Решение однородных систем линейных уравнений

Система линейных однородных уравнений (1.61) имеет нетривиальные решения только тогда, когда ее детерминант равен нулю, т. е. [c.20]

Общее решение связанной системы линейных однородных уравнений первого порядка, представленной уравнением (1П.6А.З), имеет вид [c.43]

Решение однородных систем линейных уравнений. Системы уравнений вида [c.299]

Система уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение. Однородные системы линейных уравнений всегда совместны, так как нулевые значения неизвестных для них являются решением. Совместность неоднородной системы линейных уравнений устанавливается теоремой Кронекера—Капелли [261. [c.247]

Базисные решения однородной системы линейных уравнений (3.5.2) получили название базисных маршрутов химического превращения, а соответствующие им итоговые реакции — реакций по маршрутам [50—54]. Числа 6 р называют стехиометрическими числами стадий в реакциях по маршрутам [50]. [c.166]

Как уже отмечалось (стр. 247), однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение лишь в случае, когда ее определитель равен нулю. Таким образом, ненулевое решение системы (10 — 80) возможно при условии [c.281]

Получим формулу для общего решения системы (54). Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы общего решения для системы линейных дифференциальных уравнений Пусть а = является матрицей фундаментальных решений однородной системы линейных разностных уравнений [c.233]

Чтобы эта однородная система линейных уравнений имела нетривиальные решения относительно амплитуд 1 , необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю, т. е. [c.183]

При этом матрица Г определяется (вообще говоря, неоднозначно) согласно изложенному в 1, гл. 2, ч. I следующим образом ее столбцы суть линейно-независимые решения Х<°) однородной системы линейных уравнений [c.332]

Применяя метод, основанный на линеаризации, мы для описания перехода из одного состояния в другое не используем дифференциальное уравнение (2) разд. 27. Вместо этого пользуемся линеаризованным вариантом уравнения (2) разд. 27 в интегральной форме, а именно уравнением (2) разд. 28. В частности, подобный переход описывает уравнение (5) настоящего раздела. В результате такой линеаризации решение однородной части линеаризованного уравнения (2) разд. 27, а именно величины 6,, оказывается полностью не зависимым от г/ , соответствующих управляющим воздействиям. Именно по этой причине в случае линейной системы состояние системы может быть описано при помощи к фазовых переменных вместо N фазовых переменных. Как следует из равенства (6) разд. 28, при определении 6, используется начальное условие Х1 0) = с,. При решении уравнений, описывающих процесс, приходится иметь дело с двумя интегральными членами. Первый интегральный член представляет собой функцию управляющих воздействий, а именно [c.248]

В дискретных системах аналогичный вопрос был тривиальным, он сводился к решению системы линейных уравнений. Теперь же мы имеем дело не с конечными совокупностями величин, а с функцией. При этом появляются бесконечности двоякого рода бесконечное число значений х и бесконечное число членов ряда. Поэтому поставленный вопрос является трудным. Мы еще вернемся к нему, а пока заметим, что в частном случае, когда мы можем написать функции [c.385]

Решение системы линейных однородных уравнений Гиббса — Дюгема совместно с уравнениями (5.10), (5.38), (5.41) и (5.43) с учетом [c.87]

После подстановки подобных выражений в уравнение переноса получают однородную линейную систему дифференциальных уравнений для возмущений. Решение этой системы записывается как суперпозиция гармонических волн различных частот V. Тогда, например, возмущение плотности имеет вид [c.31]

Задача состоит в нахождении решения системы (XI,56). Будем временно считать ее правую часть известной функцией I. Тогда система (XI,56) станет неоднородной системой линейных дифференциальных уравнений. Соответствующая ей однородная система будет [c.240]

Получена система двух однородных линейных уравнений с двумя неизвестными г/ и ф. Критическое значение ш должно допускать отличные от нуля решения этой системы. Для этого необходимо, чтобы определитель системы был равен нулю [c.220]

Эта система линейных однородных ( вековых ) уравнений имеет нетривиальное решение для сд и Св только в том случае, ес- [c.78]

Система (11,7) есть система линейных однородных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов с . Она имеет нетривиальное решение (не все сл равны нулю), если детерминант, построенный из коэффициентов этих уравнений, равен нулю, т. е. [c.30]

Задача состоит в нахождении коэффициентов Ср, при АО и энергии Ех МО, определяемых решением системы линейных однородных уравнений [c.213]

Применение преобразования Лапласа к системе линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами превращает последнюю в систему линейных алгебраических уравнений. В качестве примера ниже приводится решение системы (У.Зб). Чтобы избежать громоздких выражений, введены обозначения [c.247]

Пример 10. При проектировании ректификационных установок определение таких технологических параметров, как флегмовое число,число тарелок, положение тарелки питания, производится по некоторым критериям путем проведения многократнйгх расчетов с использованием определенной стратегии (см. с. 146). Процесс итеративного поиска этих параметров, как правило, приводит к существенным затратам машинного времени. Решение этой задачи более эффективно с использованием метода квазилинеаризации. В этом случае для описания ректификационной колонны используется система разностных уравнений с граничными условиями, решение которой возможно приведением ее к линейному виду и определением частного и однородных решений. При этом одной из переменных является и флегмовое число. Таким образом, удается исключить итерации по флегмовому числу, определяя его совместно с другими переменными задачи [18]. [c.61]

Действительно, если бы имело место равенство 5 = Р, то (У.130) представляло бы собой 5 однородных линейных уравнений с 5 неизвестными величинами. Так как все уравнения линейно независимы, то определитель 1 I этой системы уравнений не равен нулю. Но такая система уравнений, как известно из линейной алгебры, имеет только тривиальное решение VI = V2 =. .. = = 0. Это значит,, что составление итогового уравнения, не содержащего активных промежуточных частиц, невозможно. В то же время хотя бы одно такое уравнение, описывающее итог сложного химического процесса, должно существовать. Поэтому 8 > Р. [c.291]

В первом уравнении (106) перейдем к новой переменной = йР/йз. Тогда ненулевое решение линейной однородной системы (106) задается одним из дифференциальных уравнений [c.182]

Система уравнений (29,2) является бесконечной системой однородных линейных уравнений относительно неизвестных функций ( 1 ). Чтобы эта система имела отличные от нуля решения, необходимо обращение в нуль детерминанта, составленного из коэффициентов этой системы уравнений, т. е. [c.139]

Система уравнений в вариациях. как система линейных однородных уравнений обладает важным свойством, а именно сумма любых двух ее решений, найденных при неодинаковых начальных условиях, также является решением. Таким образом, если начальное условие [c.317]

Система (VII, 45) представляет собой однородную систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Вследствие однородности общее решение этой системы находится с точностью до произвольного постоянного множителя. В частном случае, когда данный множитель принимается равным нулю, получается тривиальное (нулевое) решение. [c.321]

При гармоническом входном воздействии (2.81) согласно решению (2.50) уравнения (2.37) в отклике элемента или системы можно выделить две составляющие. Одна из них усв (0. определяемая общим решением однородного дифференциального уравнения, описывает свободное движение, возникающее в элементе или системе после приложения гармонического входного воздействия. Вторая составляющая (t) описывает вынужденное движение элемента или системы, которое определяется частным решением уравнения (2.37) и вследствие линейности уравнения (2.37) будет гармонической, но в общем случае отличающейся от входного гармонического сигнала по амплитуде и фазе [c.51]

Система уравнений (11) есть система линейных однородных уравнений относительно неизвестных с . Она имеет нетривиальные решения только тогда, когда ее определитель из коэффициентов перед неизвестными обращается в нуль [c.148]

Уравнения (11) не являются линейными уравнениями относительно неизвестных Однако если в матричных элементах использовать некоторое начальное приближение для этих коэффициентов, а, следовательно, и для величин , то далее можно решить систему линейных однородных уравнений (11), найти новые коэффициенты и порядки связей и повторять этот цикл до тех пор, пока не будет достигнута сходимость (если она будет иметь место). Для того же чтобы система (11) имела нетривиальные решения, необходимо, чтобы ее определитель обращался в нуль [c.297]

Всего имеется 2" уравнений вида (2.58), содержащих 2" неизвестных коэффициентов си. Указанная система линейных однородных -уравнений имеет нетривиальное решение только в том случае, если выполняется условие [c.51]

Это — система линейных однородных алгебраических уравнений относительно величин, стоящих в скобках, и если определитель ее не равен нулю, то система имеет только тривиальное решение [c.204]

Сначала рассмотрим решение наиболее простой линейно однородной системы уравнений (7-39). Эта система содержит п неизвестных и состоит из четырех уравнений. [c.90]

Чтобы получить ненулевые решения линейной однородной системы уравнений, следует приравнять нулю ее определитель [c.136]

Для решения линейной системы разностных уравнений первого порядка можно воспользоваться формулами (7.29), т. е. искать его как комбинацию частного и однородных решений. При этом константы I определяются в результате решения системы линейных уравнений, образованной граничными условиями (7.33)—(7.36). Хотя количество дистиллята — переменная величина, определяемая в процессе расчета, для каждой последующей итерации эта величина является константой, вычисленной по результатам предыдущей итерации. Для этого необходимо решать на каждой итерации уравнение с одной неизвестной, например, методом Вегстейна. Этим самьт удается свести задачу поиска коэффициентов а,- к решению системы линейных алгебраических уравнений. Заметим, что в формулах (7.29) конечное значение индексов суммирования равно количеству недостающих начальных условий. [c.279]

Процесс итеративного поиска этих параметров, как правило, приводит к существенным зат4затам машинного времени. Решение этой задачи более эффективно с использованием метода квазилинеаризации. В этом случае для описания ректификационной колонны используется система разностных уравнений с граничными условиями, решение которой возможно путем приведения ее к линейному виду и определения частного и однородных решений. При этом одной из переменных является и флегмовое число.Таким образом, удается исключить итерации по флегмовому числу, определяя его совместно с другими переменными задачи [20]. [c.277]

Для полной колонны расчет состава продуктов и определение числа тарелок вверху (ЯО и внизу N2) колонны рекомендуется проводить, используя определители системы уравнений (6.33) и (6.34) [18]. Если указанную систему уравнений решать одновременно с уравнениями материального баланса верхней или нижней частей колонны и комбинировать уравнения (6.33) и (6.34), то каждый раз будут получаться системы однородных линейных уравнений. Так как на тарелке питания и Х1м, ф О, то для получения нетривиальных решений определители данной системы должны быть равны нулю. Например, для трехкомпонентной смеси при паровом питании = 21) можно написать три определителя [c.308]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология