Среднее значение нелинейной функции

У нелинейных многоатомных молекул полный орбитальный момент электронов L не имеет определенного значения, так же как у двухатомных молекул. Однако, в отличие от двухатомных молекул, его проекция на какое-либо направление также не имеет определенного значения и ее средняя величина равна нулю. Поэтому электронные состояния нелинейных многоатомных молекул, принадлежащих к определенным точечным группам симметрии, принято классифицировать по типам симметрии, так же как их колебательные состояния. В случае групп низшей симметрии (с осями симметрии не выше второго порядка) возможны только невырожденные электронные состояния А и В. Для молекул с выделенной осью симметрии, например принадлежащих к точечным группам Dp и Ср , электронные состояния разделяются на симметричные и антисимметричные по отношению к горизонтальным осям Сг, вертикальным плоскостям Оц и горизонтальной плоскости Ор. Симметрия электронной волновой функции по отношению к этим элементам симметрии обозначается цифровыми индексами и штрихами с правой стороны символа состояния, так же как и для колебательных состояний (см. ниже, стр. 60). [c.58]

Эти формулы и решают вопрос о нахождении среднего значения м дисперсии нелинейной функции двух случайных величин. [c.470]

Среднее значение нелинейной функции. Рассмотрим функцию g Xl, Хг,. .., Хп) от случайных величин Х Хг,. .., Хп, которые имеют средние и ковариации оц (/, /=1, 2,. .., п). Рассмотрим далее разложение Тейлора функции д(Х1, Хг, Хп) в точке (аи [c.99]

Для количественной оценки роста коэффициента продуктивности в разных интервалах изменения перепада давления были введены понятия условного и относительного коэффициентов продуктивности скважины. Причем за условный коэффициент продуктивности принимается отношение дебита скважины к соответствующему перепаду давления. В таком понимании для нелинейной области оценивается некоторое среднее значение коэффициента продуктивности. Фактическое же значение его будет определяться как угловой коэффициент касательной к индикаторной кривой в данной точке или как производное функции Q = Q(AP). Однако такая оценка коэффициента продуктивности скважины имеет лишь теоретическое значение, а для решения промысловых задач нужно определять коэффициент продуктивности скважины по всему интервалу перепадов давления. Из. приведенных на рис. 3 кривых видно, что условный коэффициент [c.20]

Среднее значение нелинейной функции. Рассмотрим функцию g(Xu Х2,, Хп) от случайных величин Хи Х2,. , Хп, которые имеют средние ц, и ковариации (л / = 1, 2,, п). Рассмотрим далее разложение Тейлора функции giXl, Х2,. Хп) в точке ( 1, [c.99]

Минимизацию функции отклонений осуществляли методом нелинейных оценок с ограничениями, учитываемыми методом ИЗП второго порядка. Среди 138 экспериментов, которыми мы располагали для обработки, основную массу представляли собой опыты при температурах 470 и 530 °С. Между тем, при таких температурах почти не наблюдается экстремальная зависимость от парциального давления водорода, а представлены главным образом правые, падающие ветви соответствующих зависимостей. Это обусловлено тем, что нри снижении температуры максимум скорости сдвигается в сторону более низких Рн Поэтому данные пришлось уравновесить основную часть низкотемпературных точек опустили, чтобы число опытов при каждой температуре оказалось примерно одинаковым. Для каждой экспериментальной кривой зависимости от Рн, при постоянном РнгО были оставлены крайние точки по значениям Рнг и одна — две точки при средних значениях Рду [c.237]

Усредненные расширения. Целый класс расшире-, ний задачи нелинейного программирования связан с переходом от однократного решения задачи к ее многократному решению. При этом нас интересует не результат каждого отдельного решения, а результат, средний по совокупности всех таких решений. Некоторые из ограничений не требуется выдерживать при каждом единичном решении, но средний расход сырья, средняя производительность и прочие параметры заданы. Наконец, при многократном решении задачи некоторые из определяющих ее зависимостей могут быть функциями от средних значений искомого решения. [c.23]

Средние значения о и D являются функциями максимальной избыточной энтальпии и показателей степени (параметров нелинейности) ki и ki. [c.127]

Стохастическое выражение (43), как и аналогичное выражение для более высоких нелинейностей, является линейным относительно случайных функций имеющих нулевое среднее значение. Поэтому (8у)в от В не зависит, и во всех приближениях будем иметь [c.207]

Учитывая введенное обозначение, выполним следующие преобразования. Функцию смещения Аг можно считать непрерывной и дифференцируемой. Разложим функцию Аг в ряд Тейлора в малой окрестности точки со средними значениями параметров. Опуская члены второго и более высокого порядка, т. е. проводя линеаризацию исходного нелинейного уравнения для Аг, получим [c.578]

Во многих практических статистических задачах необходимо рассматривать нелинейные функции от случайных величин. Например, большинство задач спектрального анализа являются нелинейными. За исключением некоторых специальных случаев, невозможно вывести точные плотности вероятности этих нелинейных функций, и, следовательно, нужно описывать эти плотности вероятности с помощью их моментов. В этом разделе показывается, как вывести приближенные выражения для среднего значения и дисперсии нелинейной функции от случайных величин. [c.99]

Решению исходной задачи нелинейного программирования соответствует значение fl в точке с координатами С,- =0, Су = = 0. Что касается задачи нелинейного программирования в среднем, то ее значение равно ординате выпуклой оболочки функции достижимости в той же точке [18] [c.88]

Полученный на опыте результат о нелинейной зависимости заслуживает особого внимания. Его значение может оказаться решающим в выяснении некоторых спорных вопросов в кинетике разрушения, в. частности, относительно величины начальной энергии активации (см. гл. УП). Действительно, если коэффициент перегрузки был бы постоянным, то зависимость энергии активации распада перенапряженных связей в функции как от истинных, так и от средних напряжений качественно была бы одинаковой. Непостоянство же этого коэффициента неизбежно приводит к изменению характера силовой зависимости энергии активации, U(а) перестает быть подобной U(f). Более детально этот вопрос будет рассмотрен ниже. [c.162]

В гл. 6 рассмотрены вопросы оптимального управления процессами. Автор книги развивает идеи динамического программирования применительно к задачам автоматического управления линейными и нелинейными системами, а также к задачам управления с ограничениями типа неравенств и нахождения абсолютных значений функций, т. е. задач, поддающихся решению. Интерес представляют задачи управления по среднему и конечному значению, [c.8]

Если во всей расчетной области изменения осевых величин зависимости а(5) и U S) описываются степенными функциями с постоянными параметрами ki и k , то отношения (2.3.15) —постоянные коэффициенты. Это следует из того, что профили тепловых потенциалов П,(М Ь 1р). а с условием/г=Ол5—и энтальпий,при принятом допущении (2.3.5) не зависят от величин максимальных значений и определяются, согласно [22], только показателем нелинейности ky. Поэтому для разных k = ki можно вычислить отношения средних к максимальным величинам. [c.127]

В нелинейной кинетике корректное определение статистической ошибки не менее важно. Надо, однако, обратить внимание на следующее в гл. 3 и 4 было показано, что основной информацией, которую реально можно получить из графиков дробно-рациональных функций, являются, в первую очередь, степенные показатели, а конкретные значения величин пересечений с осями, будучи сложными комбинациями кинетических констант, с трудом поддаются интерпретации. В определении степенных показателей уравнения большое значение имеет установление наличия на кривых определенных геометрических признаков максимумов и минимумов, перегибов, их положения относительно асимптоты, вогнутости, выпуклости и др. Поэтому очень важно достоверно знать форму кривой в широком интервале концентраций лиганда, а не только вблизи пересечения с осями. Предложенный в гл. 4 метод степенного преобразования основан на анализе таких свойств кривых, как вогнутость и выпуклость. Применяя этот метод для определения степенных параметров уравнения скорости Na, К-АТФазной реакции при каждом значении параметра г, авторы тщательно проверяли, как изменялась ошибка экспериментальных точек в процессе линеаризации. Если каждой экспериментальной точке Vi соответствовала средняя квадратичная ошибка а , то после степенного преобразования получали повое множество точек [c.103]

Наиболее эффективные методы обработки статистических данных— метод корреляционного и дисперсионного анализов, которые позволяют получить уравнения, показывающие, как в среднем изменялись бы значения функции в связи с изменением значений одного или нескольких связывающих ее аргументов, если бы ряд других ее аргументов не менялся. Корреляционный и дисперсионный анализы могут установить наличие статистической зависимости между переменными как при линейной, так и при нелинейной форме этих зависимостей. При помощи вероятностно-статистических методов с любой наперед заданной вероятностью можно судить об адекватности построенной модели исследуемому объекту моделирования. Наличие построенных вероятностно-статистических моделей позволит определить оптимальные условия эксплуатации процессов газопромысловой технологии. [c.77]

Несмотря на все онпсанные отклонения состояния реальных продуктов сгорания от идеальной равновесной системы, к ним все же могут быть применены результаты термодинамических расчетов, так ка энергетические реакции горения имеют огромную скорость и равновесие или близкое к нему состояние успевает установиться. Вместе с тем широкий интервал изменения температуры и концентрации позволяет говорить о некоторых средних значениях нелинейных функций исследуемых аргументов. Методы усреднения и перехода от состава микрообъектов ко всему газовому потоку рассматриваются в гл. 4. [c.36]

Поскольку модули упругости наполнителя и матрицы сильно различаются, для обеспечения монолнтности пластика необходимы полимерные матрицы, значения предельных удлинений которых значительно превышают среднее удлинение композиционного материала при сохранении достаточных значений прочности. Особое значение имеет прочность при сдвиге, так как именно малая прочность при сдвиге между слоями является одним из основных недостатков армированных пластиков. При этом предполагается, что адгезионная прочность превосходит прочность полимера, т. е. разрущения по границе раздела ие происходит. Напряжения и деформации для квадратичной и гексагональной укладки волокон [1, 6, 22—26] являются функцией отнощения модулей наполнителя и матрицы и плотности упаковки волокон. Если считать, что полимерная матрица и наполнитель подчиняются закону Гука, то при объемной доле волокна от 0,6 до 0,75 отнощение предельных удлинений изменяется от 5 до 15 [26]. Если же учитывать нелинейное вязко-упругое поведение полимерной матрицы, то это отнощение еше больше возрастает. Увеличение предельной деформации связующего за счет снижения его модуля упругости и прочности, как это происходит при пластификации, не приводит к повышению прочности пластика, так как прн уменьшении модуля упругости матрицы ее предельное удлинение, необходимое для сохранения монолитности, возрастает. Таким образом идеальное связующее должно обладать большим удлинением при высоких значениях модуля упругости и прочности, особенно при сдвиге. В работе [22] приведен расчет показателей такого идеального связующего, наполненного ( 1 = 0,7) бесщелочным стеклом и высокомодульным стеклом ВМ-1 (табл. 8.1). Ни одно из известных эпоксидных связующих не отвечает полностьк> приведенным в таблице требованиям [22], однако они могут служить отправной точкой для сравнения различных эпоксидных композиций. [c.212]

Тают образом, в физико-химических процессах в МСС при условии небольших отклонений от равновесия при общем нел инейном изменении концентраций отдельных компонентов от времен или температуры, изменения средних значений функции распределения состава этих компонентов происходит по закону экспоненты или линейно. На рис.3.3 приведен, рассчитанной на компьютере процесс временной эволюции концентрации одного из компонеетов смеси, как функции от времени и значения среднего термодинамического потенциала системы Особенностью процесса является его линейность в значительном временном и энергетическом диапазоне Нелинейные области существуют в самые начальные моменты релаксации системы к равновесию В интервале времен и энергий система квазилинейна. Это оправдывает применение линейных статистических моделей при исследовании таких систем. [c.50]

В этом случае в процессах пиролиза углеводородного сырья эволюция параметров функции нормального распределения состава продуктов при изменении жесткости пиролиза должна иметь квазилинейный характер. На примере пиролиза показана адекватность модели (табл.3 3 и 3.4), что при пиролизе органических веществ имеет место общая закономерность, связывающая среднее значение свободной энергии компонентов и фактор жесткости процесса пиролиза, принятого в качестве меры интенсивности внешнего воздействия на систему. 1 аким образом, учитывая особенности процессов пиролиза в газовой фазе, получено решение уравнения КФП. Результаты свидетельствуют о квазилинейном температурно-временном изменении параметров функции нормального распределения фракционного состава продуктов пиролиза (рис 3.4 и 3 5). Аналогичную картину наблюдаем для фактора жесткости Ван - Кампа (рис 3.6). Несмотря на то, что сама функция распределения нелинейна при изменении темперагуры, ее параметры изменяются линейно. Как сг(е-дует из рис.3.4 и рис.3.5 при малых временах контакта до 0.5 с. для легких углеводородных фракций модель удовлетворительно описывает изменение параметров функции распределения п]ри всех температурах. В отличие от приведенных ниже данных средняя [c.52]

ЦИИ (гл. 9). Обычно этот критерий возникает в форме неполного дифференциала, а это означает, что не существует термодинамического потенциала, который может быть в классическом смысле связан с этим критерием. Однако он может быть использован для обобщения понятия термодинамический потенциал — это так называемый локальный потенциал (гл. 10). Главная особенность метода локального потенциала состоит в том, что каждая неизвестная функция (например, распределение температуры в нелинейной задаче теплопроводности) появляется дважды один раз — как среднее значение и другой раз — как флуктуирующая величина. Это приводит к обобщению классической вариационной техники на несамосопряженные задачи. Локальный потенциал достигает минимума (в функциональном смысле), когда среднее значение совпадает с наиболее вероятным. [c.13]

Предпринимались попытки определить коэффициент извилистости и с помощью глобулярных моделей. Методом усреднения траекторий молекул вокруг шаров при молекулярной диффузии было получено соотношение р = 1 — (4 — я) (1 — е) /п. Для кнудсеновской диффузии авторами [124] было предложена зависимость Р = л/з/е- Используя вариационный метод двойственных оценок с помощью модели хаотично расположенных сфер, автор [125] получил верхнюю оценку коэффициента диффузионной проницаемости для молекулярной диффузии /7 = е/( 1 — 0,5 1п е). Сравнение экспериментальных данных с правой частью этого соотношения показало эффективность оценки. Из изложенного следует, что коэффициенты извилистости и КДП, определенные различными методами, обусловливаются моделью пористой структуры, которая используется для рассмотрения диффузии в пористых катализаторах. Тем не менее можно говорить о том, что теоретические методы позволяют получить правильную качественную оценку для этих коэффициентов. С достаточным основанием можно считать, что КДП является нелинейной функцией пористости вида П — г1(г). Обработка опубликованных в литературе экспериментальных данных позволила оценить интервалы изменения КДП промышленных катализаторов 0,25е < Я < е/(1 — 0,51пе) 0,1е < Якн < 0,5е и средние значения Ям = 0,5е, Лкн = 0,25е. Различие средних оценок и интервалов изменения КДП можно считать согласием с выводом о различии КДП для разных режи- [c.165]

Заметим, что, даже еслп бы оценки Lio(/) и Qi2( ) были несмещенные, оценки (9 2 12) — (9 2 14) все равно имели бы смещение. Однако это смещение было бы мало но сравнению со смещением, вызванным огсеченисм концов взаимной корреляционной функции и ее несил1метрнчностью относительно нуля Поэтому можно считать, что среднеквадратичная ошибка из-за этого не увеличится Так как все оценки (9 2 1 ) — (9 14) являются нелинейными функциями от оценок Lio(j), Qi2(f), Сц(/), 22U), то для нахождения их моментов нужно разложить эти нелинейные функции в ряд Тейлора, как показано в разд 3 2 5 и в [2] В качестве примера найдем среднее значение и дисперсию сглаженной оценки взаимного амплитудного спектра (9 2 12) [c.139]

Типичные эксперимеытальпые даышле по ЫВг представлены графически па фиг. 8.14, где можно видеть, что для НВг пропускание ость нелинейная функция давления в случае резонансного уширения, т. е. эти экспериментальные данные также ие находятся в соответствии с ударной формулой Лоренца. Измерения ширины линий основных полос СО и N0 были использованы обычным образом для оценки оптических поперечников соударений. В случаях, когда были возможны независимые измерения полуширины, использовались средние значения. Рассчитанные оптические поперечники соударений сопоставлены в табл. 8.19 с газокинетическими поперечниками соударений, полученными при изучении явлений переноса. [c.191]

Если реакция имеет первый порядок, то —d[N]/dt=dlD]/dt= = [N1 и lg[N] является линейной функцией времени. Согласно уравнению (34-3), lg([a]—[aleo) также должен быть линейной функцией времени. Однако, как видно из рис. 197, этого не наблюдается. Поскольку наклоны начальных участков кривых на рис. 193 не зависят от концентрации, нелинейность кривых, изображенных на рис. 197, нельзя объяснить предположением, что реакция имеет другой порядок, отличный от первого. Такая же картина часто наблюдается и при изучении радиоактивного распада, который, несомненно, имеет первый порядок. Для объяснения этого явления можно, как известно, предложить два возможных механизма. Первый из них заключается в том, что исходное вещество неоднородно, т. е. фактически измеряется суммарная скорость нескольких одновременно протекающих реакций первого порядка, каждая из которых характеризуется своей константой скорости. Вещество, характеризующееся более высокими константами скоростей, расходуется быстрее, поэтому в недеиатури-рованном белке возрастает доля вещества с более низкими константами скоростей, и среднее значение константы скорости k уменьшается во времени. Второй возможный механизм состоит в том, что суммарный процесс представляет собой серию последовательных реакций первого порядка, например константы скоростей которых близки по своей величине. Если написать выражение для скорости такой последовательной реакции, то можно получить зависимость, аналогичную представленной на рис. 197. Второй из возможных механизмов более вероятен, так как исходный яичный альбумин является вполне однородным веществом. Сущность этого механизма может заключаться в том, что в некоторый момент времени происходит разрушение спирали лишь на отдельных участках белковой молекулы. Если исполь- [c.709]

Здесь первый член Ц] = onst учитывает среднее значение ц по толщине скин-слоя функция цц( Я,ф )-поправка к среднему значению, несущая информацию о нелинейности среды. [c.95]

Принимается, что каждая функция Д (л ) линейная, типа Д- (х,) = = а,- + в1Х1 однако можно использовать и нелинейную зависимость. Коэффициенты функции /, определяются методом средних. Все величины К разбиты на семь групп с равным интервалом значений, взята средняя каждого интервала и соответствующие этому интервалу среднеарифметические значения Рв- [c.196]

Здесь А = В. Детерминистическое кинетическое уравнение для модели Эдельстейна имеет решение с тремя стационарными состояниями (сплошная линия на рис. 3.5) из них два устойчивых и одно неустойчивое А, лежащее между А1 и Однако стохастическое рассмотрение предсказывает только одну стационарную функцию распределения, т. е. только одну макроскопическую концентрацию для данного значения параметра А. Стохастическое моделирование позволяет легко определить функцию распределения и ее моменты. Первый момент функции распределения (штриховая линия на рис. 3.5.) имеет только одно значение для каждого значения параметра А, так что не наблюдается никакого гистерезиса при передвижении какой-либо точки А влево и вправо по оси абсцисс, как это имеет место для детерминистических уравнений (сплошная кривая). На этом примере мы видим, что среднее стохастическое поведение может отличаться от детерминистических предсказаний. Перейдем к описанию флюктуаций с помощью нелинейного управляющего уравнения. [c.99]

Как уже говорилось, методом МД авторы [127] показали наличие нормальных мод для модели цепи из жестких звеньев, в которой взаимодействие частиц цепи между собой и с частицами растворителя описывается потенциалом Леннарда - Джонса (У.2). Аналогичные результаты были получены в [43, 57] методом БД и для модели с потенциалом (У.21). Найдено, что релаксация корреляционных функций С( , t) для нормальных мод (У. 7) за исключением начального участка для всех рассмотренных значений высоты барьера (1/о = О, 2, 4, 6 к Т) происходит экспоненциально. Несмотря на наличие жестких связей и углов, нелинейный характер потенциала внутреннего вращения (У.21), динамическое поведение модели в среднем описывается теми же нормальными модшш, что и поведение линейной вязкоупругой модели. [c.134]

Если зависимость скорости реакции от концентрации ключевого компонента на поверхности катализатора является нелинейной монотонной функцией, то прямая, определяющая скорость массопе-реноса, пересечет функцию pi j, Т) в одной точке, и решение уравнения (III. 76) будет единственным. Если скорость реакции является немонотонной функцией концентрации ключевого компонента, то уравнение (III. 76) при определенных условиях может иметь множественные решения. Поясним это на примере, изображенном на рис. III. 4 и III. 5. Если зависимость диффузионного потока от концентрации i определяется прямой /, то уравнение (III. 76) будет иметь одно решение, определяемое абсциссой точки А. При уменьшении концентрации в ядре потока прямая / будет перемещаться влево. Концентрация у поверхности катализатора будет плавно изменяться до значения, соответствующего точке В, где прямая P( i — i o) становится касательной к функции р(СиТ). В этой точке происходит скачкообразное увеличение скорости реакции и уменьшение концентрации ключевого компонента у поверхности катализатора до значения, соответствующего точке В (рис. III. 5). Дальнейшее уменьшение концентрации i в потоке будет приводить к плавному уменьшению концентрации i у поверхности катализатора и соответствующему плавному уменьшению скорости реакции. При увеличении концентрации ioo в ядре потока от значения, соответствующего точке В, концентрация у поверхности катализатора и скорость реакции будут плавно увеличиваться до значений, соответствующих точке D, где произойдет скачкообразное изменение до значений, соответствующих точке D. Скачкообразное измененпе скорости реакции сопровождается явлением гистерезиса. В интервале концентраций, соответствующих точкам В и D, уравнение (III. 76) будет иметь три стационарных решения, из которых одно — среднее — будет неустойчивым. [c.75]