Интеграл, криволинейный

Задача о площади криволинейной трапеции. Определение интеграла (определенного). Формулировка теоремы его существования. Простейшие свойства интеграла, теорема о среднем. Среднее значение функции. [c.150]

Вычисление кратного интеграла связано с интегрированием функции нескольких переменных, заданной в некоторой области, ограниченной в обш,ем случае криволинейными поверхностями. Существует большое число методов вычисления кратных интегралов, которые обычно аналогичны методам вычисления однократных интегралов. Так же как и для однократного интеграла, кратный интеграл заменяется линейной комбинацией значений интегрируемой функции в конечном числе точек. Отличие заключается в том, что область интегрирования является совокупностью точек п-мерного пространства, где п — кратность интеграла. Например, при вычислении двойного интеграла областью интегрирования будет часть плоскости, ограниченной пределами интегрирования по двум измерениям. При вычислении кратных интегралов используются те же формулы, что были рассмотрены для однократных интегралов, только примененные по каждой из переменных подынтегральной функции. Разнообразие методов объясняется тем, что по тем или иным соображениям по разным переменным могут быть использованы различные формулы [29]. [c.215]

Из СВОЙСТВ полного дифференциала следует, что при интегрировании в тех же пределах, но в обратном направлении изменение функции состояния имеет ту же величину, но обратный знак. Это означает, что при интегрировании полного дифференциала по замкнутому контуру криволинейный интеграл становится равным нулю [c.214]

Задача о работе силового поля. Определение криволинейного интеграла по координатам. Свойства криволинейного интеграла и его вычисление. [c.151]

Из условия независимости криволинейного интеграла от пути следует, что [c.13]

Криволинейный интеграл является обобщением обыкновенного и обладает всеми его свойствами. В частности, [c.316]

В общем случае такие интегралы берутся, если в подынтегральном выражении у можно представить в явном виде y=f(x). Это равноценно вычислению пути на плоскости х—у, вдоль которого проводится интегрирование, т. е. вычислению криволинейного интеграла. В общем случае существует множество путей перехода из одного состояния в другое, и результат интегрирования зависит от пути. Решение сильно упрощается, если dz является полным дифференциалом, тогда для термодина- [c.212]

На основании (1У.43) можно дать общую математическую формулировку второго начала термодинамики криволинейный интеграл вдоль замкнутого контура равен нулю или меньше нуля, но не может быть больше нуля. Обращаясь к дифференциальной форме неравенства (1У.43), будем иметь [c.107]

Когда dP является полным дифференциалом, криволинейный интеграл записывают в виде [c.316]

Циркуляцией скорости вдоль замкнутого контура L называется криволинейный интеграл T udl. [c.254]

Криволинейный интеграл скорости, взятый вдоль замкнутого контура L (рис. 1.4), называется циркуляцией скорости и обозначается буквой Г. Применяя для [c.18]

Интеграл f x )dx выражает собою площадь криволинейной т а- [c.58]

Рассмотрим в векторном поле какую-либо кривую Линейным интегралом вектора А вдоль кривой называется следующий криволинейный интеграл, взятый по кривой [c.226]

Аналогично, если нам дай криволинейный интеграл, взятый по пространственной кривой L между точками (х,, у , г ) и (Xj. у , [c.247]

Если из точки А описывается замкнутый путь в плоскости pv (на рис. IX-4 этот путь представлен пунктирной линией), то криволинейный интеграл от dU по этому пути может быть написан так [c.248]

Интеграл 1(х)(1х выражает собою площадь криволинейной [c.66]

В 7 гл. XI было установлено, что криволинейный интеграл [c.369]

Аналогично, если нам дан криволинейный интеграл, взятый по пространственной кривой L между точками (Ху, у у, Zj) и (Xj, у 2, z ) [c.369]

Для краткости этот криволинейный интеграл называется циркуляцией и обозначается символом ф, где / — замкнутая кривая. [c.371]

Если криволинейный интеграл, взятый по замкнутому контуру, равен нулю, то подинтегральное выражение представляет собой полный дифференциал и, следовательно, является дифференциалом некоторого свойства системы, определяемого единственно ее состоянием и ни в коей степени предшествующими изменениями, которые система претерпела. На этом 2 [c.19]

Интегральный член представлен посредством криволинейного интеграла, потому что связь между и 7 не определена и полностью зависит от того пути, по которому следует система в процессе изменения состояния. Член / также зависит от конкретного способа реализации процесса. Следовательно, и W зависит от пути процесса между начальным и конечным состояниями системы, а не только от самих предельных состояний. [c.46]

Поскольку под знаком криволинейного интеграла [3] находится неполное дифференциальное выражение, его оценка осуществима лишь при наличии дополнительных данных. Эти данные можно представить в форме известной зависимости между значениями независимых переменных, которыми в уравнении (3.13) являются температура и давление. Например, при изобарическом процессе это уравнение принимает вид [c.47]

Следует подчеркнуть, что появление криволинейного интеграла в уравнении (4.12) обусловлено возможностью независимого изменения веса и состояния добавляемого вещества. По этой причине нельзя рассчитать конечное состояние системы, если неизвестна функциональная зависимость между состоянием и весом добавляемого вещества. Уравнение показывает, что для расчета достаточно располагать данными о состоянии вещества на каждом инкременте добавления. [c.57]

Площади впадин между зубьями роторов. Площади впадин, образованные в торцевом сечении роторов цилиндрической поверхностью расточки корпуса и винтовой поверхностью впадин зубьев ведущего и ведомого роторов, определяются с помощью криволинейного интеграла по общей формуле [c.60]

Составляющие площадей Fg и по участкам определяются по выведенным с помощью криволинейного интеграла (11.22) формулам [c.61]

Определение криволинейного интеграла по координатам и его свойства. Пусть х = х 1), у = у 1) 1 [а 5]) — гладкая ) кривая Ь с выбранным направлением (такую линию для краткости будем называть путем) и Р х,у), Q x,y) — пара функций, непре- [c.164]

Определение. Под криволинейным интегралом от функции Р(ж, у) ((Э(ж, у)) по кривой Ь по переменной х у) понимается интеграл [c.164]

Из определения криволинейного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства [c.165]

При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл изменяет свой знак на обратный. Записывается это [c.165]

Условие независимости криволинейного интеграла от нути интегрирования. Пусть Р = Р х, у), Q = Q x, у) — непрерывные функции в области С. Рассмотрим две произвольные точки Л и 5 этой области. Эти точки можно соединить различными [c.165]

Если криволинейный интеграл (1) по любому из путей, лежащих в С и соединяющих ее точки Л и Б, принимает одно и то же значение, то говорят, что он не зависит от пути интегрирования в О. [c.166]

Отсюда следует, что разложение подинтегрального выражения в (4.245) по переменной — А в окрестности I дает аппроксимацию уравнения Чепмена — Колмогорова, пригодную для газа, в котором преобладают столкновения дальнодействия. Чтобы пояснить эту ситуацию, рассмотрим криволинейный интеграл [c.246]

Если в вихревом потоке жидкости выделить произвольный замкнутый контур Ь, то криволинейный интеграл от скорости вдоль замкнутой кривой называется циркуляцией скорости [c.12]

Для анализа процесса переноса тепла в псевдоожиженном слое Б свете влияния э( х )ективной теплопроводности газа воспользуемся формулой (34) применительно к стационарному процессу. Заменив для простоты криволинейный профиль температур прямолинейным, но сохранив численное значение интеграла, получим [c.167]

В общем случае элшентарная работа силы трения не является полным диф< )еренци.ал(ш. Криволинейный интеграл от вдоль замкнутой траектории точки приложения силы не равен нулю, в то время как этот интеграл от полного дифференциала должен быть тождественно ра.чеи нулю. [c.35]

Для краткости этот криволинейный интеграл называется цирку-луцией н обозначается символом где/ — замкнутая кривая. Циркуляция полного дифференциала всегда равна нулю (см. гл. VIII). [c.248]

Площади сечбняй защемленного объема определяются в координатной системе XgOjKa, жестко связанной с в домым ротором (см, рис, 11,1), с помощью криволинейного интеграла (11,22). [c.64]

Простейшими формулами вычисления кратных интегралов являются формулы интегрирования в прямоугольной области, т. е. при фиксированных значениях пределов интегрирования по каждой из переменных. Однако эти формулы могут быть использованы я для интегрирования в произвольной области, если вписать область в прямоугольник, а при суммировании точек не зачитывать точки, не принадлежашре допустимой области. Другим способом применения таких формул является способ, при котором криволинейная область интегрирования делится на ряд прямоугольников, наилучшим образом вписываемых в исходную область, а интеграл подсчитывается как сумма интегралов по отдельным прямоугольникам. Следует заметить, что оценка точности форлсул вычисления кратных интегралов еще более затруднительна и чаще всего при [c.215]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология