Аппроксимация уравнения дифференциального

Система дифференциальных уравнений (3.128) решается численно с использованием метода локальной линеаризации [140] по процедуре, предложенной в работе [21]. Очевидно, что на каждом шаге линеаризации движение происходит не по траектории наискорейшего спуска, а по близкой к ней траектории. Поэтому при решении линейной системы дифференциальных уравнений можно следить не за аппроксимацией правой части исходного уравнения дифференциального спуска, а лишь за убыванием функционала. [c.87]

Аналогичным образом оценивается порядок аппроксимации для дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение [c.271]

Формально используемый метод построения разностных уравнений в значительной степени соответствует интегральному методу [69, 92]. Однако, поскольку в качестве базовых дифференциальных уравнений здесь берутся дивергентные дифференциальные выражения основных законов сохранения (для участка капала длиной сЬс ), при этом при аппроксимации дивергентных дифференциальных производных будут использованы дивергентные разностные аналоги, обеспечивающие равенство потоков па общих границах соседних ячеек, применяемый метод следует считать интегро-интерполяционным [70, 94]. Иначе говоря, при построении разностной схемы в пашем случае адекватно описываются все интересующие физические явления для рассматриваемой разностной ячейки (т.е. выполнены интегральные законы сохранения). Обобщая изложенное для произвольного участка капала, являющегося объединением соседних разностных ячеек, можно утверждать, что сумма любого разностного уравнения (например, разностного уравнения неразрывности), умноженного па произведение (Ах А/) для данных ячеек будет давать соответствующий интегральный закон сохранения применительно к рассматриваемому участку капала. [c.489]

В соответствии с этим мы получаем три типа разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения. Выпишем одну из них [c.44]

Для узлов нулевого ряда / = О из начального условия следует и ( , 0) = Ыо (О- Замена дифференциального уравнения разностным дает связь значений функции и в нашем случае в четырех или пяти узлах. Поэтому можно использовать это уравнение для нахождения одного значения функций по трем известным. Например, для схемы, приведенной на рис. 1.12, а, если известны значения и во всех точках/-Г0 горизонтального ряда (из начального условия или из расчетов на предыдущих шагах), то значения в узлах / + 1 ряда вычисляются явным образом из конечно-разностной аппроксимации уравнения. То же относится к схеме на рис. 1.12, в. Для схемы на рис. 1.12, б уравнение (1.82) связывает не одну точку ряда 7 1, а три. Такая схема называется неявной. При использовании неявных схем нужно решать систему уравнений. [c.44]

Заметим, что для не малых значений коэффициента рекомбинации в общем случае аппроксимация разностных уравнений дифференциальными некорректна. Однако вблизи положений равновесия приращения малы и [c.257]

В настоящей работе для решения задач массопереноса широко используется МКР, получивший в практике гидрогеологических расчетов наибольшее распространение, что связано с его относительной простотой и наглядностью. К тому же выигрыш в математической точности аппроксимации исходных дифференциальных уравнений часто оказывается значительно меньше погрешностей схематизации и определения параметров процесса. [c.355]

Общее изменение содержания субстанций в ячейках П/д. Равенства (6.3.1)—(6.3.7) позволяют записать уравнения (5.3.4) для всех субстанций, входящих в состав модели. Эти уравнения представляют собой аппроксимацию системы дифференциальных уравнений [c.208]

Следует отметить, что уравнение (1.5) переходит в уравнение (10) при г = 0. Даже в упрошенной форме уравнение (1.5) далеко не всегда может быть решено. В общем случае г является -функцией концентраций более чем одного реагента и, следовательно, математическая проблема состоит в интегрировании системы дифференциальных уравнений вида (1.5). Эта общая проблема не может быть решена. Даже система дифференциальных уравнений вида (1.6) требует для своего решения ряда аппроксимаций. Тем не менее, если рассматривать очень простые выражения для г, то может быть предложен ряд асимптотических решений. [c.23]

Для оценки возможности аппроксимации методами качественной теории дифференциальных уравнений выявлено число [c.123]

Рассмотрим нестационарное течение упругой ВПЖ в упругой пористой среде. Дифференциальные уравнения для определения давления при упругом режиме пласта можно получить, дополняя закон фильтрации с предельным градиентом (11.8) (или другую аппроксимацию нелинейного закона) уравнением неразрывности и уравнением состояния флюида и пористой среды. Уравнение неразрывности рассматриваемого фильтрационного потока (см. гл. 6, 3) имеет вид [c.344]

Для расчета теплопередачи теплопроводностью в объеме заготовки и оснастки используются дифференциальные уравнения нестационарной теплопроводности для изотропного однородного тела, полученные для различных систем координат. Для численного решения указанных дифференциальных уравнений дифференциалы заменяем конечными разностями и разрешаем данные уравнения относительно определяемой температуры. При этом используем явную разностную схему с центральноразностной аппроксимацией [2]. [c.280]

Реальная возможность разработки универсальных алгоритмов численного решения указанных задач появилась лишь в последнее время, главным образом в связи с развитием и теоретическим обоснованием метода конечных элементов [29—34]. Существо этого метода состоит в аппроксимации сплошной среды, которая характеризуется бесконечным числом степеней свободы, совокупностью ограниченного числа подобластей (так называемых конечных элементов), каждая из которых описывается конечным числом степеней свободы. Сплошная среда разбивается воображаемыми линиями или поверхностями на конечное число частей (например, поверхности — на треугольные элементы объемные фигуры — на тетраэдры), в каждой из которых вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям и распределенные по границам элементов. Разбиение на конечные элементы достигается с помощью вариационного метода, в соответствии с которым минимизируется функционал, математически эквивалентный исходному дифференциальному уравнению. Этот функционал имеет реальный физический смысл и связывается, как правило, с понятием диссипации энергии. [c.11]

Рассмотрим простой пример получения аппроксимации весовой и переходной функций с помощью разложения в ряд передаточной функции W p). Пусть объект описывается простейшим дифференциальным уравнением первого порядка [c.112]

Вычисление собственных значенией. Для численного определения собственных значений воспользуемся методом ортогональных коллокаций. Для этого, как и в разд. 2, введем аппроксимацию решения задачи (23), (24) с помош,ью (12), для определения мД ) используем граничные условия (24). Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка г = 4Л + 1 с постоянной матрицей А(п X п). Имеем [c.122]

Уравнения (1,16) можно рассматривать как разностную аппроксимацию (при применении неявной разностной схемы) системы дифференциальных уравнений [c.53]

Дифференциальные уравнения модели проточного реактора с перемешиванием нелинейны только из-за входящего в них выражения, учитывающего скорость реакции. Вследствие относительной легкости, с которой можно обращаться с линейными уравнениями, эта функция иногда аппроксимируется в интересующей нас области двумя первыми членами ряда Тейлора. Линейная аппроксимация приемлема в окрестности точки разложения. В такой окрестности [c.64]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Если пытаться поступить подобным образом в случае дифференциальных уравнений в частных производных, то могут возникнуть по крайней мере две альтернативы либо одна из зависимых переменных разбивается на бесконечный ряд дискретных значений переменной состояния, либо состояние системы рассматривается как последовательность профилей, а в качестве траектории принимается поверхность, образованная движением линий профиля во времени в функциональном пространстве стационарных состояний. Первая из этих возможностей связана с конечно-разностной аппроксимацией, которая применяется в численном анализе дифференциальных уравнений в частных производных. Однако вторая возможность более приемлема, поскольку она приводит к удобной геометрической интерпретации. [c.116]

Рассмотрим сначала методы локального анализа чувствительности. Простейшим методом вычисления частных производных компонент решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по параметрам является поочередное изменение каждого из параметров на некоторую величину и численное интегрирование системы ОДУ. Таким образом, для расчета разностной аппроксимации матрицы частных производных =Э/,7 требуется численно проинтегрировать систему ОДУ 7 + 1 раз. Другой путь состоит в представлении в качестве динамических коэффициентов и составлении для них задачи Коши [420] [c.156]

Этот пример иллюстрирует возможности решения основного кинетического уравнения при наличии моделей с относительно узкими ядрами, которые приводят к ленточной структуре матриц в системе дифференциальных уравнений. При расчете моделей с широкими ядрами, возможно, понадобятся более сложные методы аппроксимации интегралов. Однако при использовании более сложных кубатурных формул на процесс дискретизации уравнения должны быть наложены такие ограничения, чтобы дискретное уравнение сохраняло основные физические свойства непрерывного уравнения. [c.200]

Нелинейные операционные блоки АВМ. Дифференциальные уравнения, которые решаются с помощью АВМ, могут содержать различные нелинейные члены. Соответственно нелинейные блоки АВМ предназначены для умножения переменных величин, их деления, моделирования экспоненциальных и других нелинейных зависимостей. Обычно это достигается аппроксимацией заданной функции линейными отрезками точность аппроксимации зависит от числа таких отрезков, а также от вида функции. Введение любого нелинейного элемента значительно снижает точность решения па АВМ по сравнению с решением задач, не требующих таких элементов. [c.336]

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативными. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Для численного решения дифференциальных уравнений теплопроводности и граничных условий дифференциаты заменяем конечными разностя ш и разрешаем данные уравнения относительно определяемой температуры. При этом строим явную разностную схему с центральноразностной аппроксимацией. Тогда дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в цилиндрических координатах примет вид [c.70]

Кроме сплошных моделей, широко применяют при решении задач теплопроводности сеточные модели. Идея и обоснование метода принадлежат С. А. Гершгорину [30]. Метод основан, в сущности, на тех же принципах, что и решение задач методом ЭГДА. Разница состоит лишь в том, что здесь используется конечноразностная аппроксимация исходных дифференциальных уравнений в частных производных. Это означает, что область моделирования разбивается на блоки конечных размеров. [c.61]

Ошибкой аппроксимации схемы называют сеточную функцию, возникающую при подстановке в сеточное уравнение схемы и граничные условия точного решения соответствующей задачи для дифференциального уравнения. [c.26]

Изложенный выше принцип шаговой регуляризации численного решения ОЗТ предполагает загрубление результатов за счет сглаживающего влияния вязкостных членов в соответствующем уравнении дифференциального приближения. По мере расширения области продолжения температурного поля по координате х условие слабой устойчивости (5.13) требует все большего ве/1мче ия шага временной дискретизации. При этом неминуемо страдает точность восстановления причинной характеристики из-за ухудшения аппроксимации уравнения теплопроводности, и полученное численное решение может не соответствовать реальным условиям теплообменного процесса. [c.99]

Свойство позитивности является естественным и очевидным для дифференциального уравнения (3.1.1). Что касается сеточных аппроксимаций, то позитивными могут быть только схемы первого порядка точности (теорема Годунова). Примеры нарушения позитивности для некоторых схем второго порядка точности будут приведены в 3.5. [c.71]

Следует, однако, заметить, что при использовании большинства стандартных процедур идентификации применительно к химикотехнологическим процессам возникает ряд трудностей. Эти трудности в значительной мере обусловлены тем, что при оперировании в расчетах формальным аппаратом алгебры (который является основным при дифференциально-разностной аппроксимации канонических дифференциальных уравнений состояния) недостаточное внимание уделяется специфике объектов химической технологии и характерным свойствам протекающих в них процессов (неста-ционарность шумов в самом широком смысле, распределенность параметров в пространстве, возможная нестационарность структуры функционального оператора, специфические виды нелинейностей и т. п.). В этой связи представляет интерес разработка вероятностно-статистических методов идентификации, основанных [c.16]

Тейлора, можно показать, что оно аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение с погрешностью (9(Ах, А1). В частности, доля погрешности аппроксимации уравнения неразрывности, определяемая параметром Ах, вьфажается в виде [c.529]

Из математической физики хорошо известно, что часто правильное ош сание газа дают уравнения гидродинамики. Уравнения Навье—Стокса, являющиеся дифференциальными уравнениями в частных произ-водцых, описывают изменение макроскопически наблюдаемых величин — плотности, гидродинамической скорости и температуры — в зависимости от координат и времени и с успехом применяются для изучения газовых потоков. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы любое решение уравнений кинетической теории приводило к гидродинамическому описанию в тех случаях, когда есть основания полагать, что последнее справедливо. В соответствии с этим одна из наших задач состоит в выяснении того, при каких условиях уравнения гидродинамики можно рассматривать как аппроксимацию уравнения Больцмана таким образом мы установим область применимости уравнений гидродинамики. К счастью, метод Чепмена—Энскога дает нам не только решение уравнения Больцмана, но одновременно сводит конструктивным путем кинетическое описание к гидродинамическому. ПоэтомОГ исследование приближений, используемых при таком переходе, позволяет получить полное представление об условиях, при которых справедливо гидродинамическое описание газа. [c.16]

Вместе с тем существу ет ряд объектов, которые по свое11 природе обладают ячеечной структурой. Типичными (фпмерами служат секционированные реакторы, тарельчатые колонны и т. д. Поэтому ячеечные модели являются не только удобной аппроксимацией для объектов, опис[.шаелн. х дифференциальными уравнениями, но и имеют вполне определенное самостоятельное значение. [c.50]

Для сведения исходной математической модели схемы к семейству линейных под юделей в работе предлагается кусочно-линейнаяя аппроксимация разделяющих многообразий диаграмм парожидкостного равновесия, бинодальных многообразий и многообразий химического равновесия. Такая агшроксимация позволяет использовать для анализа моделей хорошо разработанные методы линейной алгебры и линейного программирования. Очевидно, что такой подход может рассматриваться как частное приложение известного метода конечных элементов (метода дискретизации), нашедшего широкое применение при чис-ленно.м решении дифференциальных уравнений. [c.182]

Предлагаемый алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений основан на методе локальной линеаризации [140]. На каждом шаге интегрирования исходная ППЭ аппроксимируется квадратичной формой, возникающая при этом новая система дифференциальг ных уравнений является линейной и, следовательно, допускает точное решение. Улучшая аппроксимацию, можно добиваться сходимости нового решения к решению исходной задачи на всем интервале интегрирования. Так как близкие поверхности определяют практически одинаковые модели, то в смысле "траекторной нормы решения должны сходиться. Сохранение аддитивных интегралов движения исходной задачи на численных решениях обеспечивается специальным выбором аппроксимирующей ППЭ. [c.79]

Основу всех методов локальной линеаризации составляют методы интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, т.е. они так или иначе связаны с приближенным вычислением матричной экспоненты. В работе [95] предложено однополюсное дробно-рациональное приближение экспоненты в комплексной области. Известно, что неявные методы Рунге—Кутта при интегрировании линейной системы дифференциальных уравнений приводят к дробно-рациональной аппроксимации Падэ и, следовательно, трудоемки, так как фактически требуют обращения матричных многочленов. Неявные линейные многошаговые методы дают аппроксимацию ехр(Аг) главным корнем р(Аг) характеристического [c.146]

Более точные аппроксимации строятся с привлечением дифференциального уравнения (4.341) следую1цнм образом замечая, что [c.247]

Формула аппроксимации частных производных и дифференциальные уравнения, полученные для задач с граничшми условиями третьего рода, являются наиболее общими. Полагая уЗ О, o I или О, [c.9]

Нехарактервстическая форма модельного уравнения. До сих пор в этом параграфе рассматривались только обыкновенные дифференциальные уравнения, соответствующие характеристической форме модельного уравнения переноса с кинетикой. Имея в виду общие (нехарактеристические) сеточные аппроксимации, рассмотрим модельное неоднородное уравнение [c.98]