Асимптотика промежуточная

Любое решение такого уравнения представляет собой бегущую с постоянной скоростью и = uскорость распространения фронта). Решение в виде, ,бегущей волны является промежуточной асимптотикой в том смысле, что ищется оно при t - < (так как это установившееся во времени решение), однако изменяется во времени (движется с постоянной скоростью), и поэтому достаточно далеко от стационарного состояния. Но каждое решение уравнения [c.82]

Из всего вышесказанного следует, что модулированные структуры, описываемые выражением (6.48), могут возникать в особых условиях, на промежуточных стадиях спинодального распада, когда асимптотика больших времен достигается при малых значениях неоднородностей А (г, t). Модулированные структуры, образовавшиеся таким образом, обязаны своим происхождением чисто кинетическим эффектам. [c.79]

На основе исследований распределения Пирсона типа V установлены новые эмпирические вероятностные закономерности катастрофических наводнений. Предложены возможные физические механизмы, ответственные за эти закономерности. Показано, что уравнение водного баланса речного бассейна при учете нелинейной зависимости стока от влагозапаса может быть преобразовано в стохастическое дифференциальное уравнение с мультипликативным белым шумом. Найдено, что стационарное решение уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, записанное для плотности вероятности распределения стока, степенным образом зависит от величины стока, что и объясняет степенную статистику катастрофических наводнений. Установлено, что степенной закон распределения вероятностей является промежуточной асимптотикой и перестает быть справедливым для условий большой увлажненности речных бассейнов. Проведены ра- [c.8]

Автомодельность. Промежуточная асимптотика [c.49]

Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика [c.57]

Выясним теперь, каким образом в численном эксперименте появилась автомодельная промежуточная асимптотика (4.10). [c.72]

Итак, построено автомодельное предельное решение, которое является промежуточной асимптотикой решения исходной неавтомодельной задачи. Неопределенной осталась только постоянная Л, или, что то же, безразмерная постоянная а. В случае VI = 7 величина Л = о и константа а находятся из закона сохранения полной энергии [c.77]

Распространение пламени по реагирующей смеси — промежуточная асимптотика [c.112]

На самом деле оба наложенных выше на скорость реакции условия не необходимы. Достаточно, чтобы скорость реакции при исходной температуре была бы много меньше максимальной для данного процесса скорости реакции. При этом промежуточной асимптотикой распределения температуры, концентрации горючего вещества и т. п. по-прежнему будет некоторое решение типа бегущей волны — распространяющееся пламя. [c.112]

Если вырождение минимума связано с асимптотиками по большим параметрам, то необходимо перейти к укороченной системе алгебро-дифференциальных уравнений. Применение качественной теории в данном случае позволит лишь установить принципиальную возможность такого перехода. Нас же интересует конкретный вопрос можно ли по тому или иному веществу применять принцип квазистационарности Ответ на него можно получить сравнением времен установления квазистационарного режима по кангдому из промежуточных веществ со временем эксперимента. При этом достаточно лишь самых приближенных критериев, получаемых, например в результате линеаризации [33], поскольку правильность нулевого приближения относительно малых параметров е может быть установлена численно сравнением решений полной и укороченной систем при найденных значениях параметров. Если алгебраическая часть укороченной системы разрешима в явном виде относительно концентраций тех веществ, по которьш принят принцип квазистационарности, то решение определяется некоторыми соотношениями коэффициентов скорости, получение которых не вызывает затруднений. [c.230]

Таким образом, стационарная плотность вероятности речного стока при малых е и больших х асимптотически приближается к степенной функции. При очень больших значениях речного стока степенной закон плотности распределения вероятности сменяется гауссовским, так как при больших влагоза-пасах сток перестает зависеть от их величины и определяется только выпавшими осадками. Это обстоятельство приводит к тому, что степенной закон распределения плотности вероятности является промежуточной асимптотикой и неприменим в области очень больших значений увлажненности речных бассейнов. [c.215]

B.Н. Да. Уже опубликованы математические работы, которые показывают ограничение этого степенного закона. С точки зрения математической физики можно сказать, что этот степенной закон представляет собой промежуточную асимптотику, характерную для многих задач физики. [c.298]

Отметим, что при фактическом вычислении предела (4.5.5) нужно соблюдать осторожность. Так как решения ( ) не могут неограниченно возрастать со временем, фазовая траектория не выходит за границы некоторой конечной области фазового пространства. Если максимальный размер этой области равен X, расстояние I) между данными траекториями не может, очевидно, превышать величину Ь. Поэтому при очень больших временах когда фазовые траектории разойдутся на расстояние порядка Ь, величина К ( ) начнет уменьшаться со временем. При расчете значения К предел t оо необходимо понимать в смысле промежуточной асимптотики К ( ) при г Г, где Т — характерное время, требуемое для расхождения фазовых траекторий на расстояние Ь, Подчеркнем, что время Т зависит от начального расстояния между траекториями и, выбирая это расстояние достаточно малым, величину Т можно сделать сколь угодно большой. [c.137]

Как известно, существует несколько источников тепловыделения. Если протекает экзотермическая химическая реакция, то, как правило, решается задача о распространении волны при наличии последовательных [228] или независимых [229] реакций. Узость зон реакций, которую часто можно обосновать, например в горении, дает возможность решать задачу в приближении поверхности горения. Такой подход позволяет выявить различные режимы распространения волны, условия их реализации, найти приближенное значение скорости и расстояние между зонами реакций. Так как скорость химической реакции мала при низких температурах, то время выхода на промежуточную асимптотику меньше времени вырождения волны, и волна от превращения второй реакции распространяется по продукту первой реакции. [c.149]

Здесь же мы кратко остановимся на постановке и методике численного решения краевых задач для уравнений Навье-Стокса, которая в промежуточном (между асимптотиками) диапазоне чисел Рейнольдса является единственным средством получения ин-формапии о течении. [c.149]

Наконец, я расширил главу, где говорилось об упругости и включил туда кое-что из теории разрушения. Эта область тоже дает хороший материал в связи с неполной автомодельностью и промежуточными асимптотиками. [c.3]

Поэтому новые решения рассматриваются как промежуточные асимптотики. Предположим, что до некоторого конечного момента времени и потери не имеют места. В этот момент, когда радиус возмущенной области достигает конечной величины / о, мы включаем потери. Или, более общим образом, можно начать с уже распространившейся до конечной величины / о конечной энергии о, созданной какими-то другими способами. [c.7]

Дело в том, что, как правило, эти частные решения представляют собой асимптотики широкого класса других решений, отвечающих другим начальным условиям. В этом случае значение точных частных решений возрастает в сильнейшей степени. И эта часть вопроса отражена в заглавии книги, в словах промежуточные асимптотики . Значение решений как асимптотик зависит от их устойчивости. Вопросы устойчивости и поведения решений при малых возмущениях также рассматриваются в этой книге в частности, излагается предложенный в совместной работе Г. И. Баренблатта и моей простой метод исследования устойчивости инвариантных решений. [c.8]

Первое издание книги вышло в 1978 г. в Гидрометеоиздате. После выхода в свет первого издания мы были свидетелями дискуссий и обсуждений, новых работ и постановок вопроса, идейно связанных с проблемами автомодельности и промежуточной асимптотики. Значение, глубина и жизненность этого круга идей получили веские подтверждения. В настоящее время трудно себе представить человека, который бы активно работал в области математической физики, игнорируя идеи автомодельности и промежуточной асимптотики. [c.9]

Именно рассмотрение автомодельностей как промежуточных асимптотик позволяет правильно понять роль анализа размерностей при установлении автомодельности и определении автомодельных переменных. Как оказывается, соображений размерности далеко не всегда достаточно для установления автомодельности. Более того, можно даже утверждать, что, как правило, это не так. [c.16]

Если теперь подставить выражение решения (21) в уравнение (17), то получим для функции ф обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое величина а входит как параметр. Оказывается, что при произвольном а это уравнение не имеет решения, обладающего необходимыми свойствами. Однако для каждого значения параметра имеется значение а, при котором нужное решение обыкновенного дифференциального уравнения существует. Таким образом, для определения ф и параметра а получается нелинейная задача на собственные значения. Константа А при таком непосредственном построении автомодельной промежуточной асимптотики остается неопределенной. Найти ее из интегрального закона сохранения типа (16) при нельзя, поскольку в этом случае суммарное уравнение баланса тепла принимает неинтегрируемую форму [c.18]

Наконец, в третьем случае параметры П1, П2,. .. продолжают оставаться существенными, как бы велики или малы они ни были, и никакая автомодельность по ним не наступает. Природа классификации автомодельных решений теперь становится прозрачной. Если предельный переход от решения неавтомодельной исходной задачи к автомодельной промежуточной асимптотике отвечает полной автомодельности по безразмерному параметру, нарушающему автомодельность исходной задачи, автомодельное решение представляет собой решение первого рода. Если предельный переход соответствует неполной автомодельности, автомодельное решение является решением второго рода. Трудность на самом деле состоит в том, что методы подобия обычно применяются, когда решение полной задачи неизвестно. Поэтому априори нельзя указать, с каким типом автомодельности мы имеем дело и практически поступают так сначала предполагают полную автомодельность и пробуют построить соответствующее автомодельное решение — решение первого рода. Если это предположение приводит к противоречию, то возвращаются к исходной невырожденной задаче, предполагают неполную автомодельность и пробуют построить автомодельное решение второго рода. Если и это предположение приводит к противоречию, автомодельность вообще не имеет места. [c.20]

Здесь и т — пространственная и временная переменные, К — постоянная скорость распространения волны, с — константа. Для таких решений распределения характеристик в разные моменты времени получаются одно из другого простым сдвигом. Хорошо известно, что бегущие волны подразделяются на два типа. Для волн первого типа скорость распространения X находится только из законов сохранения и не зависит от внутренней структуры волны. Примером таких волн являются ударные волны в газодинамике и детонационные волны. Для волн другого типа скорость распространения X находится из условия существования в целом решения, описывающего внутреннюю структуру волны, и полностью этой структурой определяется. Примером волн этого типа является волна пламени или волна распространения гена, имеющего преимущество в борьбе за существование. Следует отметить, что рассмотрение последней задачи в классической работе А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и Н. С. Пискунова [54] было первым примером строгого анализа промежуточной асимптотики нелинейных задач. [c.22]

Автомодельность связывается [19, 109] с нелинейной, во-обнде говоря, задачей на собственные значения, существование решения которой обеспечивает существование автомодельной промежуточной асимптотики в целом. Оказывается нетривиальным вопрос о множестве собственных значений в этой задаче — спектре, определяющем возможные значения показателей степени в автомодельных переменных. Все просто, если спектр состоит из одной точки, как в рассмотренной выше модифицированной задаче теплопроводности. Если же спектр состоит более чем из одной точки, в частности, если он непрерывен, показатели степени в автомодельных переменных зависят от начальных условий исходной неавтомодельной задачи. Замечательный пример здесь доставляет автомодельная интерпретация известного уравнения Кортевега—де Фриза (см. главу 7). [c.23]

Говорят поэтому, что автомодельное решение представляет собой промежуточную асимптотику при описании явления. Под промежуточными асимптотиками понимается в общем случае Следующее. Пусть в задаче имеются две характерные постоянные величины размерности независимой переменной Хг и Промежуточной асимптотикой называется асимптотическое представление решения при Xi X 9 сю, яо XilX > 0. [c.51]

Вполне аналогично обстоит дело и в задаче описания газодинамической стадии сильного взрыва. В этом случае следует учитывать, что выделение энергии на самом деле происходит не в точке, а в сфере радиусом Rq (радиус Ro соответствует моменту, когда мощная ударная волна обгоняет тепловую). Вне этой сферы — покоящийся газ плотностью ро, находящийся не под нулевым, а под конечным давлением ро. Изложенное выше решение представляет собой промежуточную асимптотику, описывающую стадию взрыва при [c.51]

Точно так же дело обстоит и в общем случае. Автомодельные решения всегда представляют собой решения вырожденных задач, в которых входящие в задачу параметры размерности независимых переменных принимают нулевые или бесконечные значения, так что, как правило, автомодельные решения отвечают сингулярным начальным или краевым и т. п. условиям, таким, как в только что рассмотренных примерах. Таким образом, автомодельные решения всегда представляют собой промежуточные асимптотики решений невырожденных задач. [c.52]

Широко распространено представление о том, что получение автомодельных решений всегда связано с анализом размерностей, т. е. с подобием, так что применением анализа размерностей из постановки вырожденной задачи, точным решением которой является та или иная автомодельность, всегда может быть получена форма. решения, т. е. выражение автомодельных переменных. После получения точного решения нетрудно найти класс невырожденных задач, для которого рассматриваемое автомодельное решение является промежуточной асимптотикой. Для некоторых решений дело действительно обстоит так рассмотренные в настоящей главе примеры это продемонстрировали и показали общий подход, применимый в подобных случаях. Существенно, однако, что случаи, когда построение автомодельных решений исчерпывается анализом размерности, составляют, как говорят иногда, лишь видимую часть айсберга. Как правило, дело обстоит иначе существуют обширные классы задач, для которых хотя и имеет место автомодельная промежуточная асимптотика, но эту асимптотику нельзя получить из исходной постановки задачи путем применения соображений размерностей. Форма автомодельных переменных определяется в этих случаях из решения нелинейных задач на собственные значения и иногда даже из некоторых дополнительных соображений. Подчеркнем еще раз, что речь идет не об исключениях, а скорее, о правиле множество автомодельных решений, не получаемых из соображений подобия, гораздо богаче множества автомодельных решений, форма которых вполне определяется соображениями подобия. Последующее рассмотрение покажет, в чем здесь дело. Слегка, казалось бы, модифицировав [c.52]

Рис. 3.2. Выход на автомодельную промежуточную асимптотику решения неавтомодельной начальной задачи для уравнения (3.1) при 8=2 и начальных данных а(х, 0) = 10 (0 л 0,1)>

Рис. 3.2. Выход на <a href="/info/1329024">автомодельную промежуточную асимптотику решения</a> неавтомодельной <a href="/info/999859">начальной задачи</a> для уравнения (3.1) при 8=2 и начальных данных а(х, 0) = 10 (0 л 0,1)>

Таким образом, численный эксперимент показал, что решение задачи Коши для уравнения (3.1) быстро выходит на автомодельную промежуточную асимптотику [c.59]

Решение задачи о сильном точечном взрыве при y = Yi представляет собой, с одной стороны, решение сингулярной предельной задачи, соответствуюш,ей / о = 0, с другой стороны,— асимптотику решения (4.12) при t- oo. Как мы выяснили, при Yi= Y решения предельной задачи, соответствуюш ей Ro = О, не существует. Нас, однако, интересует не решение предельной задачи, а асимптотическое представление решения неавтомодельной задачи с / о = = О при больших t. При возрастании же i и фиксированном г к нулю стремятся как g, так и г. Появление у решения автомодельной промежуточной асимптотики (4.10) объясняется тем, что существует такое положительное число р, зависящее от [c.72]

Единственным способом определения константы а остается в настоящее время прослеживание эволюции решения неавтомодельной задачи к автомодельной промежуточной асимптотике. [c.77]

Как и для автомодельного решения, рассмотренного в главе 3, для этого автомодельного предельного решения характерны два свойства. Во-первых, показатель а степени времени в выражении для автомодельной переменной не находится из соображений подобия, а требует для своего определения решения нелинейной задачи на собственные значения, т. е. находится из условия существования автомодельного решения не в малом, а в целом. Далее, все решение определяется при этом лишь с точностью до некоторой постоянной, входящей в автомодельную переменную, которая может быть найдена только сращиванием автомодельной промежуточной асимптотики с неавтомодельным решением исходной задачи интегрального закона сохранения, позволяющего непосредственно определить значение этой постоянной по начальным данным исходной задачи, здесь не существует. [c.78]

Задача о взрыве на плоской границе раздела — промежуточные асимптотики [c.85]

Результаты расчета представлены на рис. 4.7, на котором приводится относительное распределение давления р/р/2 в функции = х/х/2 для разных моментов времени (. Кривые I н II соответствуют автомодельным распределениям для короткого удара и сосредоточенного сильного взрыва. Как видно, существует определенный интервал времен 1достаточной точностью стало автомодельным и, вместе с тем, настолько малых, чтобы влияние конечности плотности газа слева было пре-небрежимым. В этом интервале времен в области существенного изменения давления вблизи правой волны действует автомодельная промежуточная асимптотика короткого удара. При I > и (в рассмотренном примере и = 100) область существенного изменения давления описывается автомодельной промежуточной асим- [c.86]

Анализ промежуточных асимптотик в задаче о взрыве вблизи границы раздела, изложенный выше, и численные эксперименты [c.87]

Рис. 4.7. Решение задачи о взрыве на границе раздела выходит на промежуточные асимптотики сначала короткого удара (I), потом сильного взрыва (II).

Рис. 4.7. <a href="/info/24423">Решение задачи</a> о взрыве на <a href="/info/68165">границе раздела</a> выходит на промежуточные асимптотики сначала <a href="/info/1871340">короткого удара</a> (I), потом сильного взрыва (II).

Итак, существование и единственность решения нелинейной задачи на собственные значения доказаны. Используя методы, развитые в работе А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и И. С. Пискунова [57], Я.И. Капель [50] показал, что решение представляет собой асимптотику при t- oo решения некоторого естественным образом определенного класса начальных задач с условиями переходного типа. Заметим, что как в задаче о распространении гена, так и в задаче теории распространения пламени, непосредственное построение решения типа бегущей волны u = U l — Я1Э + с) о пределяет это решение с точностью до константы с. Эта константа может быть найдена только сращиванием инвариантного решения с неинвариантным решением исходной задачи. При этом очевидно, что какое бы промежуточное состояние системы l/(g, О), ), п(1, ) мы ни приняли за начальное, значение константы с не изменится. В этом смысле константа с является интегралом уравнений рассматриваемых задач (ср. [159]). [c.111]

Подобие автомодельность промежуточная асимптотика Изд2 (1982) -- [ c.11 , c.51 , c.61 , c.69 , c.69 , c.71 , c.71 , c.79 , c.79 , c.81 , c.81 , c.85 , c.85 , c.88 , c.88 , c.112 , c.112 , c.116 ]

Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика Теория и приложения к геофизической гидродинамике Изд.2 (1982) -- [ c.11 , c.51 , c.61 , c.69 , c.69 , c.71 , c.71 , c.79 , c.79 , c.81 , c.81 , c.85 , c.85 , c.88 , c.88 , c.112 , c.112 , c.116 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология