Экстремум функционала

Предположим, что задача оптимизации сведена к задаче отыскания экстремума функционала [c.199]

Таким образом, для нахождения всех зна. чений неизвестных величин (Сь С,, л " и в дополнение к уравнениям (У,71) необходимо иметь еще два соотношения, получаемые из условия экстремума функционала (У,48). [c.204]

Например, если нужно найти оптимальный температурный профиль реактора или оптимальный способ изменения температуры Т при пуске реактора, должны быть найдены оптимальные функции У ( ) II Т (т), где — длина, т — время- Этим функциям отвечает оптимальное численное значение оптимизируемой величины У, называемое функционалом, причем У =Т[Т (0] или V = = У[Т (т)]- Такие задачи решают вариационными методами и их, как правило, удается сформулировать в виде найти экстремум функционала [c.212]

Таким образом, зная функционал, можно получить уравнение для функции, на которой он достигает экстремума, и обратно, имея некоторое дифференциальное уравнение для функции и рассматривая его как уравнение Эйлера вариационной задачи, можно построить соответствующий функционал. При этом появляются дополнительные возможности для приближенного решения задачи. Например, можно сузить класс пробных функций, ограничившись функциями определенного вида с параметрами. Подбирая значения этих параметров из условия экстремума функционала, найдем и приближение к искомой функции, и приближение к искомой величине — значению функционала. При этом если погрешность в функции будет порядка Д, то погрешность в значении функционала будет порядка Д , так как вследствие (1.106) вариация функционала не будет содержать линейных слагаемых по б/. [c.43]

В вариационном методе доказывается, что можно подобрать такие множители Лагранжа Хрд, что функционал - Л будет достигать безусловного экстремума на тех же функциях, на которых достигает экстремума функционал (1.107) при дополнительных условиях (1.110). Соответствующие уравнения Эйлера имеют вид [c.45]

Условия нормировки можно учесть обычным образом с помощью множителей Лагранжа При этом получается задача на экстремум функционала [c.100]

Необходимо подчеркнуть, что экстремум функционала g следует искать в заданном подпространстве Лдг при фиксированном операторе Р. [c.101]

Отметим, что если рассматривать в (1П.42) величину Ф как независимую переменную, то уравнение (111.41) для этой функции совпадает с условием экстремума функционала Т (П1.42). [c.225]

Уравнения Эйлера выводятся как необходимые условия экстремума функционала. Поэтому полученные интегрированием системы дифференциальных уравнений функции должны быть проверены на экстремум функционала (см. главу V, стр. 213). [c.32]

Решением же задачи отыскания экстремума функционала / служат одна или несколько функций x№(t) (/=1,., ., q), при подстановке которых в выражение функционала (V, 2) его величина принимает экстремальное значение. [c.202]

Таким образом, в вариационном исчислении задача отыскания неизвестных функций сводится к решению дифференциальных уравнений. Аналогично тому, как. в анализе условие равенства нулю дифференциала dx функции x(t) является только необходимым условием экстремума функции x(t), уравнения Эйлера обеспечивают также лишь необходимые условия экстремума функционала. [c.213]

Таким образом, рассматриваемая задача оптимизации реактора идеального вытеснения сведена к вариационной задаче отыскания экстремума функционала (V, 112) при дополнительном условии (V.113), т. е. к изопериметрической задаче. [c.221]

Условный экстремум функционала. Рассмотрим теперь задачи отыскания экстремума функционала, в которых ограничения на неизвестные функции отличаются от соотношений (V, 11 8-). Простейшие примеры таких задач с ограничениями в форме системы дифференциальных уравнений уже были приведены выше (см. стр. 204). В более общем случае для функционала (V, 117) эти ограничения могут иметь вид дифференциальных уравнений [c.222]

При наличии неголономных связей задача отыскания экстремума функционала (V, 117) сводится к решению системы дифференциальных уравнений Эйлера [c.223]

Выведем теперь соотношения, определяющие оптимальное управление, которые могут быть получены при использовании математического аппарата классического вариационного исчисления. В этом случае векторное уравнение математического описания процесса может рассматриваться как система неголономных связей (V, 121) для задачи отыскания условного экстремума функционала (VII, 545). [c.402]

При определении оптимума в задачах, где независимыми переменными являются неизвестные функции, могут применяться вариационные методы (см. табл. П-З). В этих случаях задача сводится к нахождению экстремума функционала, зависящего от одной или нескольких неизвестных функций. [c.141]

Для функционалов типа (1) характерно то, что умножение функции г ) на произвольный множитель а приводит к умножению функционала на а Поэтому любое значение /( Ji) можно уменьшить или увеличить при умножении на соответствующий множитель а (кроме случая /(г >) = 0). Это означает, что ставить задачу об экстремуме функционала (1) не имеет смысла до тех пор, пока мы не учтем, что среднее значение <г ) Я i )> отвечает энергии системы только на нормированных функциях [c.142]

Уравнение (4) показывает, что поиск экстремума функционала /[ф], заданного выражением (3), в конечном итоге сводится к поиску экстремума несколько отличного функционала [c.144]

Базисные функции х всегда могут быть выбраны нормированными, тогда как ортогональными друг другу они быть не обязаны = 1, и в общем случае 5 О при к I (согласно неравенству Коши -Шварца s 1). Экстремум функционала [ф] - это то же, что и экстремум функции /, и достаточными условиями для его существования будут следующие Э/ / Зс = О и Э/ / дс = О для любого к (если вещественны, то эти два условия совпадают, если же комплексны, то и с"1 можно считать независимыми переменными, поскольку - ib , вещественные величины и Ь [c.147]

При поиске экстремумов функционала Е, значения которого зависят от выбора функций г]),- при дополнительных условиях их ортонормированности, как уже было сказано в 1 гп. Ш, можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Именно, отыскание условного экстремума эквивалентно поиску безусловного экстремума функционала [c.277]

Согласно основной лемме вариационного исчисления при независимой вариации 0<ф, одной лишь функции необходимое условие экстремума функционала б/, = О означает равенство нулю того выражения, на которое под интегралом умножается бг1),<1). Прежде чем, однако, выписать это требование, отметим, что при вещественных функциях и вещественных вариациях бф, приращение Z совпадает со всем тем, что выписано в правой части (6) перед Z, а при комплексных функциях г ), и комплексных вариациях бг1) Z почти полностью совпадает с выражением, комплексно сопряженным выписанному в правой части (6) в явном виде различаются лишь те члены, которые содержат неопределенные множители Лагранжа, за счет того, что в [c.278]

Совершенно иной, чрезвычайно плодотворный метод моделирования рабочих процессов поршневых машин разработан в 1970— 1975 гг. Ю. Н. Масловым и И. И. Любимовым в Саратовском политехническом институте. Он основан на выявлении связи между потоком энтропии и изменением объема рабочего тела. При этом используется второй закон термодинамики в форме Гюи. Задача сводится к нахождению экстремума функционала, выражающего баланс энтропии внутри и на границе рабочего тела методами термодинамики необратимых процессов. В результате найден эффективный путь вычисления внешних потерь (теплопередачи) в двигателе внутреннего сгорания и моделирования его индикаторной диаграммы. Подробности см. в [44, 451. [c.80]

Таким образок, для нахождения всех значений неизвестных величин в дополнение к уравнениям (97), (98) необходимо еще иметь два соотношения, которые могут быть получены из условия экстремума функционала. [c.48]

Условный экстремум функционала [c.52]

Существует несколько способов построения алгоритмов идентификации дефектов. В главах 2 и 3 показано, что непосредственная инверсия прямых решений, как правило, невозможна. Достаточно корректные решения можно получить, рассматривая невязку функционала, образованного экспериментальными данными и соответствующим теоретическим решением, что приводит к необходимости отыскивать глобальный экстремум функционала в многомерном пространстве параметров ТК. На практике наиболее простые решения обратных задач ТК получают путем инверсии численных результатов решения прямых задач и их аппроксимации теми или иными формулами. При [c.117]

Уравнения Эйлера выводят как необходим[)1е условия экстремума функционала. Поэтому нолученные интегрированием системы диф-( )е )еициальных уравнений функции должны быть проверешл иа экстремум функционала (см. главу V, стр. 202). [c.31]

Таким образом, парнационная формулировка этой задачи сводится к определению экстремума функционала [c.599]

Таким образом, зависит только от Я и Я , в то время как / в уравнениц ( 6.3- 1) является функцией Р., Я,,. .., Рм- Чтобы найти экстремум функционала /, [c.599]

Получим уравнения для спинюрбиталей Фр(х) из условия экстремума функционала энергии (2.60) при дополнительных условиях (2.SS). Уравнения Эйлера такой вариационной задачи имеют вид (1.112). Вариационную производную от bip, р) находят сразу [c.79]

Таким образом, для наилучших в смысле экстремума функционала энергии спинюрбиталей Фр(х) получают систему уравнений, названную системой уравнений Хартри — Фока [c.79]

Таким образом, для нахождения всех значений неизвестных величин (Сь С2, (0), ft), я(0) и jtfft)) в дополнение к уравнениям (V,71) необходимо иметь еще два соотношения, получаемые из условия экстремума функционала (V, 48). [c.215]

Уравнения Хартри-Фока. Уравнения типа (9) были получены следующим образом сначала рассматривалось необходимое условие экстремума функционала / при вариации всего лишь одной функции -ф , что привсло К уравнению (7). Далее было отмечено, что при вариациях других функций получаются аналогичные уравнения и что функции допускают в однодетерминантном представлении Ф унитарное преобразование, так что на самом деле можно совершенно аналогично записать функционал энергии на функциях на которых матрица е с элементами е,у — диагональна (мы еще не знаем эти функции, но воспользоваться тем, что матрица г диагональна, уже можем). Таким образом, мы пришли к системе N уравнений вида [c.280]

В этом глучяв задача отыскания экстремума функционала (122) сводится к решению системы уравнений Эйлера [c.54]

Протокол нагрева и его оптимизация. Гипотетическая оптимальная процедура ТК. В силу линейности задач ТК, по крайней мере при обычных условиях, избыточная температура поверхности Т и температурный сигнал АГ прямо пропорциональны мощности (энергии) нагрева. Поэтому, как отмечено выше, для обеспечения максимального значения АГ мощность нагревателя 2 должна быть возможно большей. В то же время рост 2, с одной стороны, ограничивается предельно допустимой температурой материала изделия (температурой деструкции), с другой стороны, максимизировать следует не сам сигнал, а отношение сигнал/шум. Во многих случаях для этого достаточно обеспечить максимальное значение текущего температурного контраста С = ДГ/Г. Еще в 1975 г. А.Е. Карпельсон и др. показали, что максимальный контраст создается мгновенным точечным источником, перемещающимся по объему изделия [29]. Авторами исследован на экстремумы функционал, полученный в результате аналитического решения трехмерной задачи для тела с дефектом, который моделировали экспоненциальным изменением ТФХ. [c.96]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология