Монте-Карло метод вычисления числа

КИМ методом связано с определением значений подынтегральной функции над некоторым регулярным множеством точек. При решении аналогичной задачи по методу Монте-Карло расчет подынтегральной функции (с последующим суммированием) проводится над множеством случайных точек, равномерно распределенных в заданной области. Метод статистических испытаний используют при решении многих математических задач (вычисление интегралов, решение систем алгебраических уравнений, решение дифференциальных уравнений и др.), задач физического и прикладного характера (в особенности в атомной физике, статистической физике, в теории массового обслуживания, теории стрельбы и т. д.). Расчеты различных физических процессов по методу Монте-Карло связаны с получением последовательности случайных событий, моделирующей рассматриваемый процесс. Датой рождения метода считают 1949 г., хотя основные его идеи зародились раньше. Широкое распространение метод Монте-Карло получил благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин. С помощью машин оказалось возможным производить расчеты для достаточно длинных цепей случайных событий, чтобы статистические методы могли дать хорошие результаты. К этому следует добавить, что расчеты по методу Монте-Карло удобно программировать точность расчетов можно по желанию увеличивать путем увеличения числа статистических испытаний. [c.387]

Метод периодических граничных условий был разработан и применен для решения равновесных задач статистической физики (в частности, теории жидкостей и плотных газов) [196, 197, 339, 386, 453]. В работах [339, 386, 453] метод Монте-Карло использовался для вычисления на ЭВМ конфигурационных интегралов системы частиц путем усреднения по множеству случайных событий, образующих марковскую цепь с постоянными вероятностями переходов (эти вероятности зависят только от потенциальной энергии системы частиц). Возможности современных ЭВМ вынуждают ограничиться рассмотрением систем с числом частиц порядка 10 —10 . Для исключения [c.201]

Функция N1 (х, у) определяется формой элемента, расположением узлов, числом членов в полиноме. Разумеется, задача опять состоит в вычислении значений и,-. Это достигается применением какого-либо из известных численных методов, например вариационного метода, метода аппроксимирующих функций, метода Галер-кина, метода Монте-Карло и др. Используя граничные условия, получают ряд линейных (или нелинейных) алгебраических уравнений, в которые входят узловые значения переменных К как неизвестные величины. [c.597]

Реализация метода Монте-Карло связана с получением последовательности так называемых случайных чисел с заданным законом распределения. Особое значение имеют последовательности равномерно распределенных случайных величин, поскольку они часто используются при вычислениях и, кроме того, на основе последовательностей равномерно распределенных чисел строятся последовательности с другими законами распределения (нормальным, экспоненциальным и др.). Пусть I — случайная величина, которая может принимать любые (однако с фиксированным числом знаков после запятой) значения в интервале [0,1] О 1. Будем производить испытания над случайной величиной и выберем п значений подряд или любым произвольным образом, в результате чего получим последовательность Ь, 1п = 1п)- Пусть а, й) — некоторый промежуток на отрезке [0,1] 1 (а, Ь) — число элементов из последовательности , принадлежащих промежутку (а, Ь). Если последовательность равномерно распределенная, то при п > 1 значение (а, Ь)1п с точностью до статической ошибки совпадает с величиной Ь — а, как бы мы ни выбирали промежуток (а, Ь). Если интервал [0,1] разделим на равные промежутки, то числа, попадающие в различные промежутки, должны встречаться в среднем в одинаковых пропорциях при этом ни одно из чисел не должно иметь заметной тенденции следовать за каким-либо определенным другим. [c.387]

Наиболее употребительные имитационные методы, такие, как метод молекулярной динамики (МД) или Монте-Карло (МК), основываются на прямом моделировании систем, взаимодействующих с заданными потенциалами материальных точек, моделирующих в рамках классической механики атомы системы, и их целью является решение основной задачи статистической механики — вычисление свойств тел и систем по атомным (молекулярным) данным. Возможности такого моделирования определяются совершенством моделей, качествами вычислительных алгоритмов, мощностью ЭВМ. Если еще недавно были доступны системы всего из нескольких десятков атомов, то теперь возможны численные эксперименты с сотнями тысяч взаимодействующих частиц. Поскольку ясно, что ограничения по числу частиц — обязательная черта этих методов, представляется естественным их применение с максимальной эффективностью к исследованию систем с малым параметром, т. е. микро-гетерогенных, в частности адсорбционных, систем. [c.81]

Вычисление числа тг методом Монте-Карло [c.50]

Вычисление среднего значения функции методом Монте-Карло заключается в следующем. На отрезке [ , е] выбирают случайные точки, вычисляют значения функции в этих точках и находят их сумму. После деления суммы на число точек получают среднее значение, которое тем ближе к истинному среднему значению функции на заданном отрезке, чем больше выбрано случайных чисел на отрезке [о, е]. [c.64]

В том и другом методе для преодоления вычислительных трудностей, связанных с большим числом частиц, систему моделируют некоторым кубическим ящиком с небольшим числом частиц. Остальная часть учитывается введением периодических граничных условий. Для вычисления по методу Монте-Карло генерируется цепь Маркова с вероятностями конфигураций, пропорциональными больцмановскому множителю ехр (—рС/). Термодинамические свойства получаются как среднее вдоль цепи (т. е. рассматривается среднее по конфигурациям). [c.27]

Реализация метода Монте-Карло связана с получением последовательности так называемых случайных чисел с заданным законом распределения. Особое значение имеют последовательности равномерно распределенных случайных величин, поскольку они часто используются при вычислениях и, кроме того, на основе последовательностей равномерно распределенных чисел строятся последовательности с другими законами распределения (нормальным, экспоненциальным и др.). Пусть — случайная величина, которая может принимать любые (однако с фиксированным числом знаков после запятой) значения в интервале [0,1 ] О < < 1. Будем производить испытания над случайной величиной и выберем п значений подряд или любым произвольным образом, в результате чего получим последовательность 1. 2. , п)- Пусть (а, Ь) — некоторый промежуток на отрезке [0,11 (а, Ь) — число элементов из последовательности , принадлежащих промежутку (а, Ь). Если последовательность 1, [c.420]

Кроме описанной схемы реализации метода Монте-Карло, используется и еще одна схема, вообще не применяющая метода периодических граничных условий. В этой схеме (она применима только для задач с изотропным распределением скоростей, так что существенен только модуль скорости) пространство модуля скорости разбивается на ряд полос. При этом задача сводится фактически к решению системы уравнения баланса чисел заполнения каждого уровня. Такая модель (очевидно, она напоминает многогрупповую теорию переноса нейтронов) обладает целым рядом преимуществ. Так, например, значительно сокращаются затраты машинного времени — розыгрыш одного столкновения в силу упрощения вычислений ускоряется в 10 раз для 200 уровней и в 20 раз для 24 уровней. Проведенные по такой схеме расчеты показали слабую чувствительность результатов к числу уровней, что дает возможность резко сократить затраты машинного времени. [c.340]

Для развития прикладных аспектов зонального метода большое значение имела разработанная А. Э. Клеклем и С. Д. Дрейзин-Дудченко методика расчета коэффициентов радиационного обмена между зонами, основанная на методе статистических испытаний. Эта методика, реализованная в виде эффективной вычислительной профаммы для ЭВМ, позволяет проводить зональные расчеты в оптически неоднородной среде с учетом диффузного и зеркального отражений с помощью трехмерной объемной прямоугольной сетки различной конфигурации. Основная процедура профаммы Монте-Карло осуществляет вычисление разрешающих коэффициентов излучения между зонами —/.р которые определяют долю энергии, поглощенную в зоне у, от энергии, излученной в зоне /, с учетом возможных многократных отражений от фаничных поверхностей. Вычисление коэффициентов , основано на проведении т+п серий (по числу обьемных и поверхностных зон) численных экспериментов, которые заключаются в прослеживании за случайными процессами излучения, поглощения и отражения единичных пучков энергии (лучей). Эксперимент считается законченным, когда энергия луча в результате прохождения через поглощающую среду и поглощения поверхностными зонами достигнет заданной пренебрежимо малой величины. В зависимости от оптической плотности среды и поглощательной способности поверхностей длительность единичного испытания может быть различной в результате того или иного количества отражений луча от офаничивающих поверхностей. [c.404]

С. Алгоритм Монте-Карло. Когда инженеру или проектировщику необходимо учесть зависимость от направления, поляризацию или другие осложняющие расчет обстоятельства, алгоритм Монте-Карло является, невидимому, наиболее общим для применения и достаточно легко используемым методом. Метод Монте-Карло применялся в задачах радиационного переноса теплоты в некоторых работах, обзор которых дан в [7], Это упрощенный, приспособленный для машинных расчетов метод статистических испытаний при построении хода луча. Согласно электромагнитной теории поток энергии падающей волны при взаимодействии со стенкой разделяется на доли — отраженную, поглощенную и, возможно, прошедшую, В алгоритме Монте-Карло происходит сравнение случайного числа с найденной теоретически долей, и на основании этого сравнения весь падающий поток присваивается отраженной, поглощенной или прошедшей волне. При многократном повторении вычислительной процедуры окончательный результат получается правильным для полного потока всех лучей, поглощенной, отраженной и прошедшей составляющих, В основу алгоритма Монте-Карло положено исключение ветвления н процессе процедуры иостросиия хода луча. Энергия не отражается и пропускается одновременно, а отражается или пропускается, и один результат следует за другим. Метод Монте-Карло имеет преимущество при вычислении [c.478]

Метод Монте-Карло — один из методов вычислительной математики, назваемый также методом статистических испытаний. Специфическая черта его состоит в том, то в процессе вычислений используются случайные величины (случайные числа), и, следовательно, в расчеты вносятся вероятностные элементы. В любом из классических методов (например, при вычислении определенного интеграла по методу трапеций) процесс вычислений строго детерминирован последовательность действий, с помощью которых находят искомую величину, заранее однозначно определена. Вычисление многократного интеграла классичес- [c.386]

Результаты моделирования движения боковых цепей показаны на рис. 11.4 в виде среднеквадратичных перемещений атомов в зависимости от расстояния (выраженного через число связей) до первой простой связи в боковой цепи, использованной в качестве поворотной оси. Среднеквадратичные перемещения этих атомов, вычисленные из значений кристаллографических температурных факторов [5], лищь немного больше среднеквадратичного перемещения при моделировании по методу Монте-Карло. Использование при моделировании неподвижной основной цепи белка предположительно объясняет, по крайней мере частично, это различие. Мы не находим достаточно очевидной корреляции между кристаллографическими температурными факторами и среднеквадратичными перемещениями индивидуальных атомов. [c.214]

Данный метод не получил еще достаточно широкого распространения в применении к теории жидкого состояния, поскольку расчеты равновесных свойств жидкости требуют минимизации свободной энергии, а не потенциальной, для чего необходим очень большой объем вычислений. Известно некоторое число работ, посвященных расчету структуры жидкостей методами Монте-Карло и молекулярной динамики [46]. В этих работах для описания взаимодействий молекул жидкости чаще всего применялись потенциалы твердых сфер и реже — потенциалы типа 6—12 и 6-ехр. При этом даже такие жидкости, равновесная структура которых существенно зависит от ориентации молекул, обычно рассматриваются как одноатомные. Так, в работе [47] методом Монте-Карло были рассчитаны термодинамические функции жидкой воды с потенциалами 6-ехр. Понятно, что представление молекул воды в виде сфер не мохсет быть адекватным, в особенности, если речь идет не о термодинамических функциях, а о равновесной конфигурации жидкости. [c.79]

Клеспер с сотр. [31] предложили при вычислении вероятностей различных выборочных последовательностей звеньев в сополимерах, образующихся при обратимых полимераналогичных превращениях, считать любые две последовательности, разделенные диадой (АВ), независимыми Однако в отличие от необратимой реакции, в работе [31] не сравниваются результаты численного расчета, основанного на таком допущении, с результатами, полученными методом Монте-Карло ни при каких значениях кинетических констант. В работах [46, 47] отмечено, что продукты равновесных полимераналогичных реакций в рамках модели эффекта соседа описываются некоторой цепью Маркова, и вычислены параметры этой цепи. Вопрос о числе независимых констант равновесия для различных моделей полимераналогичных реакций обсуждается в работе [48]. [c.301]

Метод Монте-Карло является одним из методов вычислительной математики. Специфическая черта этого метода, называемого также методом статистических испытаний, состоит в том, что в процессе вычислений используются случайные величины (случайные числа), и, следовательно, в расчеты вносятся вероятностные элементы. В любом ю классических методов (например, при вычислении определенного интеграла по методу трапеций) процесс вычислений строго детерминирован последовательность действий, с помощью которых находится искомая величина, заранее однозначно определена. Вычисление многократного интеграла классическим методом связано с определением значений подынтегральной функции над некоторым регулярным множеством точек. При решении аналогичной задачи по методу Монте-Карло расчет подынтегральной функции (с последующим суммированием) проводится над множеством случайных точек, равномерно распределенных в заданной области. Метод статистических испытаний используется при решении многих математических задач (вычисление интегралов, решение систем алгебраических уравнений, решение дифференциальных уравнений и др.), задач физического и прикладного характера (в особэнности, в атомной физике, статистической физике, в теории массового обслуживания, теории стрельбы и т. д.). Расчеты различных физических процессов по методу Монте-Карло связаны с получением последовательности случайных событий, моделирующей рассматриваемый процесс. Датой рождения метода считают 1949 г., хотя основные его идеи зародились раньше. Широкое распространение метод Монте-Карло получил благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин. С помощью машин оказалось возможным производить расчеты для достаточно длинных цепей случайных событий, чтобы статистические методы могли дать хорошие результаты. К этому следует добавить, что расчеты по методу Монте-Карло удобно программировать точность расчетов можно по желанию увеличивать путем увеличения числа статистических испытаний. [c.420]

Кроме описанной схемы реализации метода Монте-Карло известна еще одна, вообще не использующая метода периодических граничных условий. Она применима только в задачах с изотропным распределением скоростей, где существенным оказывается только модуль скорости. Пространство модуля скорости разбивается при этом на ряд полос и задача сводится фактически к решению системы уравнений баланса чисел заполнения канл-дого из них. Такая модель (она напоминает многогрупповую теорию переноса нейтронов) обладает целым рядом преимуществ. Например, значительно сокращаются затраты машинного времени — розыгрыш одного столкновения в силу упрощения вычислений ускоряется в 10 раз для 200 полос и в 20 раз для 24 полос. Проведенные по этой схеме расчеты показали, что результаты слабо чувствительны к числу полос, что даст возможность резко сократить затраты машинного времени. [c.163]

Ключевой этап проектировочного расчета - нахождение пространственного распределения молекулярных потоков и потоков активных центров в полости проектируемого насоса. Анализ этого распределения может быть выполнен уже названным методом угловых коэффициентов либо другими методами - Монте-Карло, интегра/1ьно-ктети-ческим, эквивалентных поверхностей. Здесь будем использовать метод угловых коэффициентов. При анализе простых структур с числом поверхностей не более пяти (а именно такой структурой является обычно ЭФН) этот метод предпочтителен он наиболее нагляден, его применение основано на табулированных структурно-геометрических характеристиках ЭФН и не требует громоздких вычислений. При расчете более сложных структур, например геометрически разветвленных систем на основе электрофизических средств откачки, необходимо переходить к другим методам. [c.78]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология