Вульфа теорема

Из соотношений для скоростей роста граней (5), (9) и на основании теоремы Вульфа можно предположить, что межфазные энергии Отж исследованных граней образуют последовательности [c.71]

А. И. Русанов [146] дает достаточно простой и вместе с тем строгий метод доказательства теоремы Вульфа, который он использовал при обобщении теоремы Вульфа с учетом реберной энергии монокристалла. После обобщения теорема Вульфа приняла следующий вид [c.42]

Для точного определения символов грани обычно используется теорема косинусов Вульфа. Согласно этой теореме, индексы символа грани прямо пропорциональны косинусам углов, которые составляют нормаль к данной грани с соответствующими осями координат. За единицу измерения косинусов для каждой оси надо принимать косинус угла, который образует с данной осью нормаль к единичной грани. [c.48]

Равновесная форма зародыша графита, найденная по теореме Вульфа,— правильный шестиугольник и, следовательно, [c.28]

Принцип Гиббса— Кюри был дополнен теоремой Вульфа [212], согласно которой минимум поверхностной энергии многогранника (при данном его объеме) достигается при том взаимном расположении его граней, когда они удалены от одной и той же точки (точки Вульфа) на расстояния, пропорциональные их удельным поверхностным энергиям [c.42]

А. И. Русанов [1461 обращает внимание на ошибку, которая встречается в литературе при изложении теоремы Вульфа и на которую впервые указал Хилтон. Она заключается в том, что при выводе теоремы Вульфа не учитываются три дополнительных уравнения связи между изменениями площадей граней, поэтому Я могут интерпретироваться как расстояния от любой точки внутри кристалла до его граней, в то время как теорема Вульфа может быть применима лишь к одной единственной точке (точке Вульфа). [c.42]

Полученный результат аналогичен теореме Вульфа и свидетель-ству ет о возможности нахождения в равновесном монокристалле точки, удаленной от граней на расстоянии, пропорциональные поверхностным натяжениям граней с учетом поправок на реберную энергию. [c.42]

В рассматриваемом случае рекристаллизации необходимо пользоваться обобщенной теоремой Вульфа, так как мы имеем дело с высокодисперсными кристаллами, где относительная роль реберной энергии велика. [c.42]

Теорему Вульфа можно сформулировать следующим образом внутри равновесного кристалла существует некоторая точка, расстояния от которой Нг до плоскостей г пропорциональны у,- Эта теорема и была использована при построении рис. У-4. [c.206]

На габитус кристалла влияет также кинетика роста кристалла и другие неравновесные эффекты. Поэтому грани реальных кристаллов могут и не соответствовать равновесным формам, определяемым теоремой Вульфа. Например, если стабильная или сингулярная плоскость (100) шлифуется, скажем, под небольшим углом, то образуются плоскости, номинально описываемые индексом (х11), где х — большое число. Локальное уменьшение свободной энергии при этом возможно, только если эти плоскости превратятся в ступеньки, образуемые гранями (100) и (010). Существует общий критерий возможности такого спонтанного локального перехода [36]. [c.206]

В разд. V-2B указывается, что для данного ряда поверхностных натяжений различных плоскостей кристалла теорема Вульфа устанавливает определенную равновесную форму кристалла, характеризующуюся минимумом свободной энергии. При отжиге вблизи температуры плав- [c.221]

Простота и удобство метода Данцига- Вульфа привели исследователей к мысли предпринять попытку распространить этот метод на случай нелинейной задачи при помощи теоремы о представлении внутренней точки выпуклого многогранника в виде линейной комбинации его крайних точек методом расчленения Розена для нелинейных задач специального вида. [c.8]

Существует двумерный аналог уравнения Гиббса — Томсона и теоремы Вульфа [78, стр. 103—1071, который может быть представлен следующим образом. Возьмем на поверхности кристалла незаполненный слой молекул (рис. 3), ограниченный ступенью в виде петли или многоугольника. Такой островок будет находиться в метастабильном равновесии с паром, если [c.368]

Для точного определения символов грани обычно используется теорема ко синусов Вульфа. Согласно этой теореме, индексы -символа грани [c.57]

Теорема Гиббса — Вульфа. [c.73]

Как будет показано далее, это предположение, известное как теорема Гиббса — Вульфа, практически выполняется лишь для чрезвычайно маленьких кристаллов. [c.74]

Рассмотрим вкратце физические основы теоремы Гиббса — Вульфа. Прежде всего необходимо отметить, что поверхностная свободная энтальпия y полагается постоянной независимо от площадей граней Oj. Тогда увеличение поверхностного химического потенциала [c.77]

На основании структурных соображений Херринг показал также, что полярная диаграмма у должна обычно иметь острые минимумы в направлениях, нормальных к граням с низкими индексами Миллера. Но теорема приводит также к выводу, что определенным формам полярных диаграмм у соответствуют тела, которые не являются полиэдрами, а могут иметь кривые поверхности. Различные возможные тины тел Вульфа , выведенные Херрингом для двумерного случая, даны на рис. III.4. Видно, что некоторым формам полярных диаграмм у соответствуют тела Вульфа с кривыми поверхностями. Херринг привел соображения, по которым такие типы полярных диаграмм у должны ожидаться для определенных довольно простых типов решеток. [c.79]

Эта теорема не является простым повторением теоремы Вульфа. Как указывает Херринг, кристалл может легко образовать набор граней, который из-за [c.79]

Полярная диаграмма для у, теорема Вульфа. Считается, что поверхностное натяжение, или свободная поверхностная энергия у, будучи вычерчена как полярная диаграмма в зависимости от кристаллографической ориентации поверхности, должно в общем случае меняться с ориентацией и отражать симметрию кристалла. Двумерный вариант такой диаграммы схематически изображен на фиг. 13. На графике показан ряд острых минимумов (точки, в которых первая производная испытывает разрыв). [c.426]

Форма кристалла может быть задана с помощью векторов длины к,, проведенных перпендикулярно к граням. С помощью термодинамических рассуждений можно показать, что равновесная форма кристаллов описывается выражением к/ — где 1 — функция полного объема кристалла, она имеет одинаковое значение для всех граней кристалла. Это соотношение известно как теорема Гиббса — Вульфа. Если у/ считать постоянной независимо от размера кристалла, то равновесный кристалл будет при росте сохранять постоянную геометрическую форму. Далее, можно показать, что для равновесного кристалла [c.112]

В теореме Гиббса — Вульфа величина у предполагается однородной вдоль у-грани и не зависящей от размера грани, причем свободная энтальпия ребер не учитывается. Тогда увеличение поверхностного химического потенциала и давления паров при уменьшении размеров кристаллов связано с тем фактом, что добавление данного количества молекул к малому кристаллу увеличивает суммарную площадь его поверхности в большей пропорции, чем то же количество молекул, добавленное к большому кристаллу. Это следует из уравнения [c.112]

Если поверхностную свободную энтальпию рассматривать как непрерывную функцию ориентации, то, согласно теореме Гиббса — Вульфа в приложении к этому случаю, полиэдрическая поверхность будет возникать только тогда, когда имеются острые минимумы на полярной диаграмме у. Однако некоторые формы полярных диаграмм будут давать искривленные поверхности. Вопрос о том, существуют ли такие кривые поверхности в действительности на реальных равновесных кристаллах, остается открытым. [c.113]

Здесь 2 — сумма произведений поверхностных натяжений граней на площади этих граней (точное определение у см. в гл. V). Геометрическое построение равновесной (т. е. имеющей минимальную для данного объема сумму 2 7 ) формы определяется теоремой Вульфа [11]. [c.370]

Теорема Вульфа определяет равновесную форму кристалла, имеющего данный график у (Я), где п — единичная нормаль к рассматриваемой грани. Равновесной считается такая форма, [c.426]

Условие (42) связывает форму поверхности тела с распределением поверхностного натяжения по этой поверхности. Если, например, поверхность полиэдрическая и поверхностные натяжения граней известны, то условие (42) определит соотношения между площадями граней и действует как обобщение известной теоремы Вульфа для монокристалла. Поверхность мицеллы может иметь более сложную форму. К настоящему времени известны три модификации сферические, стержнеобразные и пластинчатые мицеллы. Обычно принимают, что стержнеобразные и пластинчатые мицеллы имеют закругленные края, что приближает их форму к эллипсоидальной [15, 16]. Более предпочтительной считается модель сфероцилиндра [7], которую мы и рассмотрим в качестве первого примера. [c.146]

Геррннг [31], хотя и соглашается с построением Вульфа, считает маловероятным образование кристаллов с резко очерченными ребрами. По его мнению, в реальных условиях ребра могут сглаживаться небольшим равновесным радиусом кривизны. Позднее Бенсон и Паттерсон [32] дали аналитическое доказательство теоремы Вульфа, решив в общем случае задачу о минимуме свободной энергии многогранника. Тео-ре.ча Вульфа объясняет, почему наблюдаемые полости неправильной формы в природных солях [33] и металлах [34] при нагревании приобретают равновесную форму. Достаточно малые кристаллы неправильной формы при отжиге также принимают равновесную форму [35]. [c.206]

Поскольку реальные кристаллы имеют форму многогранников, поверхности которых характеризуются разным поверхностным натяжением, возиикает вопрос, какие значения у я г следует использовать при этом. Как отмечалось в предыдущем разделе при обсуждении рис. У-4, теорема Вульфа утверждает инвариантность для всех граней. Поэтому результат, даваемый уравнением (У-5), не должен зависеть от выбора грани. В случае, рассмотренном на рис. У-4, в качестве г можно взять либо /"ю, либо Гц, представляющие собой радиусы окружностей, вписанных в фигуры, образуемые гранями (10) и (11) (см. также работу [37]). Уравнение (У-5) можно применить также для описания рас-тв()[)имости кристаллов (см. разд. УП1-2). [c.206]

Для ряда частных случаев Фулман [103] показал, что условие повышенной стабильности выполняется. Для кристаллитов, образованных линейными молекулами, существует высокая анизотропия поверхностных свободных энергий. Свободная энергия поверхности, перпендикулярной к направлению цепей, гораздо выше, чем поверхности, ориентированной вдоль направления цепей. Так как известно, что размеры кристаллита гораздо меньше в направлении цепей, теорема Вульфа совершенно не выполняется. Характерные тонкие ламеллярные кристаллиты из линейных молекул не могут, следовательно, быть равновесными-Организация этих неустойчивых кристаллитов в сферолит представляет собой возможный механизм, разрешающий это противоречие. [c.321]

Лi —поверхностное натяжение и площадь -й грани, причем суммирование ведется по всем граням. Эта равновесная форма может быть получена с помощью теоремы Вульфа [84], которая гласит, что если величина минимальна, то внутри кристалла существует точка, находящаяся на расстоянии hi от i-й грани, пропорциональном поверхностному натяжению уг этой грани. Иными слова1 1и, [c.363]

Приложение теоремы Гиббса — Вульфа. Ввиду того, чтоЛу находится в знаменателе, правая часть уравнения (111.27) имеет заметную величину только для чрезвычайно малых кристаллов, поскольку 7 равна нескольким десяткам или сотням эрг на 1 см , а 17 = 10 см . По этой причине только для очень малых кристаллов р будет заметно отличаться от роо или от Цоо, и, следовательно, только для очень малых кристаллов можно ожидать формы, предсказываемой теоремой Гиббса — Вульфа. [c.76]

Для больших кристаллов разница в давлении паров граней, возникающая из-за того, что рост кристаллов происходит в форме, не соответствующей требованиям теоремы Гиббса — Вульфа, будет совершенно недостаточной, чтобы изменить форму кристалла. Например, в слз ае льда для поверхностной свободной энтальпии одной грани можно принять величину порядка 100 эрг1см , молекулярный объем равен 3 X 10 лt . Тогда по уравнению (111.27) [c.76]

III.5. Расширение теоремы Гиббса — Вульфа. Работы Херринга. Теорема Гиббса — Вульфа, пзло-женная выше, относится к равновесной форме полиэдрического кристалла. Херринг [Herring, 1951, 1953] исследовал более общий вопрос, а именно какова будет равновесная форма тела, если можно предположить любую форму (не обязательно полиэдрическую), когда у меняется непрерывно с изменением направления в пространстве. Херринг исходил из полярной диаграммы Y, которая представляет собой поверхность с длинами радиусов-векторов, проведенных из центральной точки, пропорциональными величине 7, поверхностной свободной энтальпии кристаллической поверхности, нормальной к данному радиусу-вектору. Двумерная полярная диаграмма у показана на рис. III.3. Предполагается, что у — непрерывно меняющаяся функция направления в пространстве. [c.78]

Херрингу [Herring, 1951] иринадлежит также дальнейшее расширение теоремы Гиббса — Вульфа, которое имеет и теоретический интерес и, возможно, практическое приложение. Рассмотрим любую грань кристалла и представим себе, что она состоит из чередующихся малых ступеней двух других типов граней. Например, грань (011) может быть замещена серией малых чередующихся ступеней (010) и (001). Для любой грани кристалла это может, конечно, осуществляться большим числом способов, поскольку любую грань можно представить состоящей из самых различных пар граней. Встает вопрос, есть ли какие-нибудь способы определить, какой из двух вариантов строения грани более устойчив, считая, что осуществляется локальное термодинамическое равновесие. Этот вопрос имеет, очевидно, важное значение, и Херринг дает на него точный, хотя и формальный ответ. Ответ Херринга основывается на том, что в случае установления локального термодинамического равновесия будут присутствовать лишь те грани, которые являются устойчивыми, согласно данной выше теореме Вульфа. Любая грань, которая, согласно теореме Вульфа, не является устойчивой, будет стремиться распасться на ступени граней, устойчивых в этом смысле. [c.79]

Доказательство основано на теореме Гиббса—Вульфа и на предполошенип, что у / не зависит от размера грани. [c.117]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология