Автомодельность. Промежуточная асимптотика

Автомодельность. Промежуточная асимптотика [c.49]

Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика [c.57]

Выясним теперь, каким образом в численном эксперименте появилась автомодельная промежуточная асимптотика (4.10). [c.72]

Как показано в главе 3 с использованием численного счета, автомодельная промежуточная асимптотика решения начальной задачи для уравнения [c.135]

Если теперь подставить выражение решения (21) в уравнение (17), то получим для функции ф обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое величина а входит как параметр. Оказывается, что при произвольном а это уравнение не имеет решения, обладающего необходимыми свойствами. Однако для каждого значения параметра имеется значение а, при котором нужное решение обыкновенного дифференциального уравнения существует. Таким образом, для определения ф и параметра а получается нелинейная задача на собственные значения. Константа А при таком непосредственном построении автомодельной промежуточной асимптотики остается неопределенной. Найти ее из интегрального закона сохранения типа (16) при нельзя, поскольку в этом случае суммарное уравнение баланса тепла принимает неинтегрируемую форму [c.18]

Наконец, в третьем случае параметры П1, П2,. .. продолжают оставаться существенными, как бы велики или малы они ни были, и никакая автомодельность по ним не наступает. Природа классификации автомодельных решений теперь становится прозрачной. Если предельный переход от решения неавтомодельной исходной задачи к автомодельной промежуточной асимптотике отвечает полной автомодельности по безразмерному параметру, нарушающему автомодельность исходной задачи, автомодельное решение представляет собой решение первого рода. Если предельный переход соответствует неполной автомодельности, автомодельное решение является решением второго рода. Трудность на самом деле состоит в том, что методы подобия обычно применяются, когда решение полной задачи неизвестно. Поэтому априори нельзя указать, с каким типом автомодельности мы имеем дело и практически поступают так сначала предполагают полную автомодельность и пробуют построить соответствующее автомодельное решение — решение первого рода. Если это предположение приводит к противоречию, то возвращаются к исходной невырожденной задаче, предполагают неполную автомодельность и пробуют построить автомодельное решение второго рода. Если и это предположение приводит к противоречию, автомодельность вообще не имеет места. [c.20]

Автомодельность связывается [19, 109] с нелинейной, во-обнде говоря, задачей на собственные значения, существование решения которой обеспечивает существование автомодельной промежуточной асимптотики в целом. Оказывается нетривиальным вопрос о множестве собственных значений в этой задаче — спектре, определяющем возможные значения показателей степени в автомодельных переменных. Все просто, если спектр состоит из одной точки, как в рассмотренной выше модифицированной задаче теплопроводности. Если же спектр состоит более чем из одной точки, в частности, если он непрерывен, показатели степени в автомодельных переменных зависят от начальных условий исходной неавтомодельной задачи. Замечательный пример здесь доставляет автомодельная интерпретация известного уравнения Кортевега—де Фриза (см. главу 7). [c.23]

Широко распространено представление о том, что получение автомодельных решений всегда связано с анализом размерностей, т. е. с подобием, так что применением анализа размерностей из постановки вырожденной задачи, точным решением которой является та или иная автомодельность, всегда может быть получена форма. решения, т. е. выражение автомодельных переменных. После получения точного решения нетрудно найти класс невырожденных задач, для которого рассматриваемое автомодельное решение является промежуточной асимптотикой. Для некоторых решений дело действительно обстоит так рассмотренные в настоящей главе примеры это продемонстрировали и показали общий подход, применимый в подобных случаях. Существенно, однако, что случаи, когда построение автомодельных решений исчерпывается анализом размерности, составляют, как говорят иногда, лишь видимую часть айсберга. Как правило, дело обстоит иначе существуют обширные классы задач, для которых хотя и имеет место автомодельная промежуточная асимптотика, но эту асимптотику нельзя получить из исходной постановки задачи путем применения соображений размерностей. Форма автомодельных переменных определяется в этих случаях из решения нелинейных задач на собственные значения и иногда даже из некоторых дополнительных соображений. Подчеркнем еще раз, что речь идет не об исключениях, а скорее, о правиле множество автомодельных решений, не получаемых из соображений подобия, гораздо богаче множества автомодельных решений, форма которых вполне определяется соображениями подобия. Последующее рассмотрение покажет, в чем здесь дело. Слегка, казалось бы, модифицировав [c.52]

Рис. 3.2. Выход на автомодельную промежуточную асимптотику решения неавтомодельной начальной задачи для уравнения (3.1) при 8=2 и начальных данных а(х, 0) = 10 (0 л 0,1)>

Таким образом, численный эксперимент показал, что решение задачи Коши для уравнения (3.1) быстро выходит на автомодельную промежуточную асимптотику [c.59]

Решение задачи о сильном точечном взрыве при y = Yi представляет собой, с одной стороны, решение сингулярной предельной задачи, соответствуюш,ей / о = 0, с другой стороны,— асимптотику решения (4.12) при t- oo. Как мы выяснили, при Yi= Y решения предельной задачи, соответствуюш ей Ro = О, не существует. Нас, однако, интересует не решение предельной задачи, а асимптотическое представление решения неавтомодельной задачи с / о = = О при больших t. При возрастании же i и фиксированном г к нулю стремятся как g, так и г. Появление у решения автомодельной промежуточной асимптотики (4.10) объясняется тем, что существует такое положительное число р, зависящее от [c.72]

Единственным способом определения константы а остается в настоящее время прослеживание эволюции решения неавтомодельной задачи к автомодельной промежуточной асимптотике. [c.77]

Как и для автомодельного решения, рассмотренного в главе 3, для этого автомодельного предельного решения характерны два свойства. Во-первых, показатель а степени времени в выражении для автомодельной переменной не находится из соображений подобия, а требует для своего определения решения нелинейной задачи на собственные значения, т. е. находится из условия существования автомодельного решения не в малом, а в целом. Далее, все решение определяется при этом лишь с точностью до некоторой постоянной, входящей в автомодельную переменную, которая может быть найдена только сращиванием автомодельной промежуточной асимптотики с неавтомодельным решением исходной задачи интегрального закона сохранения, позволяющего непосредственно определить значение этой постоянной по начальным данным исходной задачи, здесь не существует. [c.78]

Результаты расчета представлены на рис. 4.7, на котором приводится относительное распределение давления р/р/2 в функции = х/х/2 для разных моментов времени (. Кривые I н II соответствуют автомодельным распределениям для короткого удара и сосредоточенного сильного взрыва. Как видно, существует определенный интервал времен 1достаточной точностью стало автомодельным и, вместе с тем, настолько малых, чтобы влияние конечности плотности газа слева было пре-небрежимым. В этом интервале времен в области существенного изменения давления вблизи правой волны действует автомодельная промежуточная асимптотика короткого удара. При I > и (в рассмотренном примере и = 100) область существенного изменения давления описывается автомодельной промежуточной асим- [c.86]

Спектр собственных значений п, определяющих скорость затухания моментов связи второго порядка, при непосредственном построении автомодельного решения (10.10) оказался непрерывным решение уравнения (10.11) при условиях (10.12) существует при любом я>0. Реализуемое на самом деле значение п должно определяться начальными условиями невырожденной задачи, для которой решение (10.10) представляет собой автомодельную промежуточную асимптотику. [c.169]

Исследование локальной структуры турбулентных течений несжимаемой вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса в замечательных работах А. И. Колмогорова [54, 155] и А. М. Обухова [79, 173] также доставляет показательные примеры автомодельных промежуточных асимптотик различных типов. Здесь следует отметить также выдающуюся работу их предшественника Л. Ф. Ричардсона [186], предложившего качественную картину вихревого каскада в турбулентном потоке. [c.177]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология