Неустойчивое стационарное состояни единственное

В работе [73] вопросы существования нескольких стационарных состояний анализируются на основе теории графов. Механизму многостадийного химического процесса ставится в соответствие так называемый двудольный граф, состоящий из вершин двух типов. 1-й тип вершин соответствует веществам, 2-й тип — элементарным стадиям. В предположении справедливости закона действующих масс получено достаточное условие единственности положительной стационарной точки системы, связанное со структурой графа, соответствующего механизму реакции. Сформулированы условия, выделяющие область параметров, для которой положительное стационарное состояние единственно и неустойчиво. Предлагаемый алгоритм реализован в виде программы для ЭВМ. [c.236]

Основные результаты в анализе нелинейных механизмов на графах были получены авторами [29—31]. А. Н. Иванова, опираясь на подход Кларка, сформулировала достаточно общие условия единственности стационарных состояний в терминах теории графов. Она предложила алгоритм, с помощью которого могут быть получены 1) условия, выделяющие область параметров, для которой стационарное состояние неединственно (т. е. условие множественности стационарных состояний) 2) условия существования области параметров, для которой положительное стационарное состояние единственно и неустойчиво (т. е. условие автоколебаний скорости). В работе [31] осуществлена машинная реализация этого [c.85]

Анализ стационарных решений уравнения (6.2.10) показывает что при а > (а = А27) всегда есть область значений М, в которой система бистабильна и обладает двумя устойчивыми и одним неустойчивым стационарными состояниями. В то же время если а-< а , то при любых М стационарное состояние системы единственное. [c.207]

Графически стационарные состояния находятся как точки пересечения функции 7 (ф) и линии сопротивления (е — ф)// . Стационарные состояния на падающей ветви оказываются неустойчивыми, если линия сопротивления пересекает падающую ветвь поляризационной кривой так, как изображено на рисунке. При этом, как легко видеть из рис. 145, стационарное состояние перестает быть единственным, причем остальные два устойчивы. Более сложная картина наблюдается в системах, где существенную роль играет концентрация реагирующего вещества у электрода, т. е. необходимо учитывать замедленность диффузии или адсорбции. Здесь неустойчивое стационарное состояние может оказаться единственным, так что в системе реализуется автоколебательный процесс [5, 7]. [c.216]

Таким образом, с одной стороны, диффузия может привести к существованию стационарных неоднородных по пространству состояний (если есть критический эффект на кинетическом уровне), с другой стороны, специфика рассмотренной химической нелинейности такова, что характер устойчивости однородных состояний она изменить не может — устойчивое стационарное состояние в кинетической области остается таковым и при наличии диффузии. Как известно, в общем случае она может менять и тип устойчивости однородного стационарного состояния [202]. Однако, если в нашей кинетической системе возможно единственное и неустойчивое стационарное состояние (см. модель каталитического осциллятора в главе 2), то наблюдаемое состояние поверхности катализатора всегда будет неоднородным. [c.224]

В первом разделе этой главы со ссылкой на рис. -1 отмечалось, что установление единственности и устойчивости в малом стационарного состояния еще не обеспечивает необходимой формы траектории. То же можно сказать об области асимптотической устойчивости, поскольку установление ее существования еще не обеспечивает возможности численного расчета. Действительно, система с областью асимптотической устойчивости может быть практически бесполезной, если ее траектории выходят за допустимые пределы, в то время как неустойчивая в малом система может удовлетворять инженерным требованиям, если ее траектории остаются внутри допустимой области. С этой точки зрения требуется новое определение устойчивости, которое полностью отвечало бы практическим целям расчета. [c.102]

Кривые стационарного состояния, полученные для трубчатого реактора с поперечным перемешиванием и рециклом, в общем уже знакомы из изучения моделей других реакторов. Как и прежде, наблюдается либо единственное состояние, либо три состояния. Для случая трех состояний при низкой и высокой степени превращения система устойчива в малом, а промежуточное состояние неустойчиво. То, что единственное стационарное состояние может быть неустойчивым не вызывает удивления, так как аналогичное поведение уже наблюдалось для проточного реактора с перемешиванием, трубчатого реактора идеального вытеснения с рециклом и трубчатого реактора с продольным перемешиванием. Типичные результаты для трубчатого реактора с поперечным перемешиванием и рециклом приведены на рис. 1Х-9. Точки, отмеченные цифрами, показывают последовательные состояния элемента потока каждый раз, когда он находится на входе в реактор. Состояния элемента потока сходятся к предельному циклу после приблизительно 40 проходов по контуру рецикла. Отклики в промежуточных состояниях были получены с помощью интегрирования уравнений (IX, 48). При этом вычислялась средняя по сечению концентрация и температура на выходе из реактора, а для определения видоизмененных условий на входе использовались граничные условия рецикла (IX, 1). [c.237]

В работе [31] был предложен удобный алгоритм для выписывания в явном виде коэффициентов Я в (У.2). Машинная его реализация позволяет достаточно эффективно решать вопросы, связанные с анализом различного рода критических явлений — как множественности стационарных состояний, так и автоколебаний. Для поиска последних полезны следующие соображения если младший коэффициент ап-т характеристического многочлена сохраняет положительный знак в любой стационарной точке инвариантной области, то система (У.З) имеет единственную стационарную точку если один из коэффициентов Р(Х) отрицателен при некоторых значениях параметров, то стационарная точка неустойчива. Если оба условия выполняются одновременно, то система имеет автоколебания. [c.136]

Предполагается, что концентрация субстрата для первой стадии реакционного пути постоянна и скорость на этой стадии пропорциональна нелинейной управляющей функции /. Обычная функция / для управления с отрицательной обратной связью имеет вид 1/(1 -I- К5Р ), где р — коэффициент ингибирования первой реакции. Предполагается, что все другие реакции в последовательности, указанной на схеме, являются реакциями первого порядка, обычно благодаря тому обстоятельству, что соответствующие ферменты при нормальных условиях весьма далеки от насыщения. Для таких функций имеется единственное стационарное состояние и может быть получено соотнощение между рил, гарантирующее, что это состояние асимптотически устойчиво при всех выборах констант скорости. Кроме того, когда при некоторых значениях параметров возможна неустойчивость, могут быть получены аналитические оценки области в пространстве параметров, в которой стационарное состояние глобально асимптотически устойчиво численные расчеты показывают, что эти оценки оказываются довольно точными [13, 19]. [c.324]

С каждым новым решением уравнения (1.7.1) принято связывать величину М(Л) (параметр порядка), которая обращается в нуль в точке Л и служит мерой отклонения от стационарного состояния. При Л < Л существует единственное асимптотическое решение. Оно устойчиво и соответствует режиму, обладающему самой высокой симметрией. В точке Л = Л. это решение становится неустойчивым, и в закритической области (Л > Л ) одновременно возникают новые ветви с более низкой симметрией. [c.35]

Поскольку величина с всегда неотрицательна, из (6.7.9) следует, что при Са < кз/к уравнение (6.7.9) допускает единственное решение, имеющее физический смысл с = 0. При сд > кз/к возможны два решения с = 0 и с = к СА — кг)/кг. Одно из этих решений (с=0) соответствует неустойчивому стационарному режиму (состоянию), т. е. любые малые отклонения значения концентрации с от стационарного значения с = О приводят к дальнейшему увеличению отклонения. В справедливости последнего утверждения легко убедиться на основе непосредственного решения уравнения (6.7.8). Вводя переменные х = к2с/ к СА — къ и [c.307]

Параметрическая кривая ферментативной системы а(а) состоит из двух ветвей (как на рис. 1.2 для системы (1.2.4)). Точки, лежащие на нижней ветви кривой, — устойчивые, на верхней ветви — неустойчивые. Значение параметра акр является бифуркационным, ему соответствует единственное стационарное состояние на стыке верхней и нижней ветвей. При значениях а > акр ее стационарное состояние недостижимо, при этом в системе будет происходить неограниченное накопление субстрата [c.67]

Особый интерес представляет случай возникновения автоколебаний концентраций наблюдаемых и промежуточных веществ, которые могут появиться, если стационарное состояние РИС находится на неустойчивой ветви кинетической кривой и является единственным. Численные расчеты динамических режимов, характеризующихся установлением релаксационных автоколебаний в полной системе, проводились нами для механизмов каталитических реакций, имеющих кинетические зависимости гистерезисного типа, в частности, ] С02) для реакции окисления окиси углерода на платине [438]. Заметим, что из такого рода возможность возникновения изотермических колебаний в РИС [c.206]

Значит, при варьировании, например, температуры возможна следующая последовательность изменения стационарного состояния. При Т <Т существует единственное и устойчивое однородное стационарное состояние с малой скоростью реакции (поверхность холодная) при изменении Т в пределах (Ti,Tn) наряду с двумя устойчивыми однородными состояниями возможны и стационарные неоднородности, отвечающие отдельным холодным пятнам на поверхности катализатора и характеризующие размер локальной неустойчивости далее при < Т < Г2 локальная неустойчивость отвечает уже горячим пятнам а при Т > Т2 опять остается единственное и устойчивое однородное стационарное состояние, отвечающее уже активному состоянию катализатора. Отметим, что при росте Т размер пятен СО на О2 растет, а пятен О2 на СО — падает. [c.228]

В заключение отметим, что традиционным способом получения в моделях устойчивых диссипативных структур является доказательство неустойчивости всех однородных стационарных состояний. В нашем случае диффузия не может изменить характер устойчивости таких состояний. Единственное и неустойчивое однородное стационарное состояние существует в определенной области параметров для рассмотренного механизма окисления СО (2.6.1), дополненного буферной стадией [437] [c.228]

Исследование этой проблемы в случае сферической геометрии было проведено Ли и Лассом (1970 г.) при использовании семи членов разложения методом Галеркина для средних значений чисел Льюиса. Согласно Макговину, неустойчивость обнаруживается при малых значениях числа Льюиса. Для D/a < 0,5 переходные состояния системы оказывались колебательными, а для D/a = 0,1 было получено единственное, но неустойчивое стационарное состояние. Как следует из более раннего доказательства Гаваласа (1968 г.), стационарное состояние неустойчиво для любых чисел Льюиса, если оно неустойчиво для Dia = 1. К счастью, большинство используемых на практике катализаторов имеют числа Льюиса, достаточно большие для того, чтобы исключить неустойчивость. [c.175]

Пусть а 2 = 0,2, + ап = 0,45, у + а22 = 0,1, тогда (3.3.16) означает, что а > 2,5. Примем а = 3. Произвольно задавая х у - х), найдем ап и а22 из равенств ап 0,45 - х а22 = 0, - у . Значения констант скорости к, к2 определяется с учетом условия стационарности W = агУ2. Таким образом, химическая неидеальность даже при соблюдении термодинамических ограничений в открытой системе может привести к критическим эффектам — в данном случае к неустойчивости стационарного состояния, которое в идеальной ситуации (а = 0) было единственным и устойчивым. [c.203]

Выражение (IV, 47) идентично неравенству (II, 47), которое было определено ранее как достаточное условие единственности стационарного состояния и интерпретировалось как температурная зависимость тепловыделения и теплоотвода. Условие единственности касается всех возможных температур, представляющих интерес, в то время как условие устойчивости должно относиться только к стационарному состоянию. В результате проточный реактор с перемешиванием может иметь единственное стационарное состояние, которое неустойчиво [если, например, неравенство (IV, 47) справедливо при всех температурах, но условие (IV, 40а) нарушается при стационарном состоянии], или устойчивое стационарное состояние, которое не будет единственным стационарным состоянием [если неравенство (IV, 47) удовлетворяется при стационарном состоянии, но нарушается при других температурных условиях]. Представление о необходимости теплового баланса более раннее, чем произведенный здесь анализ устойчивости стационарного состояния, и восходит по крайней мере к Ван Хирдену (1953 г.). [c.86]

Из рис. И1-4 следует, что для системы с множественными стационарными состояниями даже относительно малые возмущения стационарного состояния А могут перевести систему на траектории, ведущие к другому состоянию С. Если система имеет единственное стационарное состояние, которое асимптотически устойчиво, вероятнее всего, что траектория в конечном счете вернется в исходное стационарное состояние. Однако на рис. П1-5 показано, что даже и в этом случае возможен иной режим. Противоположный пример представляет известное уравнение Ван-дер-Поля, которое имеет неустойчивый предельный цикл [см., например, работу Страбла (1962 г.)]. Такая же ситуация может возникнуть при перемещении от одного стационарного состояния к другому, соответствующему иным значениям параметров режима. Если Л и Б — точки стационарного состояния на фазовой плоскости при скоростях потока и да, соответственно, ступенчатое возмущение [c.90]

Чтобы система с одной переменной и бистабильностью стала колебательной, нужно превратить параметр в медленную переменную. В ферментативной системе с двумя субстратами таким параметром, естественно, является концентрация второго субстрата СТ2. В этом случае для описания системы нужно использовать оба ур-ния (3). Относительные изменения концентрации 82(А[82]/[82]) будут медленными по сравнению с относительными изменениями 8 , если [82] [81]. При переходе к безразмерным параметрам это условие принимает след, вид О а2 1, I. На фазовой плоскости с координатами Ст , сгз поведение системы качественно определяется взаимным расположением нуль-изоклин-кривых, на к-рых производные daJdx и da2 dx равны О (рис. 2, а). Точки пересечения нуль-изоклин соответствуют стационарным состояниям системы. Пунктиром показано положение нуль-изоклины d s dx = О при бифуркации, сопровождающейся возникновением устойчивых колебаний (автоколебаний) малой амплитуды. Этим колебаниям соответствует замкнутая траектория движения системы-т. наз. предельный цикл. Сплошными линиями показаны нуль-изоклины в ситуации, далекой от бифуркации, когда единственное стационарное состояние системы (точка О на рис. 2, а) сильно неустойчиво и окружено предельным циклом АВСО. Движению системы по этому предельному циклу соответствуют автоколебания концентраций Ст и СТ2 с большой амплитудой (см. рис. 2,6). [c.429]

Смена возможных стационарных состояний рассматриваемой нелинейной системы и их устойчивости бифуркация), которая происходит при прохождении параметра R через точку R = R , проиллюстрирована на рис. 2,0. Два нетривиальных состояния, возникающие (или, как говорят, ответвляющиеся) в точке бифуркации R = R , существуют в области R> R , где, согласно линейной теории, первичное неподвижное состояние неустойчиво. Это — случай надкритической, или прямой, или нормальной бифуркации. Если же такие нетривиальные состояния системы возможны (хотя и неустойчивы) в той области значений управляющего параметра, где первичное состояние линейно устойчиво, то имеет место подкритическая, или обратная, бифуркация — см. рис. 2, . Оба типа бифуркаций иногда объединяются названием симметричные бифуркации (или бифуркации типа вилки, в англоязычной литературе — pit hfork bifur ations), в общем случае единственное устойчивое состояние, существующее по одну сторону от точки бифуркации, — не обязательно неподвижное состояние. [c.26]

К аналогичному выводу приводит рассмотрение фазовой плоскости системы а, р (рис. 111.11). Здесь представлено расположение на фазовой плоскости главных изоклин. Семейство кривых 1-4 соответствует изоклине горизонтальных касательных dg/dx = О при различных значениях параметра [i, характеризующего глубину продуктного угнетения. Сплошная синяя линия соответствует главной изоклине вертикальных касательных do/dx = 0. Число стационарных состояний системы и их устойчивость зависят от значения параметра [i. В случае слабого угнетения продуктом [i 1 в системе может реализоваться единственное стационарное состояние, расположенное на неустойчивой части характеристики v(p). Нри этом относительная концентрация субстрата оказывается быстрой переменной по сравнению с концентрацией продукта и в системе возникают автоколебания, подобно тому, как это было описано (см. 2 гл. II). Фазовый портрет системы при малой глубине продуктного угнетения изображен на рис. 111.12 (ср. с рис. 11.10). Кинетика изменения переменных во времени в такой системе, полученная с помощью ЭВМ, представлена на рис. 111.13. [c.73]

Анализ показывает, что число стационарных состояний системы и их устойчивость зависят от глубины продуктного угнетения. При слабом угнетении продуктом относительная концентрация субстрата будет быстрой переменной по сравнению с концентрацией продукта. При этом в системе реализуется единственное стационарное неустойчивое состояние, расположенное на неустойчивой части характеристики т/(5). В системе возникают автоколебания вокруг неустойчивого состояния на фазовой плоскости 5", Р (рис. 3.5) при движении ее вдоль цикла С А О В С. Точки АиВ лежат на границах устойчивых (АС и ВВ) и неустойчивой (АВ) ветвей квазистационарной кривой (5" =0). Движение по ветви С А соверплается по направлению к точке А(С А) с накоплением продукта, так как в области СА скорость 02 оттока продукта меньше скорости его образования. В критической точке А при v=v2 система теряет устойчивость и скачком переходит в точку > ветви ОВ, на которой скорость оттока 02 становится больше скорости реакции. Вследствие этого концентрация продукта начинает вновь убывать, а скорость V растет. Достигнув точки B(v=v ), система вновь теряет устойчивость и "срывается" в быстрое движение по направлению к исходной точке С. Далее цикл повторяется, а система совершает автоколебания. [c.44]

В системах триггерного типа, среднее состояние является неустойчивым, а крайние состояния устойчивы по отношению к отклонениям. Какое из двух значений, или Хр, установится в системе, например, при ==20 (см. фиг. 6.13), зависит от предысториц системы. Система обладает также гистерезисом. В точке, где касательная горизонтальна, три корня совпадают, и при изменении Е система переходит от бистабильного режима к одностабильному. Точка перегиба, в которой касательная горизонтальна, соответствует критическому значению параметра. На фиг. 6.14 показаны кривые стационарных состояний для различных значений параметра Р. Отчетливо виден переход от систем с единственным устойчивым стационарным состоянием к системам с бистабильным поведением. Корректное исследование числа решений требует рассмотрения дискриминанта кубического уравнения (6.71) [c.143]

Поскольку все корни имеют отрицательную действительную часть, п-е стационарное состояние устойчиво. Приближение к стационарному значению при kn A < ik n носит характер затухающих колебаний, а при кпФл > 4k n происходит по экспоненциальному закону. Прочие стационарные состояния оказываются в силу соотношения (9.7) неустойчивыми, поскольку в каждом случае имеется по меньшей мере один положительный корень. Единственное возможное состояние текущего равновесия системы соответствует поэтому п-му стационарному состоянию, в котором компонент с наибольшим отношением скорости роста к скорости уничтожения побеждает все остальные. Процесс эволюции системы к устойчивому стационарному состоянию представлен на фиг. 9.1. В силу условия Фл = on t в системе происходит характерный процесс отбора. [c.207]

Вначале при малом значении А имеется единственный устойчивый стационарный режим. Этому состоянию модели естественно сопоставить понятие омнеопатентного состояния. Мультистационар-ному (триггерному) состоянию можно сопоставить понятие компетентной ткани, поскольку только в этом случае клетки способны переключаться в иной режим работы. Бифуркационное состояние следует трактовать как момент возникновения компетенции к дифференциации. Важно подчеркнуть, что приобретение компетенции связано с неустойчивостью. [c.53]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология