Бифуркационные значения параметра

Бифуркационные значения параметров можно найти, если заметить, что кривые N if°, Гдо, i o) точках бифуркации имеют вертикальную касательную. Продифференцируем уравнение (2.79) по ]>го(где / = [c.92]

Рис. 111-1 соответствует таким значениям параметров, при которых главные изоклины имеют три точки пересечения, т. е. реактор обладает тремя стационарными состояниями. При других значениях параметров может осуществляться другой случай главные изоклины имеют одну точку пересечения. В граничных случаях главные изоклины будут иметь одну точку пересечения (соответствующую простому положению равновесия) и одну точку касания (соответствующую сложному положению равновесия). Это будет иметь место при бифуркационных значениях параметров (см. главу IV), т. е. когда система является негрубой. [c.64]

Нетрудно убедиться, что бифуркационные значения параметров для первого перехода соответствуют ветви О/С, а для второго перехода — ветви LK кривой, изображенной на рис. И1-17. [c.89]

Нетрудно понять, что происходит в интересующей нас части фазовой плоскости, если значение параметра изменяется в обратном направлении при бифуркационном значении параметра на фазовой плоскости появляется седло — узел (рис. 1У-10,б), в дальнейшем распадающийся на два простых положения равновесия-узел и седло (рис. IV-10, а). [c.139]

Как было сказано в главе I, при а = О, Д > О положение равновесия является либо центром, либо сложным фокусом. Если осуществляется вторая возможность, то при переходе через бифуркационное значение параметра вокруг фокуса появляется предельный цикл или, наоборот, предельный цикл, окружавший положение равновесия, стягивается в него. [c.139]

Все коэффициенты следует рассматривать, как функции параметра 0. Для бифуркационного значения параметра 0 = 0о, т. е. такого значения, при котором ст = О, аз определяется формулой [c.140]

При мягко.м режиме бифуркационное значение параметра [c.142]

На рис. 1У-16, а, б, б показано, как изменяется окрестность петли сепаратрисы при рассматриваемой бифуркации. До бифуркации петля сепаратрисы отсутствует (рис. 1У-16, а). При бифуркационном значении параметра появляется петля сепаратрисы (рис. 1У-16, б изображена устойчивая петля). При дальнейшем изменении параметра в том же направлении происходит рождение предельного цикла из петли сепаратрисы (рис. 1У-16, е). [c.144]

Во всех точках верхней и нижней ветвей 5-образной кривой б значения производных правых частей соответствуюших дифференциальных уравнений отрицательны, а для промежуточного участка положительны. Таким образом, термодинамические критерии устойчивости стационарного состояния совпадают с соответствующими математическими признаками. При этом значению управляющего параметра а, которому соответствует кривая а на рис. 18.3, отвечает только одно устойчивое стационарное состояние, а значению а, описывающему кривую б, — два (I — верхняя и II — нижняя ветви кривой б). Очевидно, что можно найти и бифуркационное значение параметра а. Это значение соответствует ситуации, при которой последовательная трансформация 8-образной кривой у А, а) из вида а в б впервые приводит к Л (х, а )/ёЛ -> оо или ё х, а )/ёх -> оо. [c.376]

Как известно [9, бифуркационное значение параметра определяется условием перехода собственного значения линеаризованной задачи через пуль и.лп мнимую ось. [c.75]

Каждому критическому значению и будет отвечать нри фиксированном р1 бесконечная последовательность бифуркационных значений параметра р2 (соответственно й) [c.77]

Для определения бифуркационных значений параметра Кр запишем соотношение (УП-70) в следующем виде [c.400]

Как было сказано в главе I, при а = 0, А>0 положение равновесия является либо центром, либо сложным фокусом. Если осуществляется вторая возможность, то при переходе через бифуркационное значение параметра вокруг фокуса появляется предель- [c.116]

При превращении устойчивого фокуса в неустойчивый, т. е. при а (0о)<О, где 0о — бифуркационное значение параметра, осуществляется либо бифуркация I, либо бифуркация IV. [c.116]

При мягком режиме бифуркационное значение параметра 0 = 0о соответствует рождению устойчивого предельного цикла из фокуса (и, следовательно, стягиванию цикла в фокус при уменьшении параметра). Типичная зависимость амплитуды А автоколебаний, соответствующих предельному циклу, от параметра 0 изображена на рис. 1У-9. При 0<0о фокус устойчив (см. рис. 1У-6,а), при в>0о — неустойчив (см. рис. 1У-6, б). [c.119]

На рис. Гу-11,а—в показано, как изменяется окрестность петли сепаратрисы при рассматриваемой бифуркации. До бифуркации петля сепаратрисы отсутствует (рис. IV- 1, а). При бифуркационном значении параметра появляется петля сепаратрисы (рис. IV- 1, б изображена устойчивая петля). При дальнейшем [c.121]

При а = ао существует три различных стационарных режима а,Ь,с. Найдя знак производной / (ж,а) для каждой из точек а, Ь, с, можно определить, какие из них соответствуют устойчивым стационарным состояниям / (жд.а) < 0 / (ж(,.а) > 0 / (жс-а) < 0. Это означает, что а, с — устойчивые, Ь — неустойчивое состояния. Дуги кривой АВ и ПС представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. Бифуркационные значения параметра а, при которых изменяется число стационарных состояний с одновременным изменением типа устойчивости, обозначены а и а" [c.24]

При А < 2 имеется всего одно решение х = х < 1. Оно устойчиво, а фазовый портрет системы имеет тот же вид, что и на рис. П.5. При А 2 появляются три стационарных состояния (как на рис.П.1), система становится триггерной. Величину А = 2 можно считать бифуркационным значением параметра, при котором устойчивый узел преобразуется в седло, и в его окрестности возникают два устойчивых узла. [c.43]

При всех значениях управляющего параметра в интервале а1 а аг, где а1, аг — соответствуют бифуркационным значениям параметра, рассматриваемая си- [c.68]

Предположим, что исходному состоянию системы соответствует стационарная точка А, лежащая на верхней ветви кривой ст(ос). Будем понижать скорость притока субстрата а, при этом система начнет перемещаться влево вдоль верхней устойчивой ветви стационарных состояний. При достижении бифуркационного значения параметра ai система покинет неустойчивую точку В и, совершив скачкообразный переход В D, попадет на нижнюю ветвь устойчивых стационарных состояний. Увеличивая снова значения управляющего параметра от ai до аг, можно перевести систему вдоль устойчивой ветви D до бифуркационной точки С, после достижения которой система самопроизвольно вернется в исходное состояние А. При обратимом изменении управляющего параметра а (уменьшении, а затем увеличении до прежних значений) осуществится замкнутый цикл состояний рассматриваемой системы. [c.68]

КОСТНОЙ ткани при образовании конечностей). Напомним еще раз, что диссипативные структуры Тьюринга существуют при условии постоянного протока вещества и энергии, а сама структура возникает при бифуркационном значении параметра в результате потери устойчивости однородного распределения химических реагентов в пространстве. [c.103]

Особенности поведения функции Яер к ) (рис. 8.1) состоят в том, что однородное состояние линеаризованной системы (8.10) оказывается неустойчивым по отношению к возмущениям с волновыми числами в ограниченном интервале При этом система устойчива ко всем остальным возмущениям, в частности с к=0. При бифуркационном значении параметров этот интервал стягивается в точку. Само же однородное состояние является седлом. Как мы увидим в дальнейшем, в таких системах возможно возникновение диссипативных структур. Границы интервала определяются из условия Ре р к )=0 или, что то же, В=0 (см. (8.11)). Имеем [c.162]

Пусть стационарные решения (8.10) удовлетворяют граничным условиям второго рода на отрезке длиною L. Рассмотрим малый интервал [fe+, k (см. выражение (8.12) и рис. 8.1 и 8.2), такой, что внутри него может находиться лишь одно волновое число кп=ппИ). Бифуркационным значением параметра, например, Dy, будем считать такое, при котором совпадает с одним из граничных значений k kn=k или А =А+), и исследуем систему (8.10) при Dy—D - -lS.Dy, ADy< Dy, используя метод малого параметра. Для этого разложим функции Р х, у) и Q x, у) в ряды по отклонениям от однородного решения х г)=х г)—х г), у (г)=у г)—у (г) до членов третьего порядка малости включительно. Стационарные значения х г) и у г) будем искать в виде рядов по малому параметру а< 1 [c.170]

Анализ химической реакции в параметрическом пространстве позволяет выделить области параметров, где кинетические характеристики процесса существенно различны (области единственности и множественности стационарной скорости, области параметров гистерезисного поведения скорости, ее скачков и срывов , автоколебаний и т.д.). Важно определить критические условия, бифуркационные значения параметров, условия грубости модели, т. е. условия, при которых малые изменения ее параметров не изменяют топологическую структуру ее фазового портрета. В практической работе по моделированию химических реакторов нужны именно грубые модели [358]. Здесь необходимо использовать упрощенные кинетические зависимости и при этом существенно не искажать структуры фазового портрета [c.26]

Однопараметрический анализ предельных циклов начинаем с анализа бифуркации рожденного цикла. При этом определяется, в какую сторону по параметру рождается цикл, характер его устойчивости и асимптотика цикла вблизи бифуркационного значения параметра. Вычисление показывает, что в обеих бифуркационных точках к = и к = к ляпунов-ская величина, определяющая характер бифуркации, положительна, т. е. бифуркация докритическая, а родившийся цикл — неустойчивый (точнее, седловой один мультипликатор расположен внутри единичной окружности. [c.254]

Пространственно-временные диссипативные структуры типа бегущей волны возникают в связи с образованием предельного цикла, когда концентрации компонентов системы не только колеблются во времени, но и одновременно изменяют свои координаты в пространстве. Такая система допускает волнообразное движение, при котором локальные колебания не организуются для образования стоячей волны, а принимают участие в общем продвижении волновых фронтов. Диссипативная структура в этом случае реализуется по типу бегущей волны во времени и пространстве. Система может обладать несколькими стационарными состояниями, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Типичный пример такой ситуации показан на рис. 7.1, на котором кривая зависимости / (X, а) =0 стационарных значений концентраций X (а) от параметра а имеет три стационарных точки при одном фиксированном значении параметра ц. Если, например, а = о, то а, с — устойчивы, а Ь — неустойчивое состояние. Тогда части кривой АВ и ОС представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. При достижении бифуркационных значений параметра (а, а") происходят скачкообразнью переходы С А и ВО в экстремальных точках В 11 С кривой f (X, а) = О так что неустойчивые состояния на участке ВС практически никогда не реализуются в действительности. Таким образом, реализуется замкнутый гис-терезисный цикл АВОСА, в котором в результате изменения параметра система проходит ряд стационарных состояний, отличающихся друг от друга при одних и тех же значениях а в зависимости от направления движения. Системы, обладающие способностью функционировать в одном из двух устойчивых стационарных состояний, принято называть триггерными. Последние работают по принципу все или ничего , переключаясь из одного устойчивого режима в другой в результате изменения управляющего параметра а. [c.282]

Вычисление самого правого собственного значения, линеаризованного на решении й х ) оператора для задачи (1.1), (1-2) как функции параметра х = С0т, р2/р1 для нахождения бифуркационного значения параметра рг нри фикснрованном значении рь Частью этой задачи является численное решение линеаризованного уравнения. [c.86]

Математическая модель процесса составляется по физиолого-биохими-ческой модели математиком с учетом выбора переменных модели и баланса масс в системе. Необходимо провести также качественный анализ математической модели установить устойчивость возможных стационар ных состояний, области допустимых и бифуркационных значений параметров, исследовать фазовые портреты системы. Такое исследование дает возможность определить области внешних условий для постановки экспериментов при проверке модели на качество аппроксимации и адекватность, указать направление дальнейшей экспериментальной работы. [c.156]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология