Уравнение в вариациях

Таким образом, с учетом обозначений ( 11,22) и (VII,23) система уравнений в вариациях (VI 1,21) запишется как [c.326]

Поскольку на всем интервале выполняется равенство (IV,67), то из выражения (IV,56) следует, что элементы а ,.,. . ., любого г-го столбца матрицы а представляют собой решения системы уравнений в вариациях [c.109]

Таким образом, для определения производных (IV,45) по формуле (IV,72) требуется знание матрицы фундаментальных решений (IV,70) системы уравнений в вариациях (IV,69) в интервале Элементы в данном случае находятся при помош и обращения матрицы (IV,70). В дальнейшем матрицей а обозначим матрицу (IV,70), а матрицей Р — обратную к ней матрицу. [c.110]

В предыдущих разделах рассмотрены все четыре основных варианта оптимальной задачи и для определения производных выходных величин по всем варьируемым параметрам выведены соответствующие формулы. При этом было показано, что для определения производных (IV,12) возможны два метода. При первом методе [см. формулы (IV,72) и (IV,82)1 требовалось знание матрицы фундаментальных решений системы уравнений в вариациях (IV,25) [c.121]

Решив систему (IV,16) с начальными условиями (IV,125) и (IV,126) для А = О, 1,. . ., га и образовав функции (IV,127), получим ге- -1 решение системы уравнений в вариациях (IV,25), которые используем для вычисления производных (IV,45) по формуле (IV,72). Ясно, что в данном случае [c.126]

В табл. 7 приведены значения управлений и, (г = 1, 4, 6, 8, 10) и величина t) для ряда итераций. Видно, что процесс сошелся за 14 итераций. В работе [22] та же задача решалась градиентным методом, причем число итераций составляло 49. С другой стороны, в работе [3, с. 171—174] упомянутая задача решалась методом квазилинеаризации. В этом случае потребовалось только четыре итерации. Правда, метод квазилинеаризации значительно более трудоемок с точки зрения подготовительной работы. Он требует выписывания и программирования системы уравнений в вариациях к система (VI,24), (VI,28). Кроме того, указанный метод требует примерна в два раза больше вычислений на каждой итерации помимо уравнений ( 1,24) и ( 1,28), на каждой итерации нужно еще решать краевую задачу для системы уравнений в вариациях. [c.117]

Для вектора xf может быть выведено следующее дифференциальное уравнение. Линеаризовав систему (VI,54), (VI,57), (VI,58) с краевыми условиями l a (0=0 и (VI,60), получим систему уравнений в вариациях [c.128]

Если принять во внимание вид матрицы Н (I) [см. формулу (XI,51)], становится очевидным, что система линейных уравнений (XI,74) является системой уравнений в вариациях для системы (Х1,48) [58, с. 301]. Отсюда по определению (см. работу [58, с. 298— 307]) матрица Ф ( ) есть матрица частных производных от значений переменных г Ц по начальным условиям [c.243]

Система уравнений в вариациях может быть проинтегрирована с начальными условиями, которые определяются величиной вариа- [c.316]

Система уравнений в вариациях. как система линейных однородных уравнений обладает важным свойством, а именно сумма любых двух ее решений, найденных при неодинаковых начальных условиях, также является решением. Таким образом, если начальное условие [c.317]

Напишем систему уравнений в вариациях, соответствующую системе (I) [c.343]

Преобразовав это уравнение в чисто дифференциальное при. помощи разложения в ряд Тейлора и линеаризуя методом малых возмущений вблизи установившегося значения Па, мы получили линейное уравнение в вариациях [c.147]

Подставив м,- из равенства ( 1,16) в систему ( 1,2), получим замкнутую систему 2п уравнений с 2п неизвестными. Вычисление производных ( 1,11) для полученной системы уравнений можно уже производить с помош,ью либо системы уравнений в вариациях, либо сопряженной системы [c.145]

В дальнейшем систему (VI,39) для краткости будем называть, системой уравнений в вариациях. Начальные условия для этой системы в соответствии с выражениями (VI,12), (VI,13) и (VI,26) имеют вид [c.151]

Таким образом, нам надо найти производные решений системы по начальным условиям. Известно что для определения всех производных (VII,30) необходимо раз решить систему уравнений в вариациях, соответствующую системе (1,7а) с начальными условиями (не будем их здесь выписывать). Подставляя полученные значения производных (VII,30) в формулу (VII,7), можно подсчитать значения величин i( )(i = 1,. . ., й, ) по известным значениям = [c.188]

Уравнения (28)—(39) являются уравнениями в вариациях и отличаются от исходных следующим [c.126]

При вычислении коэффициентов системы уравнений в вариациях, т. е. производных д<р11дх , необходимо иметь в виду, что эти производные изменяются вдоль всей траектории и характеризуются значениями х (/) н Ыо, . (/), соответствующими оптимальной траектории процесса. [c.326]

Система уравнений в вариациях может быть прошп егрирована с начальными условиями, которые определяются величиной вариации в момент времени I - = т. Значенне бх (т) можно найти из соотношений ( 11,14) и ( 11,15) [c.326]

Предположим, что такой отсекаюш,ей гиперплоскости ие существует. В случае двухмерного пространства это означает, что для любой прямой линии I, проведенной через точку траектории х (1) (рнс. П-8), всегда нмеются такие варьированные траектории, которые пересекают указанную линию по обе стороны от точки х ( ). Поскольку известно, что сумма решений системы уравнений в вариациях также является ее решением, всегда можно выбрать величины и < .2 так, чтобы вектор суммы [c.328]

Здесь функции (г = О, 1,. . ., и4-1 / = О, 1,. . ., и + 1) являются элементами матрицы а, служащей матрицей фундаментальных решений системы уравнений в вариациах [c.106]

Доказательство. Oптu. шзнpyeмьш процесс в линейном приближении списывается следующей системой уравнений в вариациях [c.204]

Таким образом, с учетом обозначений (VII, 22) и (VII, 23) система уравнений в вариациях (VII, 21) запишетря так [c.316]

Сравним теперь метод Вольфа с рассмотренными здесь методами Ньютона и квазилинеаризации. С одной стороны, хметод Вольфа обладает тем преимуществом, что не использует систему уравнений в вариациях, соответствующую системе (VI,2). В методах Ньютона и квазилинеаризации приходится применять дополнительные системы уравнений (VI,36) и (VI,77). Метод же Вольфа не использует никаких дополнительных систем уравнений. Эго существенно облегчает подготовку задачи для решения на вычислительной машине, поскольку не требуется определять аналитический вид и программировать производные от правых частей систе.мы (VI,2) до первдмен-НЫМ Z(- и Wj. [c.168]

Полз чеш1ую краевую задачу будем решать тем вариантом метода квазилинеаризации, который был изложен на стр. 166. На каждой итерации нам надо решать систему уравнений в вариациях ( 1,77), (VI,37) (не будем ее здесь выписывать) с краевыми условиями ( 1,73). Эта краевая задача решалась как методом подбора констант (стр. 309), так и методом прогонки (си. Приложение А, стр. 310). [c.173]

Такое название сопряженный процесс получил потому, что уравнения (VII,7), описывающие каждый его блок, являются сопряжеп-HbiMii по отношению к системе уравнений в вариациях, соответствующей системе уравнений (1,6). Для того чтобы рассчитать сопряженный процесс, необходимо знать значения входных переменных Я (г= = 1,. . ., q , к = iVa -г 1, Щ сопряженного процесса. Примем, что они определяются соотношениями (VII,10), которые будем называть граничными условиями уравнений сопряженного процесса. Отсюда можно говорить, что зфавнения (VII,7) и (ЛП1,8) есть зфавнеиия сопряженного процесса с граничными условиями (VII,10). Поскольку система (VII,7)—(VII,8) является системой линейных алгебраических з равнений, для их решения могз т применяться хорошо разработанные методы [c.180]

Аналитические исследования проводились Ф.И. Франклем [104] при малых изменениях решения относительно исходного — задача формулировалась в плоскости годографа для линейного уравнения в вариациях. Строгие доказательства теоремы единственности в малом были получены в [61, 74]. [c.111]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология