Экстремальная задача нелинейного программирования

Совпадение решения с экстремальной точкой системы связей и ограничений здесь, как и в случае расширения Лагранжа, приводит к определенным трудностям. Поясним их, считая для простоты, что в задаче нелинейного программирования имеется единственное условие типа равенства [c.78]

Одной из возможностей интенсификации процессов химической технологии является использование периодических изменений управляющих воздействий и переменных, характеризующих состояние процесса. При таком нестационарном периодическом режиме в целом ряде случаев средняя продуктивность аппарата за цикл оказывается больше, чем при оптимальном режиме с неизменными параметрами. Методы расчета таких режимов в последние годы интенсивно развиваются-—см. работы (12, 15, 38] и др. Автор полагает, что возникающие здесь вариационные задачи имеют свою специфику и тесно связаны с усредненными задачами нелинейного программирования. Как для понимания методов решения задач оптимизации, так и для получения алгоритмов решения очень полезным оказалось понятие о расширении экстремальных задач. С использованием этого понятия изложены некоторые принципиальные [c.3]

Здесь целесообразно отметить, что нелинейное программирование как новое математическое направление возникло и развилось за три последних десятилетия из-за невозможности учета ограничений — неравенств на оптимизируемые параметры и на нелинейные функции с помощью классических методов решения экстремальных задач. [c.121]

В процессе последовательного расчета вариантов очередное значение функции 3 сравнивается с минимальным из ранее рассмотренных и в результате выбирается экстремальное значение (зона значений) целевой функции 5. Варианты, не удовлетворившие тем или иным ограничениям, поставленным в условиях задачи, из сопоставления исключаются. При решении задач выпуклого нелинейного программирования методом последовательного сравнения вариантов способ деления допустимой зоны определения каждого независимого оптимизируемого параметра на отрезки равной длины не является наилучшим. Целесообразнее проводить поиск экстремума при переменной длине отрезка, уменьшая его по мере приближения к зоне оптимума. Сопоставление ряда способов выбора размера отрезка показывает, что для задач этого класса оптимальным является способ деления, [c.125]

Методы исследования функций классического анализа (см. главу III) представляют собой наиболее известные методы решения несложных оптимальных задач, с которыми инженер знакомится при изучении курса математического анализа. Обычной областью использования данных методов являются задачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как правило, применяют вычислительные машины. При этом надо решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего приходится использовать численные методы, аналогичные методам нелинейного программирования (см. главу IX), [c.30]

По существу методы нелинейного программирования предусматривают решение задач на вычислительных машинах, особенно на цифровых. Рассматриваемые методы используются также при создании современных систем экстремального регулирования, в связи с чем некоторые из этих методов претерпели значительные изменения, упрощающие их аппаратурную реализацию. Сейчас [c.545]

Данная глава посвящена физико-математическим и вычислительным аспектам экстремального подхода к потокораспределению в г.ц. с сосредоточенными параметрами [132, 133, 140]. Такой подход, как уже отмечалось в разд. 3.2, характеризуется тем, что рассматриваемая задача может ставиться и решаться (исходя из физических принципов или формальных соображений) как задача на условный или безусловный экстремум, а также и нелинейного программирования. [c.92]

Задача определения кинетических констант сложной реакции обычно формулируется как задача поиска минимума функции многих переменных (предэкспонент, энергий активации и др.). Подобную экстремальную задачу можно решать различными способами. Опыт показывает, что эффективными при этом являются методы нелинейного программирования. Большой объем вычислений и нелинейность функций при решении таких задач требуют применения для разработки кинетических уравнений (этапы 4 и 5) АВМ либо ЦВМ (для очень сложных систем используют ЦВМ, чтобы избежать ошибок вследствие невысокой точности АВМ). В общем случае может оказаться полезным способ, при котором часть процедур выполняют на АВМ (качественный анализ выбранного механизма и вычисление ориентировочных значений констант в кинетических уравнениях), а окончательный расчет осуществляют на ЦВМ. Постановка и содержание задачи составления кинетических уравнений предопределяют также возможность использования аналого-цифрового комплекса для построения кинетических моделей. [c.87]

Большинство практических задач оптимизации не может быть решено методами классического дифференциального и вариационного исчислений, В последние годы получили развитие новые методы, сильно расширившие круг решаемых экстремальных задач. К ним относятся линейное, нелинейное и динамическое программирование и принцип максимума Понтрягина. [c.129]

В настоящее время большинство аналитических методов решения экстремальных задач обобщены и сведены Дубовицким и Милютиным в одну теорему, которую можно назвать основной теоремой математического программирования. Из нее, как следствия, вытекают все основные теоремы вариационного исчисления, принципа максимума, линейного и нелинейного программирования. [c.130]

В последнее время для решения многомерных экстремальных задач (при наличии ограничений на области изменения переменных) применяют методы математического программирования. В наибольшей степени разработаны методы линейного программирования, предусматривающие нахождение экстремума линейных и целевых функций. Следует отметить, что зависимости полезного эффекта и затрат от параметров элементов проектных решений системы пожарной защиты, как правило, нелинейны, что требует использования специальных методов нелинейного программирования, реализация которых возможна лишь при использовании современных электронно-вычислительных машин. [c.99]

Однако преимущество 1-го и 2-го подходов состоит не только в уменьшении размерности экстремальных задач, но и связано с проблемой многоэкстремальности. Метод структурных параметров приводит обычно к многоэкстремальной задаче [122], что связано, по-видимому, с тем, что в глобальную схему включены все возможные варианты схем ТС. Выбор той или иной структуры определяется решением задачи нелинейного программирования. В то же время при 1-м и 2-м подходах основная тяжесть выбора структуры ложится на решение задачи о назначениях, а с помощью метода нелинейного программирования приходится решать задачу оптимизации ТС, фиксированной структуры. Конечно, полностью избавиться от многоэкстремальности не удается, поскольку даже задача оптимизации ТС фиксированной структуры часто оказывается многоэкстремальной. [c.224]

Математическое ошсание потокораспределешя в г.ц. в виде задач на услов-ньш экстремум позволяет сделать следующий шаг и перейти к эквивалентным задачам нелинейного программирования, которые можно отнести или к классу задач выпуклого программирования с линейными ограничениями, или к классу нелинейных сетевых транспортных задач. При этом необходимо ввести неотрицательные переменные, как этого требует каноническая формулировка этих задач, что, кстати, позволяет одновременно решать и проблему определения истинного направления течения на ветвях цепи. Рассмотрим такой переход на примере экстремальной задачи с минимизируемой функцией в виде (7 7). где / - (х.) = х.-1х/1 х,- (в > 1) при Ах = 0. [c.99]

Пусть у — решение задачи нелинейного программирования, удовлетворяющее условиям (III-2) — (III-6), а fl = fo у ) — ее значение. Для простоты записи включим в число связей ограничения, активные в точке у. Так как в невырожденном случае размерность вектора у больше, чем число связей N >> п), то любые к = N — п составляющих решения можно считать свободными параметрами задачи. Вектор этих параметров с индексом 7 = 1, 2,. . ., к обозначим через у . проварьируем его значения в экстремальной точке у1 и найдем градиент /о по у при условии, что остальные зависимые составляющие у (обозначим их через у ) меняются в соответствии с условиями (II1-2) и ограничениями (III-3). Этот градиент характеризует чувствительность значения задачи к изменению свободных переменных. К числу свободных переменных моншо отнести и параметры, которые не выбирались в процессе решения как оптимальные, а были фиксированы. Требуется узнать, как, например, отразится на fl неточное знание этих параметров. [c.133]

По существу методы нелинейного программирования предусма-тривакп решение задач на вычислительных машинах, особенно на цифровых. Рассматриваемые методы используются также при создании современных систем экстремального регулирования, в связи с чем некоторые из указанных методов претерпели значительные изменения, упрощающие их аппаратурную реализацию. Сейчас имеется достаточное число примеров построения таких систем, в которых в той или иной модификации применяются методы нелинейного ирограммироваиия >. [c.547]

Повышенный интерес к экстремальному подходу и виду минимизируемого функционала объясняется еще и тем, что задачу расчета потокораспределения можно тогда трактовать и как нелинейную сетевую транспортную задачу. Такая интерпретация имеет теоретическое и практическое значение. Первое заключается в том, что формальное применение теоремы о потенциалах позволяет установить двойственный характер гидравлических параметров (расходов на ветвях и давлений в узлах) и соответст-ственно систем уравнений первого и второго законов Кирхгофа, а также и вид функционала. Подобное рассмотрение проведено Ю31. Ермольевым и ИЛ1. Мельником [66]. Подробный содержательный и математический анализ применимости теории нелинейных сетевьк транспортных задач к сетям физической природы дан в книге EJii. Васильевой, Б.Ю. Левита и В.Н. Лившица [35]. Прикладная сторона здесь заключается в возможности применения методов и стандартных программ для решения сетевых транспортных задач или даже общих методов нелинейного программирования, например методов возможных направлений [74,211]. [c.44]

Еще Дж. Данциг показал [56], что симплекс-метод для сетевой задачи линейного программирования (ЛП) сводится к целенаправленному перебору деревьев этой сети. А теоретические основы построения и алгоритмизации сетевых потоковых моделей изложены в известной книге Л. Форда и Д. Фалкерсона [237], которые, в частности, раскрыли двойственность задач о максимальном потоке и минимальном разрезе сети. Имеется ряд монографий отечественных и зарубежных авторов, в которых рассматриваются различные вопросы теории и методов решения нелинейных сетевых транспортных и других экстремальных задач на графах [35, 66, 257]. Применительно к трубопроводным системам (ТПС) наиболее полное истолкование сетевых потоковых моделей (на примере задач оптимизации развития, текущего и перспективного планирования работы газотранспортных систем и Единой системы газоснабжения страны) дано в монографии [228]. [c.166]

Анализ параметрической чувствительности процесса по уравнениям регрессии показан на рис. 32—35. Расчеты сделаны для центра плана. Степень извлечения КаО и М 0 в раствор возрастает с увеличением температуры, продолжительности и нормы азотной кислоты (рис. 32—34). Зависимость степени извлечения МвО и К2О в раствор от концентрации азотной кислоты носит экстремальный характер (рис. 35). Значение экстремума (максимума) для степени извлечения КЮ равно в данных условиях (в центре плана) 91,0%, а М 0 — 93,0% при концентрации азотной кислоты 12,5%. Из приведенных данных следует, что при всех изученных условиях МщО быстрее извлекается из полигалита в раствор, чем К2О. Поэтому при установлении оптимальных условий процесса разло- жения полигалита азотной кислотой в качестве основного показателя была выбра11а степень извлечения КгО. В результате решения задачи оптимизации методом нелинейного программирования получено, что в изученном диапазоне изменения факторов наибольшая степень извлечения КгО в раствор (94,5%) достигается в следующих условиях концентрация НЫОэ 12,5%, норма НМОз —200% от стехиометрии, продолжительность взаимодействия — 20 мин. В этих условиях МвО практически полностью переходит в раствор. [c.188]

С помощью линейного протраммирования можно отыскивать экстремумы линейных функций при линейных ограничениях . Нелинейное программирование - дает (возможность обобщить классические методы решения дискретных экстремальных задач и применить их к практически важному случаю, когда ограничения задаются системой неравенств (теорема Куна и Такера). Метод динамического программирования разработан Бёллма-ном и др. он может использоваться для решения широкого круга дискретных и непрерывных задач. Метод основан на так называемом принципе оптимальности оптимальная стратегия [c.129]