Уравнение система решений фундаментальна

Из сравнения 1 и /а видно, что при применении формулы (IV,73) с использованием решения сопряженной системы уравнений (IV,37) количество операций меньше, чем при применении формулы (IV,72) с использованием фундаментальной системы решений уравнений (IV,25). Однако в случае сложных систем, когда М > п, число 1 12 и эффективность указанных методов ио скорости счета практически одинакова. [c.124]

Перейдем теперь к виду общего решения системы уравнений первого закона Кирхгофа и соответственно к связи между векторами дГд и Из предыдущего ясно, что ранг матрицы А равен т — 1 и поэтому фундаментальная система решений приведенной системы уравнений Лх = О состоит из л — (/я — 1) = с специально подобранных наборов чисел. В качестве таковых можно взять, как это следует из (4.29) и (4.30), систему из с строк матрицы В, построенной для главной (хордовой) системы контуров. Любая линейная комбинация этих строк с произвольными постоянными коэффициентами х - ( Сь. . ., х ) также будет решением приведенной системы, так что [c.61]

Уравнения системы (9.2) однородны (правые части их равны нулю). При этом всегда т<гд, где гg — ранг матрицы системы (9.2). Такая система имеет бесконечное число решений. Поэтому для любой реакции можно определить бесконечное число инвариантов. Но только часть из них, в количестве, равном т — гg, линейно независимы. Любой другой инвариант может быть получен как линейная комбинация выбранных m—тg) инвариантов, соответствующих фундаментальной системе решений уравнений (9.2). [c.104]

Вектора Л,, Л ,, входящие в формулу (276), являются базисом линейного подпространства решений сопряженного однородного уравнения А У = О или, другими словами, фундаментальной системой решений сопряженного однородного уравнения. Очевидно, что необходимыми и достаточными условиями ортогональности правой части уравнения (275) ко всем решениям сопряженного однородного уравнения является ортогональность к каждому из векторов Л ,. .., Напишем эти условия [c.145]

Для краткости записи формул будем пользоваться обозначениями, введенными в п. 34 матрицами Лу и функциями Ру ) (/ = I,. .., к), а также Z ( ) —фундаментальной системой решений уравнения I = Р (1) I при I (0) = Е. Очевидно, что если задача (289), (291) при условии, что вектор Г = (71,. .., 7 ) принадлежит п-мерному параллелепипеду У = а, < г/, с. .., а < Уп < РтЬ разрешима, то ее решение будет также решением задачи (289), (290). Под разрешимостью задачи (289), (291) при Г = Го понимается существование управления У = О ( ) такого, что решение системы уравнений (289) при и = II () существует и удовлетворяет краевым условиям (291) при Г = Го, 11 = О 1). Для простоты изложения исследуем сначала линейную задачу (289), (290) при н = 0. Рассмотрим линейную задачу (289), (291) при [х = О, Г = Го и найдем условия, которым должен удовлетворять вектор Го, чтобы эта задача была разрешимой. Выпишем решение системы уравнений (289), используя формулу Коши и считая, что и = и 1) [c.155]

Где Т = А Ти а Л — матрица размера [ т — 1)Хт] ранга т — /, строками которой являются вектора Л,- (1 = 1, т — I), являющиеся фундаментальной системой решений сопряженного однородного уравнения Л (Г) К = О, У = (у , у ) (I — ранг матрицы Л (Г)). [c.159]

Л , Л , — фундаментальная система решений сопряженного однородного уравнения А (Г), А У = 0), получим [c.169]

В данной записи Zj (т) — фундаментальная система решений для уравнения <111 = р ) Е при начальных условиях 2 (/) = Е. [c.184]

Пример 2.7 (оператор Штурма — Лиувилля). Такой оператор является частным случаем оператора Шредингера (примеры 2.4, 2.6) в случаев = 1. Сейчас (З и) (х) = = —и" (х) -+ q (X) и (х) (x G с IR1) — обыкновенное дифференциальное выражение, поэтому у уравнения З и = Хи существует фундаментальная система решений, через которую выражается любое другое решение. Это дает возможность получить формулы типа (2.59). [c.258]

Детализация формул (2.26), (2.62), приводящая к (2.64), (2.65), была возможна благодаря наличию фундаментальной системы решений для обыкновенного уравнения (2.63). Для случая частных производных подобную процедуру провести нельзя по поводу некоторой детализации этих формул см. 3, пп. 1, 2. [c.259]

Ранее обсуждалось решение системы дифференциальных уравнений (10-34). В дальнейшем будет показано, что этот метод изложения вследствие фундаментального характера обобщенных уравнений Дамкелера ведет непосредственно к таким понятиям, как рабочая линия и единица переноса. [c.161]

Матрица вверху рис. 5.7 является обобщением Якобиана (рис. 5.6), расширенного правой частью системы (В-вектор). Алгоритм состоит в том, что после L - 1 шагов фундаментальная матрица замещается тождеством - единичной диагональной матрицей, а вектор правых частей - решением системы. Элементарное действие над строкой, производимое для расширенной матрицы, эквивалентно умножению обеих частей уравнения на такую же элементарную матрицу. [c.258]

Таким образом, для определения производных (IV,45) по формуле (IV,72) требуется знание матрицы фундаментальных решений (IV,70) системы уравнений в вариациях (IV,69) в интервале Элементы в данном случае находятся при помош и обращения матрицы (IV,70). В дальнейшем матрицей а обозначим матрицу (IV,70), а матрицей Р — обратную к ней матрицу. [c.110]

В предыдущих разделах рассмотрены все четыре основных варианта оптимальной задачи и для определения производных выходных величин по всем варьируемым параметрам выведены соответствующие формулы. При этом было показано, что для определения производных (IV,12) возможны два метода. При первом методе [см. формулы (IV,72) и (IV,82)1 требовалось знание матрицы фундаментальных решений системы уравнений в вариациях (IV,25) [c.121]

Матрицы а +2 (г) и (г) являются фундаментальными матрицами решений системы уравнений (1) в интервале г,+12,+2- Отсюда одну из них можно выразить через другую при помощи матрицы-столбца С некоторых постоянных [c.229]

Получим формулу для общего решения системы (54). Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы общего решения для системы линейных дифференциальных уравнений Пусть а = является матрицей фундаментальных решений однородной системы линейных разностных уравнений [c.233]

Хотя из всех атомов периодической системы только водород и его изотопы относятся к одноэлектронным атомам, квантовомеханическое рассмотрение систем этого типа имеет фундаментальное значение. Это объясняется тем, что только для атомов и ионов с одним электроном (так называемых водородоподобных атомов) может быть точно решено уравнение Шредингера, а полученные решения служат основой для изучения всех более сложных задач [c.23]

При получении модели невыгодно путем различных замен переходить к уравнению высокого порядка, так как при решении дифференциальных уравнений любого порядка на вычислительных машинах они программируются как системы дифференциальных уравнений первого порядка. Более важный аспект состоит в том, что основные связи, действующие в моделируемых процессах, описываются уравнениями первого порядка. Например, приведенное уравнение второго порядка (масса X ускорение = сила), в котором масса постоянна, является частным случаем. Более фундаментальна связь следующая [c.23]

Между этими двумя категориями сеточных задач существует глубокая разница. Если для неявных схем задача сводится к решению системы алгебраических уравнений, то в случае явных решение сеточной задачи осуществляется по шагам в направлении оси I. Если в нервом случае на сегодня основным вопросом является вопрос фактического решения системы конечно-разностных уравнений, то для явного случая, наоборот, фактическое решение сеточной задачи не представляет труда, но зато вопросы сходимости и устойчивости разностных схем являются фундаментальными. [c.70]

Если при составлении линейных уравнений законов Кирхгофа для электрической цепи направление тока в какой-либо из ветвей было принято неправильным, то решение все равно будет получено, но в другом квадранте. Существенно, однако, го, что этому множеству возможных решений отвечает система точек пересечения (рис. 6.5,а), которая обладает симметрией не только относительно диагоналей а—а иЬ-Ь, но и относительно осей координат. Поэтому любая ошибка в направлении тока для каждой отдельной ветви приводит к изменению знака решения, но оставляет его истинным по модулю (что также отвечает принципу суперпозиции решений). На этом основано фундаментальное для линейных электрических цепей правило знаков . [c.81]

Рассмотрим кристаллизацию в дисперсных системах как процесс эволюции во времени большой системы кристаллов. В принципе, вероятно, возможно рассмотреть поставленную задачу, решив уравнение Лиувилля при надлежащем выборе начальных и граничных условий. Детальный анализ такого решения должен выявить все особенности, наблюдаемые при кристаллизации в дисперсных системах. Сказанное основано на следующей фундаментальной идее если задана некоторая система уравнений и начальное ее состояние при т = 0, то ее эволюцию в последующие моменты времени можно объяснить посредством задания точных законов микрокинетики изучаемого явления. Информация о законах микрокинетики и, следовательно, о свойствах системы содержится в векторах ёа,/с1т — см. уравнение (1.2). [c.138]

Нетрудно убедиться, что полученная система уравнений для линейно зависимых веществ соответствует п — г возможным химическим реакциям. При этом из п веществ для описания системы реакций необходимо только г веществ. Процедура решения уравнения типа А = В сводится к определению ранга матрицы , а затем к отысканию фундаментальной системы (см. стр. 26). Обсуждение этой процедуры можно найти также в сообщении [190]. [c.24]

Современному аналитику часто приходится участвовать в проведении такой важной операции, так математическое моделирование, т. е. представление системы и всех ее подсистем (компонент) в математической форме. Тип модели, которая разрабатывается для представления какой-либо определенной физической системы, зависит от постановки задачи и налагаемых ограничений. После того как сформулирована базисная качественная модель, математические уравнения для модели могут быть выведены из фундаментальных физических принципов или из экспериментов, проводимых с компонентами системы. В общем случае математические уравнения, описывающие систему, могут иметь различную форму это могут быть линейные или нелинейные уравнения, обычные или дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях и другие уравнения. Если информацию предполагается получить из модели, то уравнения, записанные одним из указанных выще способов, необходимо рещить. Однако многие из этих уравнений не имеют аналитического (в математическом смысле) рещения. Вследствие этого рассматриваемая область является именно той областью, где существенную роль играют численные методы ОД при помощи компьютера. Типичные примеры таких методов описаны в литературе [56— 59]. Так, в статье [59] обсуждаются численные методы решения уравнения диффузии — конвекции, описывающего дисперсию в цилиндрической трубке, которая играет важную роль в аналитических методах, основанных на весьма популярной в настоящее время методике анализа в потоке. [c.380]

Создание подлинно фундаментальной теории строения атомов оказалось возможным лишь после того, как было установлено, что элементарные частицы, в том числе и электроны, подчиняются законам не классической, а квантовой (волновой) механики. Решение волнового уравнения для системы, состоящей из протона и электрона, позволило получить точную количественную теорию атома водорода, находящуюся в полном соответствии с экспериментальными данными. [c.27]

Фундаментальный вопрос механики жидкостей состоит в том, чтобы найти взаимосвязь между решениями уравнений Эйлера для движения невязкой жидкости и решениями уравнений Навье—Стокса для жидкостей с исчезающе малой вязкостью. Математически речь идет об асимптотическом поведении решений системы (3), (4) при ц О (т. е. при Ке- + оо). Поскольку обычно для кораблей и самолетов числа Рейнольдса лежат в интервале 10 — 10 , то для того же интервала огромное практическое значение имеет задача расчета лобового сопротивления. [c.60]

Для уравнения, соответствующего реакции (9.3), т = 3, rg=l. Здесь фундаментальная система состоит из двух решений. Если в качестве одного из них принять bi=l, >2=0, з=1, а в качестве второго 1 = 0, >2 = 2, >3=1, то получим инварианты, определяемые балансами (9.4) и (9.5). Любая линейная комбинация обоих решений также явится решением, и ей будет соответствовать инва риант реакции (9.3). Так, вычтя второе решение из первого, получим bi=4-l, >2 = —2, >3=0 соответствующий инвариант gA — 2 Гв дан уравнением (9.6). [c.105]

Процедура проверки уравнений системы (П.З) на линейную независимость и отыскания фундаментальной системы решений, полностью идентичны той, которая была изложена ранее (см. стр. 17) Поскольку фундаментальных систем решений может быть получено множество, выбор совокупности независимых маршрутов стационарных суммарных реакций получается неоднозначным. Другими словами, одной и той же системе элементарных реакций формально может соответствовать множество совокупностей независимых маршрутов или, что то же самое, множество совокупностей стационарных суммарных реакций. Реально число рассматриваемых совокупностей независимых маршрутов обычно не превышает двух или трех, причем к последним следует прибегать тогда, когда необходимо либо получить другого вида уравнения скоростей суммарных реакций, либо упростить их и т. п. В целом переход от одно1 1 сово- [c.40]

Пользуясь разрешимостью задачи (289), (291) при х = О, Г = Го и X (0) = Хо, домножим обе части этого тождества на (Л,) (1=1,. .., т — 1), (Л5,. .., Л г — фундаментальная система решений сопряженного однородного уравнения Л (Г) у = = 0) получим [c.165]

Инженеры уже многие годы используют математический анализ и экспериментальные измерения для проектирования новых и совершенствования существующих процессов. Математические методы обладают сами по себе достаточной силой, так как позволяют сосредоточить внимание на ключевых параметрах. Они дают возможность проводить исследования как важнейших отдельных случаев, так и семейств таких случаев одновременно. Математические предсказания течения процессов характеризуются четкостью и могут быть действительными в широких пределах рабочих условий, а также при самых различных проектных схемах процесса. Однако на практике случаи применения математических методов как для оценки теории реальных процессов, так и для получения численных значений ключевых параметров немногочисленны. Многие технологические системы слишком сложны для возможности их описанр1Я проверенными фундаментальными уравнениями, не говоря уже о решении таких уравнений. [c.5]

Здесь функции (г = О, 1,. . ., и4-1 / = О, 1,. . ., и + 1) являются элементами матрицы а, служащей матрицей фундаментальных решений системы уравнений в вариациах [c.106]

Матрицу а (г), столбцы которой являются решениями спстемы линейных дифференциальных уравнений (1), будем называть фундаментальной, если ее определитель с1е1 а (г) отличен от нуля в начальной точке г = . . Из теории линейных дифференциальных уравнений известно что если определитель таким образом построенной матрицы отличен от нуля в одной какой-то точке, он отличен от нуля и во всем интервале задания этой системы. [c.224]

Чтобы по формуле (III. 1) рассчитать лГт, надо решить механическую задачу о движении системы, т. е, определить фазовую траекторию системы при заданных начальных условиях. Как уже отмечалось во введении, подобный путь решения в применении к макроскопической системе наталкивается на огромные практические трудности, хотя развитие вычислительной техники открывает здесь широкие перспективы. Решением уравнений движения (если практически такое решение доступно) можно получить наиболее полные, в рамках классической теории, сведения о поведении конкретной рассматриваемой системы. Однако чисто механический подход имеет ограничения принципиального характера, о которых говорилось ранее, и не достаточен для анализа общих закономерностей наблюдаемого на опыте поведения макроскопических систем (термодинамических закономерностей). Такие фундаментальные термодинамические параметры, как температура, энтропия, химический потенциал, не являются средними значениями механических величин и по формуле (III. 1) рассчитать эти параметры нельзя (в формуле (III.1) интересующие нас параметры просто отсутствуют). [c.44]

Из фундаментальных соотношений теории случайных марковских процессов выведены стохастические интегродифференциальные (скачкообразные), разрывные (дискретно-непрерывные), диффузионные и матричные (дискретные в пространстве состояний по времени) модели кинетики механодеструкции, описывающие эволюцию дифференциальных функций числового распределения макромолекул полимеров по длинам. Проведен последовательный анализ выведенных уравнений кинетики механодеструкции. Он показал, что при некоторых упрощающих предположениях решениями этих уравнений являются известные в литературе функции распределения Пуассона, Танга, Кремера-Лансинга и др. С помощью математического аппарата теории дискретных марковских процессов построены модели кинетики структурных превращений в ферритах -шпинелях, активированных в планетарных машинах разработана обобщенная модель кинетики механорасщепления зерен на примере природного полисахарида - крахмала. Из основного кинетического уравнения Паули выведены стохастические модели ряда элементарных химических реакций, протекающих в дисперсных системах при механическом нагружении частиц твердой фазы. Проведен анализ выведенных уравнений и выявлены преимущества статистического метода описания кинетики химических реакций перед феноменологическим. [c.19]

Метод фундаментальных параметров [8.3-15] 0С1Юван на физической теории образова1шя рентгеновского излучения. Он требует точных знаний формы спектра возбуждения, эффективности детектора и фундаментальных параметров, таких, как сечение фотоэлектронного поглощения и выход флуоресценции. Метод связан с вычислительными трудностями, потому что уравне-1ше фундаментальных параметров связывает интенсивность одного элемента с концентрациями всех элементов, присутствующих в пробе, так что требуется численное решение системы (интегральных) уравнений. Метод фундаментальных параметров представляет особый интерес, потому что он позволяет проводить полуколичественный (относительное стандартное отклонение от 5 до 10%) анализ проб совершенно неизвестного состава. При надлежащей градуировке может быть достигнута погрешность порядка 1%. [c.88]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология