 1, h - 0.024. п-моль . [c.168]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология