Точность формул численного интегрирования

В связи с тем, что численные значения величин Ч " и можно вычислить лишь с точностью, не превышающей 0,0002—0,0003, применение сложных формул численного интегрирования не вызывается необходимостью и можно использовать формулу трапеции [18]. [c.262]

Как и в любом численном методе в данном случае встает вопрос о точности интегрирования стохастических дифференциальных уравнений. В методе МД точность интегрирования детерминистических уравнений оценивалась путем уменьшения шага интегрирования или с помошью специальных формул оценки ошибок. На практике часто применяют более грубый способ - проверку степени сохранения интегралов движения, например, энергии. Для стохастических уравнений эти критерии неприменимы, поскольку случайные силы, действующие на частицы, не являются непрерывными функциями времени. Поэтому используют такие критерии точности интегрирования, как сохранение статистических средних (например, температуры, распределения по углам внутреннего вращения и т. д.) за достаточно большие промежутки времени. [c.123]

Оценка точности формул численного интегрирования [c.217]

Эффективность методов численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений существенно зависит от управления величиной шага интегрирования. Большинство алгоритмов переменного шага основано на оценке локальной ошибки. В настоящее время при практических расчетах наиболее часто используются следующие три способа оценка с использованием экстраполяционной формулы Ричардсона, многошаговый способ оценки и оценка с помощью вложенных методов. Может быть предложен простой и эффективный способ оценки ошибки одношаговых методов порядка р через оценку локальной ошибки вложенного метода порядка (р - 1). Мы ограничимся приведением соответствующего неравенства для контроля точности схемы [c.278]

На рис. 4 представлены результаты численного интегрирования этих зависимостей для ПВБ и полистирола соответственно. Точками нанесены данные для вязкости, измеренные авторами настоящей работы [62] и полученные в работе [63]. Хорошее совпадение наблюдается в достаточно широком интервале концентраций. В качестве другого способа проверки справедливости формулы (25) можно рассмотреть возмоншость построения теории константы Хаггинса [58, 64], поскольку именно в разбавленных растворах в наименьшей мере проявляются вторичные эффекты образования надмолекулярных структур, и поэтому с наибольшей точностью можно оценить истинность и допустимость различного рода приближений. [c.170]

Наряду с преимуществами численных методов им присущи и известные недостатки. Результат численного решения конкретной задачи всегда есть лишь массив цифр, а не буквенные формулы, отражающие влияние отдельных параметров процесса. В этом смысле вследствие своей конкретности результат численного решения не обладает общностью аналитического метода. При численном интегрировании уравнений в частных производных точность результата в значительной степени зависит от количества проделанных вычислений. [c.49]

Устойчивость решения. При решении дифференциальных уравнений численными методами помимо вопросов точности важную роль приобретают вопросы устойчивости решения. Под устойчивостью метода решения дифференциального уравнения понимается способность накопления и скорость роста ошибки интегрирования. Как уже отмечалось выше, при использовании формулы (12—17) ошибка вычислений накапливается в процессе интегрирования. [c.356]

Значение интеграла в формуле (11.20) находят методом численного или графического интегрирования. Если селективность ф 5 0,9, то с достаточной для практики точностью можно использовать аналитическое решение уравнения (11.20), получаемое при Ц = [c.330]

Для каждого из найденных значений Оо оцениваются значения X по формуле (10). Подставляя эти значения в (9), по любым формулам численного интегрирования (если интегрирование нельзя осуществить непосредственно) определяем для выЗранных "Г] нозыг значения 0 . После этого процедура расчета повторяется снова для получения приближений Ог, О3,... до тех пор, пока отличие между следующими друг за другом приближениями не даст результата с интересующей нас точностью. [c.448]

На основе предложенной в [114] схемы метода Монте-Карло были проведены расчеты для реакции рекомбинации Н-ьН-ьН Нг-нНв интервале температур 2000—5000 К. При этих температурах длина волны де Бройля атомов водорода, участвующих в реакции, мала, и их движение можно описывать уравнениями классической механики. Поверхность потенциальной энергии взаимодействия трех атомов водорода достаточно хорошо исследо-аана [372], и, следовательно, в данном случае не было необходимости в процедуре восстановления реакционного потенциала. Исходя из данных работы [159], / о ===2,5 - 10 см. Начальные значения координат и импульсов атомов генерировались в соответствии с формулами (3.66) — (3.71), а затем осуществлялся переход в систему центра масс. Численное интегрирование системы уравнений Гамильтона проводилось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Кутта-Мерсона 4-го порядка [324]. Контроль вычислений осуществлялся по сохранению полной энергии и каждой из компонент момента импульса (гамильтониан сохранялся с точностью 0,1%, компоненты момента импульса — 0,01%). Эффективность предложенной схемы метода Монте-Карло составила 20%, т.е. только одна траектория из пяти оказывалась интересной для рассмотрения, эффективность схемы работы [306] (расчет траекторий в фазовом пространстве взаимодействующих атомов) составляла около 11%. [c.102]

В основе программы ДЕБАЙ лежит программа для численного интегрирования СИМП2 . Подынтегральная функция задана в строке 100. Ввод пределов интегрирования изменен. В формуле нижний предел интегрирования равен нулю. Так как нахождение значения функции /( с) при дг = О численными методами связано со значительными трудностями, в качестве нижнего предела интегрирования принято достаточно малое число А = 0.00001. Верхний предел интегрирования задается отношением в/Т, значение которого присваивается переменной Е. Требуемая точность интегрирования составляет 0,01%. Центральная часть программы такая же, как в программе СИМП2 . В дополнительной по сравнению с программой СИМП2 строке 4300 полученное приближенное значение интеграла умножается в соответствии с приведенной выше формулой Дебая на коэффициент (9/Е/Е/Е). Обратите внимание, что результат вычислений представлен в виде произведения некоторого множителя на универсальную газовую постоянную. Расчет несколь- [c.99]

Вследствие зависимости от состава жидкой фазы интеграл не поддается аналитическому решению относительно концентрации компонентов в жидкости в конце открытого испарения и не может быть определен численным методом для каждого компонента в отдельности. Цоэтому расчет состава жидкости на конце интервала интегрирования / предлагается вести с использованием методов приОл1 5сенного интегрирования, читывая достаточно высокую точность формулы Симпсона [c.139]

Большую точность расчета при одинаковом шаге интегрирования обеспечивает метод Симпсона, при котором вместо линейной интерполяции используют параболическую. Отрезок [а, Ь разбивают на четное число отрезков и через каждые три последовательные точки проводят параболу. Легко показать, что окончательная формула для численного расчета интеграла на равномерной сетке (х —. гг 1 к) будет иметь вид [c.69]

Наиболее известные алгоритмы решения систем, не разрешенных относительно производной, основаны на многошаговых формулах [14, 24, 59, 60]. В [61] для решения (2) используется двустадийная полуявная формула типа Рунге — Кутта, а для аппроксимации производной решения — формула трапеции. В [62] для решения (2) предлагается класс численных схем, которые совпадают с методами типа Розенброка, если их применять для решения (1). Там же на основе формул первого и второго порядка точности построены два алгоритма интегрирования задачи (2). В [63] описан класс методов решения (2), который при применении к (1) совпадает с (та, /с)-методами. Более подробный обзор методов решения (2) содержится в [63, 64]. [c.61]

Заканчивая данный раздел, сделаем некоторые замечания относительно использования явных методов для численного решения жестких систем дифференциальных уравнений. В ряде случаев возникает необходимость применения явных формул для решения жестких задач. Это требуется, например, при большой размерности дифференциальной задачи. Алгоритмы на основе неявных или полуявных формул, как правило, используют обращение матрицы Якоби, что в данном случае есть отдельная трудновыполнимая задача. В такой ситуации предпочтительнее использовать алгоритмы на основе явных формул, если жесткость задачи позволяет за разумное время получить приближение к решению. Современные алгоритмы на основе явных формул в большинстве своем не приспособлены для решения жестких задач по следующей причине. Обычно алгоритм управления величиной шага строится на контроле точности численной схемы. Это естественно, так как основным критерием является точность вычисления решения. Однако при применении алгоритмов интегрирования на основе явных формул для решения жестких задач этот подход приводит к потере эффективности и надежности, ибо вследствие противоречивости требований точности и устойчивости шаг интегрирования раскачивается, что приводит либо к большому количеству возвратов (повторных вычислений решения), либо к АВОСТу. Этого можно избежать, если наряду с точностью контролировать и устойчивость численной схемы. Может быть предложен способ контроля устойчивости явных методов и алгоритм интегрирования с контролем точности и устойчивости на основе явной формулы типа Рунге—Кутта второго порядка точности [c.279]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология