Размерность независимость

Методы теории размерностей находят широкое применение в подземной гидромеханике. Напомним лишь основное положение анализа размерностей - П-теорему физическая закономерность, выраженная в виде зависимости размерной величины от размерных и безразмерных определяющих параметров, может быть представлена в виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмерных комбинаций определяющих параметров, количество которых меньше общего числа параметров и на число определяющих параметров с независимыми размерностями к, т. е. п — к. [c.30]

Если уравнения размерностей независимы одно от другого, строки матрицы тоже независимы и ранг матрицы Я (М) соответствует числу строк, т. е. при трех основных величинах (масса, длина. Бремя) равен трем. Число переменных л = 6. Следовательно, число безразмерных комплексов, описывающих процесс, должно быть равно 6 — 3 = 3. [c.32]

На основе теории групп было введено понятие размерности. С помощью уравнений (3-3) и (3-4), независимо от единиц измерения, можно установить соотношение между основными и каждой из производных величин (скоростью, ускорением и т. д.). Символическое (буквенное) обозначение этой связи называют размерностью. [c.20]

Теперь уже легко понять, что происходит в общем случае. Автомодельные решения всегда получаются для так называемых вырожденных задач, в которых параметры задачи, имеющие размерность независимых переменных (характерная длина, характерное время и т. д.), равны нулю или бесконечности. В противном случае среди аргументов фигурировали бы отношения независимых переменных к этим параметрам и автомодельности бы не было. Это значит, что при переходе от невырожденных постановок задач, отвечающих конечным значениям параметров, к вырожденным некоторые безразмерные параметры (обозначим их Пь П2,. ..) стремятся к нулю или к бесконечности. При этом функция Ф в соотношении (7) может [c.19]

На границе двух различных фаз гидродинамическая обстановка обычно очень сложная. Основным понятием в учении о потоках является открытый Прандтлем очень тонкий пограничный слой (расположенный у границы текущей среды), для которого характерен гораздо больший градиент скорости, т. е. более быстрое ее изменение [6]. Независимо от Прандтля Нернст установил подобное же изменение концентрации у границы фаз 17]. Это явление также оказалось общим (как и открытые независимо друг от друга законы для потоков теплоты, массы и импульса). Таким образом, для тонкого слоя вблизи границы фаз характерно резкое изменение концентрации, температуры и скорости. Скорость переноса для любого потока имеет размерность [c.67]

Очевидно, что нам нужно выбрать столько же постоянных, сколько имеется основных единиц, иначе не хватит уравнений для определения неизвестных. Так, например, в только что разобранном случае мы фиксировали 4 константы гравитационную, постоянную, скорость света, квант действия и газовую постоянную в соответствии с этим у нас было 4 основных единицы. Существенно помнить однако, что не всякие 4 алгебраических уравнения с 4 неизвестными имеют решение, для этого их коэффициенты должны удовлетворять некоторому условию. В применении к формулам размерности, в которые входят неизвестные, это условие сводится к тому, что детерминант показателей не должен равняться нулю. Вообще говоря, нельзя ожидать, что случайно взятый четырехстрочный детерминант будет равняться нулю. В случае детерминантов, составленных из показателей формул размерностей постоянных природы, это, однако, не так. Соответствующие формулы размерности почти всегда очень просты, и показатели почти всегда малые целые числа. При таких условиях равенство нулю детерминанта показателей — явление обычное, и часто предложенная схема определения абсолютных единиц оказывается невозможной. Исчезновение детерминанта указывает, что все величины не являются размерно независимыми, т.е. вместо четырех независимых величин, при помощи которых надо определить неизвестные, мы имеем меньшее число. Например, мы нашли, что постоянная тяготения имеет формулу размерности, совпадающую с размерностью квадрата отношения заряда к массе электрона. Это значит, что мы не можем построить систему [c.115]

Выбранные за основные размерности силы Р, длины I и времени Т независимы друг от друга и соответствуют обычной технической системе единиц. [c.42]

Учитывая независимость размерных интервалов в распределении, можно найти интегральную функцию распределения частиц в суспензии после ее однократного прохода через АГВ с учетом изменения размеров частиц в результате разрушения их [c.111]

Рассмотрим некоторые свойства и связи в матрицах Г и В. Напомним, что рангом матрицы называется максимальное Число линейно-независимых векторов — строк матрицы, и численно ранг матрицы равен порядку ее наивысшего ненулевого минора. Матрица размерности (В х X М) имеет полный ранг, если ее ранг совпадает с минимальным из чисел В, М, т. е. если выполняется условие rg Г = ш п(Д, М), Важнейшее свойство такой матрицы заключается в том, что она сохраняет свой ранг при любых достаточно малых возмущениях, а ее нормальное решение имеет непрерывный характер. Ранг стехиометрической матрицы Г никогда не может быть выше М — I), где [c.130]

Размерность С следует из того, что размерности обеих частей уравнения (1.23) должны быть одинаковыми. Как видно, в данном случае л = 4, /с = 3, так что п — к = 1. Размерности параметров w, d яц, как легко убедиться, независимы безразмерный параметр подобия здесь - четвертый определяющий параметр-/и. Таким образом, если привести коэффициент С к безразмерному виду, то параметр П является функцией от = т. Составим комплекс / W d r <) и подберем а, р, у так, чтобы П был безразмерным. Очевидно, что а = О, Р = — 2, у = V [c.31]

Заметим, что в данном случае независимость С от скорости получилась из одного анализа размерностей. Обозначим (Р1Ф т) через к, эта величина называется коэффициентом проницаемости. Закон фильтрации (1.25) приводится при этом к виду [c.31]

Дайте формулировку П-теоремы теории размерностей. Какой вид будет иметь безразмерная зависимость П =/(П1, Пз,...), если все параметры a (i = 1,..., ) имеют независимые размерности, т.е. п = /с [c.35]

Среди этих параметров-три с независимыми размерностями г, /, />, к = 3). Как следует из П-теоремы (см. 6 гл. 1), искомая функция-давление, приведенное к безразмерному виду F = будет зависеть от двух безразмерных комплексов (п — /с = 5 — 3 = 2). Легко проверить, что такими безразмерными комплексами являются следующие [c.189]

Если число уравнений (в общем случае р) равно или больше числа неизвестных р ге), то размерную зависимость (1-1) невозможно заменить безразмерной (1-2). В этом случае в число факторов х ,. . ., х включают размерные постоянные. Если р с п, то можно показать, что число независимых решений системы (1-9) равно числу независимых комплексов, т. е. существует I = п — р (где I >0) независимых безразмерных комплексов, связь между которыми и следует искать в форме уравнения (1-2). Число независимых безразмерных комплексов, очевидно, совпадает с числом независимых решений системы (1-9). При этом необходимо, чтобы все уравнения этой системы были независимы, т. е. чтобы ни одно из них не могло быть получено из других. [c.15]

Исследуем самую зависимость, т. е. форму влияния отдельных независимых переменных на коэффициент теплоотдачи. Размерности отдельных переменных проверим по табл. 3-2. [c.92]

Довольно часто случается, что многие члены целевой функции постоянны или могут быть приняты за постоянные и что независимые переменные представляют размерные гомогенные (однородные) величины. [c.337]

Для решения задач линейного программирования имеется практически универсальный алгоритм — симплексный метод, позволяющий за конечное число итераций находить оптимальное решение подавляющего большинства практически важных задач. Тип используемых ограничений (равенства или неравенства) не сказывается на возможности применения указанного алгоритма. Дополнительной проверки на оптимальность для получаемых решений не требуется. Как правило, практические задачи линейного программирования отличаются весьма значительным числом независимых переменных. Поэтому для их решения обычно используют вычислительные машины, необходимая мощность которых определяется размерностью решаемой задачи. [c.33]

Классификация задач по группам с числом независимых переменных, большим и меньшим трех или равным трем как характеристика размерности задач с большим и малым числом переменных, разумеется, весьма условна и в данном случае выбрана скорее из соображений наглядности графического изображения пространства изменения переменных задачи — фазового пространства. (При числе переменных большем трех графическое изображение фазового пространства отсутствует.) Тем не менее, такая классификация до некоторой степени все же отражает действительные трудности, возникающие при решении задач с размерностью выше трех. [c.34]

Следует отметить, что значение линейного программирования не исчерпывается решением задач только указанных типов. Сообщается , что в методах решения задач так называемого выпуклого программирования существенным образом используется вычислительный аппарат линейного программирования. Кроме того, иногда при рассмотрении сложного нелинейного объекта иногда удается представить его математическое описание в некоторых локальных областях изменения независимых переменных приближенными линейными соотношениями. Это позволяет свести исходную задачу оптимизации к задаче линейного программирования. Тем самым становится возможным применять его математический аппарат, который в настоящее время разработан достаточно подробно и при наличии цифровой вычислительной машины обеспечивает решение оптимальных задач весьма высокой размерности. [c.413]

У+ относительно уравнений (3.6). Множество в фазовом пространстве называется со-инвариантным относительно системы дифференциальных уравнений, если любое решение системы, попав в это множество в момент времени 0, не выйдет из него при i > о. Из со-инвариантности У+ и суш ествования закона сохранения следует, что любое решение (3.6) (i) с начальными условиями с(0) е + лежит в (Ж — 1)-мерном симплексе 0(1), задаваемом условиями С О, 1 = 1,. . ., Л , т е ) т с). В общем случае, если число независимых законов сохранения больше, чем один, то область фазового пространства, содержащая все незапрещенные фазовые траектории, представляет собой уже не симплекс, а некоторый многогранник, размерность которого с очевидностью равна (М — I) (по-прежнему N — число компонентов, I — число независимых законов сохранения). [c.116]

Очевидно, что для того или иного механизма не все комбинации векторов, соответствующие той или иной стадии, будут линейно-независимыми [15, 77]. Максимальное число элементов, образующих линейно-независимое под- множество в каждом механизме, как раз и образуют базис многогранника реакций (МР) D 1), определяя его размерность, т. е. dim D(l) = d = N — I. Например, для механизма Г1 d = 1, для Г2 d = 2 и т. д. В целом определение d адекватной модели (3.3) — довольно непростая процедура. [c.124]

Вводя понятие инвариантных соотношений для факторов эффективности, можно показать, что факторы эффективности независимых компонентов вычисляются по факторам эффективности ключевых веш еств и элементам матрицы итоговых уравнений [57]. Кроме того, нетрудно осуществить вывод уравнений физико-хими-ческих (реакторных) инвариантов для основных типов моделей химических реакторов, что позволяет сокращать размерность систем дифференциальных уравнений, используемых для описания реакторов [57]. [c.247]

Замыкающее звено по величине может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Составляющее звено по величине может быть положительным или равным нулю. В качестве составляющих звеньев в размерную цепь могут самостоятельно входить температурные и силовые деформации деталей при эксплуатационных режимах работы машин. Если величина замыкающего звена установлена с учетом влияния данных звеньев, в размерную цепь эуи звенья не вносятся. Составляющие звенья размерной цепи могут быть независимыми, функционально зависимыми и коррелятивно зависимыми. Составляющие звенья размерной цепи независимы, если величина отклонения (ошибка) одного звена не зависит от величины отклонения (ошибки) другого звена. Если отклонения одного составляющего звена зависят от отклонения другого, такие звенья называются зависимыми. [c.8]

По характеру взаимной связи размерные цепи подразделяются на независимые и взаимосвязанные. Размерные цепи независимы, если все звенья цепи входят только в одну размерную цепь. [c.9]

Пусть размерная цепь состоит из г групп коррелятивно зависимых звеньев, и в каждой группе будет р-е количество звеньев, причем звенья одной группы независимы от звеньев другой. При этом условии зависимости (58) и (59) примут вид [c.30]

На основании предельных теорем А. М. Ляпунова и С. Н. Бернштейна математически доказано, что если число слагаемых случайных величин (звеньев в размерной цепи) велико и выполнены условия А. М. Ляпунова для независимых слагаемых и условия С. Н. Бернштейна для зависимых слагаемых, то 4>ункция погрешностей замыкающего звена приближается к закону нормального распределения, для которого =0 и ЛГ . =1. Условия, при которых а =0, следующие [c.32]

Модели нулевой размерности или модели псевдопористого пространства. Основное назначение элементов данной модели состоит в качественном описании процессов в единичных порах, а также в тех случаях, когда капиллярная структура, функционирующая как модель, не может быть усложнена каким-либо простым способом для получения протяженного пористого пространства. Сами элементы обычно используются в качестве концеп-ционной формальной модели переноса какого-либо явления. Модель конического капилляра используется для описания капиллярного переноса жидкости к высыхающей поверхности. Модели скрещенных и параллельных с перемычкой капилляров применяются для объяснения кинематического и статического гистерезиса при капиллярном переносе жидкости или захвате замещаемой фазы. Модель порового дуплета или разъезда применяется для выявления гистерезиса при всасывании и.ли впитывании. Модель независимого домена используется для объяснения петли гистерезиса в процессах адсорбции. Используются также и другие модели, описывающие специфические явления в пористых средах с разделенными фазами [23, 31]. [c.131]

Напомним некоторые понятия, связанные с рассматриваемой задачей. В прикладных задачах независимые переменные обычно имеют различный физический смысл и размерность, например, температура, концентрация реагентов, давление и. многие другие. Для численного решения задач опти.миза-ции бывает целесообразно перейти от исходных размерных независимых переменных к безразмерным переменным, т.е. провести некоторую нормировку. Обезразмеривание независимых переменных обычно проводится следующим образом. Для каждой из независимых переменных из физического смысла рассматриваемой задачи определяется интервал изменения Ут-.п < Уг < Утах и проводится переход к новой нормированной переменной Х по формуле [c.17]

В уравнениях (1.9) и (1.10) исходные размерные независимые переменные г и х,- оказались замененными на безразмерное время ШйХ/Ь — критерий гомохронности и относительные координаты X- = а вместо размерных параметров гидродинамического процесса здесь фигурируют безразмерные комплексы Шор1/ 1 = Не — критерий Рейнольдса и = Рг — критерий Фруда. Искомые величины статического давления и компонент скоростей заменены на безразмерное давление Р/(ра)2) — критерий Эйлера и относительные скорости юс/юо- [c.15]

Говорят поэтому, что автомодельное решение представляет собой промежуточную асимптотику при описании явления. Под промежуточными асимптотиками понимается в общем случае Следующее. Пусть в задаче имеются две характерные постоянные величины размерности независимой переменной Хг и Промежуточной асимптотикой называется асимптотическое представление решения при Xi X 9 сю, яо XilX > 0. [c.51]

Точно так же дело обстоит и в общем случае. Автомодельные решения всегда представляют собой решения вырожденных задач, в которых входящие в задачу параметры размерности независимых переменных принимают нулевые или бесконечные значения, так что, как правило, автомодельные решения отвечают сингулярным начальным или краевым и т. п. условиям, таким, как в только что рассмотренных примерах. Таким образом, автомодельные решения всегда представляют собой промежуточные асимптотики решений невырожденных задач. [c.52]

Известно несколько формулировок я-теоремы Бэкингема, причем здесь, исходя из положенной в основу этой книги систематизации переменных и их характеристики с помощью методов линейной алгебры, нам кажется наиболее целесообразной следующая формулировка если обусловить, что зависимости между переменными — уравнения — были размерно однородными, то в соответствии с числом независимых основных величин (М, L, Т, 0) появится максимум четыре новых условия. Число независимых переменных пли степеней свободы уменьшится в соответствии с этим числом, и в уравнении вместо размерных переменных величин появятся безразмерные. Такой метод носит название анализа размерностей. Его можно применять двумя способами [c.86]

B i iie уже отмечалось, что основной объек в[.1числений при реше-н 1и задач линейного программирования приходится на расчеты, связанные с определением обратных матриц для получаемых на каждом шаге базисов. При использовании общих методов для задач высокой размерности, т. е. с большим числом независимых переменных, объем вычислений, приходящийся на обращение матриц порядка гп, возрастает быстрее, чем /п , что может существенно увеличить общее время решения оптимальной задачи. Поэтому представляет особый интерес применение методов вычисления обратных матриц, основанных на свойствах последовательности базисов, получаемой при использовании симплексного метода. [c.447]

Общее правило для оценки количества независимых химических инвариантов в реагирующей системе гласит, что число независимых химических инвариантов равно разности между числом молекулярных видов н числом независимых химических реакций. При этом важно подчеркнуть, что если для заданного множества молекулярных видов м, = 1,. . ., 7V, установлено векторное подпространство структурных видов максимально большой размерности, то последнее тождественно совпадает с множеством возможных хилп1Ческих инвариантов. Отсюда непосредственно следует, что число химических инвариантов не зависит от конкретных химических реакций, протекающих в реагирующей системе, а определяется количеством молекулярных видов и их структурой. Итак, с использованием химических инвариантов система кинетических уравнений [c.246]

Функции многих переменных могут иметь овраги с размерностью, превышаю1цей 1. Наглядное графическое изображение таких случаев отсутствует, однако формально многомерный овраг можно определить как область значений независимых переменных, в которой функция R (х) вдоль нескольких направлений в п-мерном пространстве имеет малую скорость изменения, тогда как вдоль остальных направлений скорость изменения этой функции сравнительно высока. [c.484]

Доказано что прн примеиении правильных симплексов направление движения в симплексном методе совпадает с направлением градиента, если, естественно, симплекс достаточно мал. Вместе с тем, реализация данного метода не требует существенного увеличения вычислительных затрат с повышением размерности решаемой адачи, поскольку на каждом шаге рассчитывается только одно зиачение целевой функции независимо от числа переменных. В то же время при использовании градиентных методов поиска с возрастанием числа независимых переменных соответственно увеличивается число вычисляемых значений целевой функции при расчете производных но всем переменным. [c.518]

Система семи размерных параметров (1.117) кроме уже знакомого нам симплекса л =1Лц11Л( позволяет образовать еще два независимых безразмерных комплекса критерий Этвеша, который характеризует отношение сил тяжести и гидростатического давления к силе поверхностного натяжения, [c.41]

Рассмотрим обтекание трубного пучка. Так как коэффициенты Л и Д являются функцивй относительного шага, а при наличии связи (8.19) и функцией оптимизируемой величины ёв, то в качестве независимых переменных удобнее принять коэффициенты и Д , которые получаются из коэффициентов Л, и Д1, если из последних выделить геометрические характеристики в отдельный множитель. Так как коэффициент Ьо, входящий в (8.19), безразмерный, а 1 размерный, причем они по разным данным могут быть различны (так, в отличие от [31] в [45] 6о=1, мм), то удобнее для дальнейшего анализа рассматривать безразмерную величину йк/Ь. [c.126]

Среднее значение суммы случайных величин (как независимых, так и зависимых) равно сумме средних значений этих величин, т. е. среднее значение отклонения замыкающего звенз в размерной цепи равно сумме средних значений отклонений составляющих звеньев [c.24]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология